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江苏省南通中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题



江苏省南通中学 2014—2015 学年度第二学期期末考试 高二数学(文科)试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程, 请把答案直接填空在答题卡相应位置上 . ........
1.已知集合 A={1,3,9},B={1,5,9},则 A ? B= 2.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? ?1 ? 5i ,则 z ? ▲ .

?1,9?

▲ . 2 ? 3i

3.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示的频 率分布直方图.根据图形推断,该时段时速不超过 50km/h 的汽车辆数为 ▲ . 23

4.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为 1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个 球,则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为 ▲ .

1 3
▲ . 13

5.执行下边的程序框图,若输入的 N 是 3 ,则输出 p 的值是 开始
频率

输入 N

0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

组距

i ←1,p ←1
p ← p ? 2i
i?N
30 40 50 60 70 80
时速(km/h)

i ←i ?1
Y

(第3题图)

N 输出 p

6.“ 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 2 ”成立的 不充分又不必要”)条件.



(第 5 题图) 结束 (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既

充分不必要

7.我们知道,以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比是 1:4,类比该 命题得,以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ▲ .1:27

?2 x ? y ? 0 y ? 8.设实数 x、y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 u= 的取值范围是 x ?x ? 3 ?
9.曲线 y ? 3 ln x ? x 在点(1,1)处的切线方程为 ▲ .



. ? , 2? ?3 ?

?1 ?

y ? 4x ? 3 10 . 已 知函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函数 , 且在 区 间 (??,0) 上 单 调 递减 , 则不 等式

f ( x 2 ? 3x) ? f (4) 的解集为



. ?? 1,4?

-1-

?a 1 ? , x ?1 11.若 f ( x) ? ? x 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围为 ▲ . [2,+∞) ? ?? x ? 3a, x ? 1
12.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值 为 ▲ . 9
4 1 ? ? 1 ,不等式 ? x ? y ? a ? 2a2 ? 3≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范 x y

13.已知 x,y ? R ? ,满足 围是 解: ▲ .

4 1? ? ? 4 y ? x ? ≤5 ? 2 4 y x ? 1 , x,y ? R ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? 5?? ? y? x y ?x y? ? x

?4y x ? x ? y , ? x ? 2, ? 当且仅当 ? 即? 解得 x ? y≤1 .令 t ? x ? y ,则 t≤1 , y ? 1. 4 1 ? ? ? ? 1. ? ?x y
1] 时恒成立. 不等式 t ? a ? 2a 2 ? 3 ≥ 0 在 t ? (??,

当 a ≥ 0 时,显然不成立;当 a ? 0 时, ta ? 2a 2 ? 3 ≥ 0 恒成立,即 t ? a ? 2a 2 ? 3
3? 3 ? 所以 a ? 2a 2 ? 3 ≥ 0 ,解得 a≤ ? ,则实数 a 的取值范围是 ? ??,- ? . 2? 2 ?

?

?

min

≥0 ,

2 x ? ?(2 x ? x )e , x ? 0 14.已知函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? f ( x) ? 3k ,若函数 g ( x) 恰有两个不同 2 ? ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0 7 ? 2 2 ? 2? 的零点,则实数 k 的取值范围为 ▲ . (1, ) ? ?0,? ? 3 ? 3e 2 ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) . (1)求函数 f ( x) 的定义域;

? 3x, 求函数 g ( x) 的值域. ?2 ? x ? 0 解: (1)由题意得, x 应满足: ? , 所以 f ( x) 的定义域为 (?2, 2) (6 分) ?2 ? x ? 0
f ( x)

(2)记函数 g ( x) ? 10

(2)由于 g ( x) ? 10

2 得 g ( x) ? ? x ? 3x ? 4 (?2 ? x ? 2) ? 3x, 3 25 25 而 g (?2) ? ?6 , g ( ) ? , g (2) ? 6 ∴函数 g ( x) 的值域为 ( ?6, ] (14 分) 2 4 4 f ( x)

-2-

16. (本小题满分 14 分)

解:(1) 由题意知,方程 x ? x ? m ? 0 在 ?? 1,1? 上有解,即 m 的取值范围为函数
2

已知命题:“ ?x ? ?? 1.1?,使等式 m ? x ? x 成立”是真命题. (1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式 ( x ? a)?x ? (2 ? a)? ? 0 的解集为 N,若 N ? M ,求 a 的取值范围.
2

y=x2-x 在 ?? 1,1? 上的值域,易得 M= ??

? 1 ? ,2 (5 分) ? 4 ? ?

(2) 当 a=1 时,解集 N 为空集,满足题意;(7 分) 当 a>1 时,a>2-a,此时集合 N={x|2-a<x<a},则 1 ? a ? 2 (10 分) 当 a<1 时,a<2-a,此时集合 N={x|a<x<2-a},则 0 ? a ? 1 (13 分) 综上: 0 ? a ? 2 (14 分) 17. (本小题满分 15 分) 设命题 p : 函数 f ( x) ? lg( ax 2 ? x ?
x x

1 a ) 定义域为 R ; 16

命题 q : 不等式 3 ? 9 ? a 对任意 x ? R 恒成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“ p 或 q ”为真命题且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由题意 ax ? x ?
2

1 a ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 16

当 a ? 0 时,不符题意,舍去;

?a ? 0 ? 当 a ? 0 时,则 ? (6 分) ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 a ? 2 . 1 ? ? 1 ? 4 a ? a ? 0 ? 16 ?
x (2)设 t ? 3 (t ? 0) , g (t ) ? ?t ? t ? ?(t ? ) ?
2 2

1 2

1 1 , g (t ) max ? , 4 4

1 , (9 分) 4 ∵ 命题“ p 或 q ”为真命题且“ p 且 q ”为假命题,∴p 与 q 一个为真,一个为假,
当 q 为真命题时,有 a ? 当 p 真 q 假,则 ?

?a ? 2 ? (12 分) 1 ,无解, a ? ? 4 ?

?a ? 2 1 ? 当 p 假 q 真,则 ? (14 分) 1 ? ? a ? 2. 4 a ? ? 4 ?
综上,实数 a 的取值范围是

1 ?a?2. (15 分) 4

18. (本小题满分 15 分) 某市近郊有一块大约 500m ? 500m 的接近正方形的荒地, 地方政府准备在此建一个综合性

-3-

休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,总面积为 3000 平方米,其中阴影部分 为通道,通道宽度为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个 小场地形状相同) ,塑胶运动场地占地面积为 S 平方米.

x米

a a

y米
(1)分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式,并给出定义域; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,并求出最大值. 解: (1)由已知 xy ? 3000 ,? y ?

3000 ,其定义域是 (6,500) .(2 分) x

S ? ( x ? 4)a ? ( x ? 6)a ? (2 x ? 10)a,

3000 ?6 y ?6 1500 又 y ? 2a ? 6 ,? a ? ? x ? ? 3, 2 2 x 1500 15000 ,定义域是 (6,500) (7 分) S ? (2 x ? 10)( ? 3) ? 3030 ? ( ? 6 x) (6 分) x x
(2) S ? 3030 ? ( 当且仅当

15000 15000 ? 6 x) ? 3030 ? 2 6 x ? ? 3030 ? 2 ? 300 ? 2430 (12 分) x x

15000 ? 6 x ,即 x ? 50 ? (6,500) 时,上述不等式等号成立, x

此时, x ? 50 , y ? 60 , Smax ? 2430 .(14 分) 答:设计 x ? 50m , y ? 60m 时,运动场地面积最大,最大值为 2430 平方米.(15 分)

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? ax ? 1 . 3

(1)若 x ? 1 时,f ( x ) 取得极值, 求 a 的值; (2)求 f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值.

-4-

(6 分)

(16 分) 20. (本小题满分 16 分)

() m ? x 已知 f ( x) ? ln x ? x ? 1 ( x ? R ) , gx
(1)求函数 y ? f ( x) 的单调区间;

?

1 ? ( m ? 0 ).

(2)设 x ? 0 ,讨论函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )公共点的个数; (3)若数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 1 ,

-5-

在 m ? 2 时, an?1 ? f (an ) ? g (an ) ? 2 ( n ? N ) ,求证: an ? 2n ? 1 . 解: (1)求导 f ?( x) ?

?

1 1? x ?1 ? ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x x

当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 y ? f ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数.(4 分) (2)当 x ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1( m ? 0 )公共点的个数等价于

ln x ? 2 ? 1 与直线 y ? m ( m ? 0 )公共点的个数. x ln x ? 2 1 ? ln x 1 ? 1 ,则 h?( x) ? ? 令 h( x ) ? ,所以 h?( ) ? 0 . 2 x x e 1 1 当 x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ) 上是增函数; e e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 ( , ??) 上是减函数. e e 1 所以, h( x) 在 (0, ??) 上的最大值为 h( ) ? e ? 1 ? 0 , e 1 4 2 且 h( 2 ) ? ?1 ? 0 , h(e ) ? 2 ? 1 ? 0 . e e
曲线 y ?

y

e ?1

x
O
如图:于是 ① 当 0 ? m ? e ? 1时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )有 2 个公共点; ② 当 m ? e ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )有 1 个公共点; ③ 当 m ? e ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 g ( x) ? mx ? 1 ( m ? 0 )有 0 个公共点. (10 分) (3)由题意,正项数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an?1 ? ln an ? an ? 2 由(Ⅰ )知: f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? f (1) ? 0 ,即有不等式 ln x ? x ? 1 ( x ? 0 ) 由已知条件知 an ? 0 , an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 2 ? 2an ? 1,

1 e

-6-

故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 所以当 n ? 2 时, 0?

a ?1 a ?1 a2 ? 1 ? 2, 0? 3 ? 2, , 0 ? n?1 ? 2, a1 ? 1 a2 ? 1 an?2 ? 1

0?

an ? 1 a ?1 以上格式相乘得: 0 ? n 又 a1 ? 1 , 故 an ? 1 ? 2n , 即 an ? 2n ? 1 , ?2, ? 2n ?1 , an?1 ? 1 a1 ? 1
?

对 n ? 1 也成立.所以有 an ? 2n ? 1 ( n ? N ) ( ? ). (16 分)

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-7-



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