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山东省菏泽市2014-2015学年高二下期中考试数学理科试题(A)及答案



2014—2015 学年度第二学期期中考试

高二数学(理)试题(A)
(选修 2-2)
本试卷分第Ⅰ 卷和第 II 卷两部分,共 4 页满分 150 分,考试用时 120 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(每题 5 分) 1.复数
2i ?( 1? i

B. ?1? i C. 1 ? i ) C.
ln 2 2

A. 1 ? i

D. ?1? i

2.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e 2 B.e

D. ln 2 )

3.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17

D.9,-19

4. 有一段“三段论”推理是这样的: “对于可导函数 f ( x) , 如果 f ?( x0 ) ? 0 , 那么 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点;因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x=0 是函数 f ( x) ? x3 的极 值点.”以上推理中( A.大前提错误 5.设曲线 y ? A.2 ) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 )

x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

6.用反证法证明命题 a,b ? N , a,b 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除 ”时,假设 的内容应为( ) B.a 不能被 5 整除 D.a,b 都不能被 5 整除

A.a,b 都能被 5 整除 C.a,b 不都能被 5 整除

7.下列推理正确的是(



A.把 a(b ? c) 与 log a ( x ? y) 类比,则有: log a ( x ? y) ? log a x ? log a y . B.把 a(b ? c) 与 sin( x ? y) 类比,则有: sin( x ? y) ? sin x ? sin y .

C.把 (ab)n 与 (a ? b)n 类比,则有: ( x ? y)n ? x n ? y n . D.把 (a ? b) ? c 与 ( xy ) z 类 比,则有: ( xy) z ? x( yz ) . 8.设 函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如右图所示,则导 函数 y=f ? (x)可能为( )

9.观察式子: 1 ?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,…,则可归纳出式子为( 2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 A. 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? B. 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 2 3 n 2 3 n
2

1

?



C. 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n ? 1 n

D. 1 ?
1 z

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n 2n ? 1

10.设 x, y, z ? (0, ??), a ? x ? , b ? y ? , c ? z ? A.至少有一 个不小于 2 C.至少有一个不大于 2

1 y

1 ,则 a,b,c 三个数( x



B.都小于 2 D.都大于 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
2 1 11. ?1 ( ? 2x )dx = x

.

12.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将 此若干个圈依此规律继续下去 , 得到一系列的圈 , 那么在前 120 个圈中的●的个数是 ___________. 13.在平面几何里,有:“若△ ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三角形面积 1 为 S△ ABC= (a+b+c)r”,拓展到 空间,类比上述结论,“若四面体 A-BCD 的四个面的面 2 积分别为 S1,S2 ,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________” 14 .已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足关系式 f ( x) ? x 2 ? 3xf ' (1) ? ln x ,则 f ?(1) 的值等 于 . ;

15. 设函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ? ax . 若 f ( x) 在其定义域内为增函数, 则 a 的取值范围为

三、解答题:(共 6 小题,75 分) 16. (12 分)已知复数 Z1 满足 (Z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 Z2 的虚部为 1,Z1·Z2 是实数,求 Z2.

17 . ( 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9 x ? 1(a ? 0) ,且曲线 y ? f ( x) 斜率最小的切线与直线
12 x ? y ? 6 平行.

求: (1)a 的值; (2)函数 f ( x) 的单调区间.

18. (12 分)若 x,y>0,且 x+y>2,求证:

1? x 1? y , 至少有一个小于 2。 y x

19. (12 分) 已知 a ? 2 ,函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? a)e x . (1)当 a=1 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 的极大值是 6·e 2,求 a 的值.


20. (13 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时都取得极值 10 (1)求 a,b 的值.

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? 3c ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围。

21. (14 分)数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an (n ? N*) . (1)计 算 a1 , a2 , a3 , a4 , 并由此猜想通项公式 a n ; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

2014—2015 学年度第一学期期中考试

高二理科数学试题(A)参考答案
选修 2-2
一、选择题 序号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 D 8 D 9 C 10 A

二、填空题 11. ln 2 ?
2 ln 2

12.14

3 1 13.V= ( s1 ? s2 ? s3 ? s4 )r 14. ? 2 3

15. a ? ?2 2 16. (1)解:因为( z 1 -2)(1+i)=1-i 所以 z 1 -2=
1 ? i (1 ? i)2 =-i ? 1? i 2

z 1 =2-i
设 z 2 ? a ? i 所以 z1 z2 ? (2a ? 1) ? (2 ? a)i

所以 a=2,所以 z 2 ? 2 ? i 17. (1)解: f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 9
x对 ? ? a a 所以 k min = f ' (? ) ? ?12 3 3
2

所以 a ? 9 因为 a<0 所以 a= -3 (2) f ' ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 令f ' ( x) >0 所以 x>3 或 x<-1

令f ' ( x) <0 所以-1<x<3
所以函数 f (x)的递增区间(3, ? ?) , ( ? ?,?1) 18. 证明:假设
1? x 1? y ? 2, ? 2. 即 y x

递减区间(-1,3)

? ?1 ? x ? 2 y ? ? ?1 ? y ? 2 x

∴ 2 ? x ? y ? 2x ? 2 y ∴ x ? y ? 2 ,这与 x ? y ? 2 矛盾。 ∴ 假设不成立 ∴
1? x 1? y , 至少有一个小于 2. y x

19. 解(1) a ? 1
f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x f ?( x) ? e x ( x 2 ? 3x ? 2)

令 令 ∴

f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? ?1 f ?( x) ? 0 ,得 ?2 ? x ? ?1

y ? f ( x) 的递增区间为 (??, ?2), (?1, ??) 。

(2) f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e x
f ?( x) ? e x ( x 2 ? (a ? 2) x ? 2a)

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ? ?2 ∵ a?2 x
f ?( x) f ( x)

∴ ? a ? ?2
(??, ?2)

-2 0 极大值

(?2, ? a )

?a
0 极小值

(?a, ??)

+ 增

- 减

+ 增

∴ f ( x)极大值 ? f (?2) ? (4 ? 2a ? a)e?2 ? 6e?2 ∴ 4 ? a ? 6 ,解得 a ? ?2 。 20. 解(1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b
? ? ?3 ? 2 a ? b ? 0 ? f ?(1) ? 0 ,得 ? ? 2 ? ? ? f (1) ? 0 ?1 ? a ? b ? a ? 10

? ? ?a ? 4 ?a ? ?3 解得 ? 或? ? ?b ? ?11 ? ?b ? 3

但由于 a ? ?3, b ? 3 , f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 故 f ( x) 在 R 上递增。
? ?a ? ?3 ∴? 舍去。 b ? 3 ? ?

经检验 a ? 4, b ? ?11 符合题意。 ( 2) c 2 ? 3x ? f ( x) 在 [ ?1, 2] 上恒成立。
f ?( x) ? 3x 2 ? 8x ? 11 ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?

11 (舍去) 3

所以 f ( x) 与 f ?( x ) 情况如下: x

(?1,1)
- 减

1 0 极小值

(1, 2)
+ 增

f ?( x )
f ( x)

f ( x)极小值 ? f (1) ? 10
∴ c ? 3c ? 10
2

c2 ? 3c ? 10 ? 0
?2 ? c ? 5
21. (1) 【解】 由 a1=2-a1,得 a1=1;

3 ; 2 7 由 a1+a2+a3=2× 3-a3,得 a3= ; 4
由 a1+a2=2× 2-a2,得 a2= 由 a1+a2+a3+a4=2× 4-a4,得 a4=

2n ?1 15 猜想 an= n ?1 2 8

下面证明猜想正确: (1)当 n=1 时,由上面的计算可知猜想成立.

2k ?1 (2)假设当 n=k 时猜想成立,则有 ak= k ?1 ,当 n=k+1 时, 2
Sk+ ak+1=2(k+1)-ak+1, 1 ∴ ak+1=2[2(k+1)-Sk]

=k+1-

2k ?1 1 2 k ?1 ? 1 ( 2k ? k ?1 )= ( k ?1)?1 2 2 2

所以,当 n= k+1 时,等式也成立. 由(1)和(2)可知,an=

2n ?1 对任意正整数 n 都成立. 2 n ?1



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