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求数列的前n项和常用方法



课题:数列求和的常用方法
1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,
特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

n(n ? 1) 2 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) ,12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ]. 2 6 2
例 1 、已知 log3 x ?
?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

2 2 2 2 练一练:等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 =_____ ? a2 ? a3 ? ? ? an




2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公
式法求和.

例 2、 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

练一练:求和: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? (?1)n (2n ?1)

3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑 选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 例 3、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

练一练:已知 f ( x) ?

x2 , 1 ? x2
1 2 1 3 1 4

则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______;

1

4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用 错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

2 4 6 2n 例 5、求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

练一练:设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,①求数列 {an } 的 首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.;

5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项
相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? 1 ? 1 ;② ? 1 ( 1 ? 1 ) ;③ 2 ? 2 n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k k k ?1 2 k ?1 k ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ; ? ? ? 2? ? ? ;④ n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑤ ; ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)! n ? n ?1 n n ? n ?1


例 6、 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

2

例 7、 在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

练一练: (1)求和:

1 1 1 ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

; ;

(2)在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

,且 Sn=9,则 n=

6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 例 8 、求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

练一练:①求数列 1×4,2×5,3×6,?, n ? (n ? 3) ,?前 n 项和 Sn = ②求和: 1 ?



1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n



数列求和课后练习
一、选择题: 1.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

A.200

B.-200

C.400

D.-400 )

1 1 1 2.数列 1, , ,?, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+?+n 2n A. 2n+1 2n B. n+1 n+2 C. n+1
+10

n D. 2n+1 )

3.设 f(n)=2+2 4+27+210+?+23n 2 A. (8n-1) 7 2 + B. (8n 1-1) 7

(n∈N),则 f(n)等于( 2 + D. (8n 4-1) 7

2 + C. (8n 3-1) 7

3 4.若数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= an-3,则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3n 1-3


)

B.3n-3

C.3n 1+3


D.3n+3

3

1 1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 1 A.n2+1- n 2 6.数列 an= 1 1 1 B.2n2-n+1- n C.n2+1- n-1 D.n2-n+1- n 2 2 2 )

)

1 9 ,其前 n 项之和为 ,则 n= ( 10 n(n+1) B.-9 C.10 D.9

A.-10 二、填空题:

7.已知函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x),则 f(-2)+ f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=________. 1 2 3 4 n 8. + 2+ 3+ 4+?+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 9.数列 2 , 2 , 2 , 2 ?的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8
2 ? ?n ? 10.函数 f(n)= 2 ?-n ?

(n为奇数) (n为偶数)

,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+?+a1000=__________.

二、解答题: 11.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中, b1 ? 5 , bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式. 12.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 且 Sn ? Sn?1 ? 2n ( n ? 2 , n ? N* ). ( I )求 Sn ; ( II ) 是否存在等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1, b2 ? a3,b3 ? a9 ?若存在,则求出数列 {bn } 的通项公式;若不 存在,则说明理由. 13.已知 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 . (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 2 ,公差为 q 的等差数列,其前 n 项和为 Tn . 当 n ? 2 时,试比较 bn 与 Tn 的大小.

3 an ? 1 (n ? N* ) . 2

4



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