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三角函数复习1 教师版



余杭高级中学 2019 届高一(下)期末复习数学(三角函数)
班级姓名 知识点 1 任意角、弧长公式及诱导公式 例 1 (1)若θ 是第三象限角,则
3π 3π

? 在第____二、四_________象限角 2

? (2)已知点 P? ?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为____ 4 ______.
(3)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长为___
为_______

7?

2 ___;扇形面积 sin1

sin(
(4)

?
2

2 cos( ? ? ? )

? ? ) ? cos(

?

??)

?

sin(? ? ? ) ? cos(

3? ??) 2 =_____0________________ sin( 2? ? ? )

(5)已知 ?

1 ?7 .(1)则 sinx-cosx=____ _____; 2 5 5 3 8 (2)tanx=_ ? _____(3) cos2 x ? sin 2x ? ______ 4 25 ? x ? 0, sin x ? cos x ?

?

知识点 2 求三角函数的值域 例 2 (1)函数 y=6cos x-2 3sin x, x ? [ (2)函数 y=-2sin2x+2cos x+4 在 x ? [

?
3

, ? ] 的值域是 [?4 3,0]

?

3 7 , ? ] 的值域是 [ . ] 3 2 2 1 2

(3) 函数 y=sin x+cos x+sin xcosx 的值域是________ [ ?1, 2 ? ] (4)函数 y ?

1 ? sin x 4 的值域为____ [0, ] ______ 2 ? cos x 3

知识点 3 三角函数的单调性、周期性、对称性、平移变换 例3 (1) y ? 3sin ? ?2 x ?

? k ? k? ? , k ? Z ____;对称中心_ ( ? ? ,0) ______________;单调 12 2 3 2 7? 5? ? k? , ? k? ], k ? Z ________ 增区间___ [ 12 6
________;对称轴___ x ? (2)设点 P 是函数 f(x)=sin ωx 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离 的最小值是

? ?

??

1 5? ? 的周期为__ ? _振幅为_3 频率为_ ? __初相为 6 6?

1 1 ,则 f(x)的最小正周期是__2_;此时函数 f(x)与 y ? x 的交点个数______7 2 4 ? (3)已知函数 f(x)= 3sin(? x ? ) (ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同. 6
则 ω=_____2_______;φ=_ ?

2? ? k? ________ 3

(4)设函数 f ( x) ? cos?x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 个单位长度后,若与原 3

图象重合, 则 ? 的最小值为 6; 若所得图象与原图象关于 x 轴对称, 则 ? 的最小值为 3;

若所得图象为奇函数,则 ? 的最小值为
知识点 4 三角函数的综合应用

3 2

例 4 1.已知函数 f(x)= 3 sin(π-ωx)· cos ωx+cos2ωx (ω>0)的最小正周期为 π,
(1)求 ω 的值;

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
1 (3)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的 2 π ? 图象,求函数 y=g(x)在区间? y ?0,16?上的最小值.

1. f ( x) ? sin(2? x ?
2.略 3. 1

?

1 ) ? ,? ? 1 6 2
?

?
6

O

?
12

?
3

7? 12

5? 6

?

x

2.如右图所示,函数 y=2cos(ω x+θ )(x∈R,ω >0,0≤θ ≤ 且该函数的最小正周期为 π .

π )的图象与 y 轴交于点(0, 3), 2

(1)求 θ 和 ω 的值; π (2)已知点 A( ,0),点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 2

y0=

3 π ,x0∈[ ,π ]时,求 x0 的值. 2 2

解:(1)将 x=0,

代入函数

中得



因为

,所以



由已知 T=π,且ω >0,得



(2)因为点

是 PA 的中点,



所以点 P 的坐标为



又因为点 P 在

的图象上,且



所以





从而得 【随堂练习】
1. 函数f

,即



?? ? ?x ? ? sin x ? ? cos x的图像的一个对称中心 为? , 0 ? ,则函数 ?3 ?
2

g(x)= sin

x ? ? sin x cos x的图像的一条对称轴是 (
B.x ? 4? 3 C.x ?

D)

A.x ?

5? 6

?
3

D.x ? ?

?
3
( A)

1 2.已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则 b-a 的值不可能是 π 2π 4π A. B. C.π D. 3 3 3

3.有一种波,其波形为函数 y ? sin

?
2

x 的图象,若在区间 ?0, t ? 上至少有 2 个波峰(图象的

最高点) ,则正整数 t 的最小值为___5______ 4.函数 f ?x? ? sin x ? 2 sin x , x ? 0,2? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则k 的取值范围是(1,3)。 5.下面有四个命题正确的序号是_________1 4____________

?

?

2 ? (1)函数 y=sin( x+ )是偶函数; (2)函数 f(x)=|2cos x-1|的最小正周期是 π; 3 2
(3) 若?,?是第一象限角,且? ? ?, 则cos? ? cos ? ; π (4)若 a+b=0,则函数 y=asinx-bcosx 的图象的一条对称轴方程为 x= . 4 (5) f ? x ? ? 5sin ? 2x ? ? ? , 若f ? ? ? ? 5, 则f ? ? ?

? ?

?? 5? ? ? ? ? f ?? ? ? 12 ? 6 ? ?

【课后练习】 班级姓名 一、 选择题 1.已知 sin 200? ? a ,则 tan160? 等于 A、 ?

(

B
2

)
2 D、 1 ? a a

a 1? a2

B、

a 1? a2

C、 ? 1 ? a a

2.为得到函数 y ? sin 2 x 的图象,需把函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象( D

)

? 个长度单位 6 ? C 向左平移 个长度单位 12
A 向左平移

B 向右平移

? 个长度单位 6 ? D 向右平移 个长度单位 12

, 0?上为单调减函数,又α ,β 为锐角三角形内角,则(C) 3.已知奇函数 f ?x ?在?? 1
A.f(cosα )> f(cosβ ) B.f(sinα )> f(sinβ )C.f(sinα )<f(cosβ ) D.f(sinα )> f(cosβ ) 4.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的解析式为( D y ) 2 A. y ? sin 2 x ? 2 B. y ? 2 cos3x ? 1 1 ? ? C. y ? sin(2 x ? ) ? 1 D. y ? 1 ? sin(2 x ? ) x 5 5 o ? 7? 5.函数 y ? 2sin( A. [0, ]
10 ? ? 2 x) ( x ? [0, ?] )的单调递增区间是(C). 6 ? 7? ? 5? 5? ] B. [ , C. [ , ] D. [ , ?] 12 12 3 6 6
2

20

? 3

6.已知 tanα ,tanβ 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且α ,β ∈ ( ? 于(D)

? ?

, ) ,则α +β 等 2 2

? 2 ? 2 2 或? ? C. ? 或 ? D. ? ? 3 3 3 3 3 ? 7? ]) 的图象与直线 y ? m有三个交点的横坐标分别为 7.已知函数 y ? 4sin(2 x ? )( x ? [0, 6 6 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,那么 x1 ? 2 x2 ? x3 的值是( C ) 3? 4? 5? 3? A. B. C. D. 4 3 3 2
A.

? 3

B.

二、填空题

8. 已知 y ? 3cos(?2 x ?

?

4 5? 11? ), ( , ) ________; ____ (0, 8 8 24

), x ? [0,

?

11? ] ,求函数的值域 __ [? 3 3 ,3] _____; 单调递增区间 24 2

9. ? 是正实数,若函数 y ? 2sin ? x 在 [ ? 若 函 数 在 区 间 [ 0,

? ?

?
2

3 , ] 上递增. 则 ? 的取值范围是:___ (0, ] ____; 3 4 2

]上 至 少 有 两 个 最 高 点 和 两 个 最 低 点 , 则 ? 的 取 值 范 围 是 : _

??7

_______;

若 ? =2, 函数的图象向右平移 ? ( ? ? 0 ) 个单位后是偶函数, 则 ? 的最小值为_____ ?

1 4

____ 10.已知函数 y ? 2cos 2 x ? sin ax ,若 a ? 1, 求函数值域______ [ ?1, 若 a ? 2 ,求函数值域________

17 ] _______; 8

[1 ? 2,1 ? 2] ________
?? ? ?

11.若函数 f ? x ? ? 2cos 2x ? a sin x ? 4 在 ? , ? 内的图像恒在 x 轴下方,则 a 的取值范 ?6 2? 围为____ ___;

a?4 2

二、 解答题 12.设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? )的部分图象 如图所示. (1)求 A, ? , ? 的值; (2)当 x ? [0, y

?
2

] 时,求 f ( x) 的取值范围.
O

? 3
O

7? 12
O x

1. A ?

3, ? ? 2, ? ?

?
3

? 3
O

3 , 2. [ ? 2

3]

13.在如图所示的直角坐标系 xOy 中,点 A,B 是单位圆上的点,且 A(1,0),∠AOB=3.现有一动点 C 在单位圆的劣弧 (1)求点 B 的坐标; (2)若 tan α=3,求 · 的值; (3)若=x+y,其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值. 解:(1)由任意角的三角函数定义,可得点 B 的坐标为 2 , 2 . (2)∵=(1,0), =(cosα,sinα),∴ ·=cosα. 又 tanα=3,且 0≤α≤3,∴cosα= 10 , 即 · =
3 10 . 10 1 π 3 10 1 3 1

π

上运动,设∠AOC=α.

(3)方法一:由=x+y, 得(cosα,sinα)=x(1,0)+y 2 , 2 ,
1 3



cos = + 2 , sin =
3 , 2

1

= cos- 3 sin, 得 2 3 = 3 sin,

3

∴x+y=cosα+ 3 sinα
= 3 ( 3cosα+sinα)= 3 sin + 3 , 又 0≤α≤ ,∴当 α= 时,x+y 有最大值 方法二:
π 3 π 6 2 3 . 3 3 2 3 π

3

· = · + · , · = · + · ,
1 1



cos = + 2 ,

cos(60°-) = 2 + .
2

∴x+y=3[cosα+cos(60°-α)]
=
2 3 3 3 sin + cos 2 2 3 3 2 3 sin 3

=cosα+ sinα= 又 0≤α≤3,
π

+

π 3

.

∴当 α=6时,x+y 有最大值

π

2 3 . 3



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