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高二数学解析几何综合题复习



高二数学解析几何综合题复习 一、求曲线方程与轨迹 1. 已知圆锥曲线 C 满足下列条件:(1)原点 O 与直线 x=1 为它的焦点与相应准线;(2)A、B 为曲线上两点,且 x+y=0 垂直平分线段 AB,AB 的长为 ;求曲线的方程。

法一:(联立方程,利用方程思想求 e)

曲线的方程为 设直线 AB 的方程为 y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),

因直线 AB 与曲线 C 有两个交点,所以

∵AB 关于 x+y=0 对称

∴曲线的方程为 3x2-y2-8x+4=0 法二:(利用几何关系求 AB 两点坐标) ∵|OA|=|OB|,∴由第二定义 dA-准=dB-准∴A、B 两点不可能在 x=1 的同侧,

∴圆锥曲线 C 为双曲线。设 A(a,b),B(-b,-a)

∴方程为

法三:设曲线的方程为 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知

将(3),(4)代入(1)-(2)中:x1+x2=2,∴AB 中点为(1,-1) 再看(5),设直线 AB 的方程为 y+1=x-1

代入(5)得 e=2 所以曲线的方程为 3x2-y2-8x+4=0

2. 已知△ABC 中,AB=8,

。求点 C 的轨迹方程。

法一:(直接法求轨迹)

以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建系如图,A(-4,0),B(4,0),设 C(x,y) 是所求轨迹上任一点,则

当 y>0 时,

当 y<0 时

综上,C 点的轨迹方程为

法二:把 AB 看作圆中的弦,它所对的圆周角为 上,坐标为

,则所对的圆心角为

,且圆心在 y 轴

3. 已知椭圆 C 过定点 A(2,4),离心率为 程。

,左准线为 y 轴。求椭圆 C 左顶点的 P 的轨迹方

解:设 P(x,y)为所求轨迹上任一点,设 F(x0,y)

又∵A 在椭圆上,

,将(1)代入得

即为所求轨迹方程

[评]此题中左顶点与左焦点是相关点,而左焦点的轨迹方程是可求的,所以利用代入法求轨 迹方程是非常好的做法。 4. 设点 O 是直角坐标系的原点,点 M 在直线 x=-p(p>0)上移动,动点 N 在线段 MO 的延长 线上,且满足|MO||NO|=|MN|。求点 N 轨迹方程。 法一:(直接法)设 N(x,y),M(-p,y0)

∵N 在线段 MO 的延长线上,

∴(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x>0)即为所求。 法二:设 N(x,y)为所求轨迹上任一点,作 NA⊥x 轴于 A 点,则有

∴(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x>0)即为所求轨迹方程。 [讲评]求轨迹方程的方法: (1)直接法:直接翻译题目中所给的几何条件,得到 x 与 y 的关系式; (2)定义法:分析出动点满足曲线的定义,如动点 p 满足|PA|=2(其中 A 为定点),则点 P 的轨 迹是圆,圆心为 A,半径为 2; (3)代入法:如 3 题,经常会用在相关点问题中; (4)参数法:如果不能直接得到 x 与 y 的关系式,而是知道 x=f1(t),y=f2(t),则可以通过消去 参数 t 的到 x 与 y 的关系式。

二、求参数或变量的取值范围 5. 已知定点 M(-1,2),直线 L1:y=a(x+1),曲线 C: ,L1 与曲线 C 交于 A、B

两点,N 为 AB 中点,直线 L2 经过 M、N 两点与 x 轴交于 p0(m,0),求实数 m 的取值范围。

[分析](1)求出 N(f1(a),f2(a))及 a 的范围; (2)求 m=f(a)的值域。 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0)

∵方程(1)有两个正根,

因 LMN 过 P0(m,0) ∴(2a2+a-2)m+2a2+a=0

6. 若抛物线 C:y=ax2-1 上总有关于 L:x+y=1 对称的两点,求实数 a 的取值范围。 法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=x+b

∵A,B 关于直线 x+y=1 对称

法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 C 上关于直线 L 对称的两点

由(5))(6)知,x1,x2 是方程

的两个根

法三:[分析]:利用 A、B 中点在抛物线内列不等式,且抛物线含焦点的部分内的点满足

设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 C 上关于直线 L 对称的两点,AB 中点为 p(x0,y0),由法 二中(5)知

,因点 P 抛物线含焦点部分,

所以代入

[讲评]求变量范围的方法:(1)函数的方法,如 5 题;(2)构造不等式的方法,如 6 题;(3)几 何的方法:如果能根据几何知识分析出变量在何时取到最值,就可以通过求最值得到取值范围。 习题: 1. 矩形 ABCD 的顶点 A、B 在直线 L:y=2x+m 上,C、D 在抛物线 M:y2=4x 上,该矩形 的外接圆方程为 x2+y2-x-4y-t=0,求 m、t 的值。

2. 已知椭圆 C:

,直线 L:

,点 P 在直线 L 上,射线 OP 交椭圆 C

于点 R,点 Q 在射线 OP 上,且满足|OQ||OP|=|OR|2。求点 Q 的轨迹。

3. 已知 P 为椭圆

上一个动点,它与长轴的端点不重合,点 F1、F2 分

别是双曲线

的左、右焦点,∠F1PF2=θ,当 a 为常数时,求 θ 的最小值。

4. 椭圆中心在坐标系原点,焦点在 x 轴上,过椭圆左焦点 F 的直线 L 交椭圆于 P、Q 两点, 且 OP⊥OQ,求离心率 e 的取值范围。 答案:

1. 法一:设⊙N:

设直线 CD 的方程为 y=2x+n

∵PN⊥CD,

∵直线 AB 与 CD 关于 N 对称,∴m=6,将 n=-4 代入(1)得 xC=1,xD=4

∴C(1,-2)

法二:因直线 AB 与 CD 关于

对称 ∴直线 CD 方程为 4-y=2(1-x)+m

,以下类似法一,求出 m,t。 2. 法一:设 Q(x,y)是所求轨迹上任一点,lOP:y=kx



代入上式得 2x2+3y2-4x-6y=0∴Q 点的轨迹为去掉原点的椭圆。

法二:设 Q(x,y)是所求轨迹上任一点,设 P(x1,y1),R(x2,y2)



,P、Q、R 三点的横坐标同号、纵坐标也同号。



因 消 λ 得 2x2+3y2-4x-6y=0,∴Q 点的轨迹为去掉原点的椭圆。 3. 解:设 P(acosα,sinα) α∈(0,π)(由椭圆对称性知 θ 值重复出现,所以取一半即可,此时 tanθ 单值对应),

当且仅当

[评]也可以用向量或余弦定理。

4. 设椭圆的方程为

(1)当 L 的斜率存在时,设 L 的方程为 y=k(x+c),与椭圆交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,

(2)当直线 L 的斜率不存在时,可求得

综上所述 圆锥曲线综合题(一)

一综合分析 1 圆锥曲线的地位 圆锥曲线在解析几何中占主导地位,在整个高中数学中也扮演着主要角色,充分展示了数 学思想的精华部分,与其它数学知识相连----平面几何、函数、三角、不等式、复数,有层次地 训练和提高了学生的素质与能力. 对于圆锥曲线的综合题的解决, 要求学生有良好的逻辑推理能 力和计算能力,能准确、灵活运用等价转化思想、数形结合思想,对于二次方程、二次函数、解 不等式和不等式组的知识要在较高层次上落实.圆锥曲线综合题是历年数学高考的热点及难点. 2 圆锥曲线的计算 解析几何图形结构、问题结构多,且易于发散,一旦形成为图形或知识点的综合,往往最 具运算量、最为繁难复杂. 因此,有时即便是明确了解法甚至较细的步骤,解题过程当中也常 常被卡住,算不到底、算不出正确结果也是常有的事。 因此,如何解决运算量问题,对于解题 成功与否至关重要.解决运算问题,可以有以下措施: (1)不断提高运算和恒等变形能力:注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的 能力,避免思维定势,提高思维灵活性:具体审题中多收集些信息,综观全局,权衡利弊,再决 定解题策略;加强训练运算基本功,不断提高恒等变形的能力. (2)善于运用平面几何性质来解题问题:解题处理方式不同,可能繁简大相径庭,若考虑问 题的几何特征,充分利用图形几何性质,对于解决运算量会大有裨益,这一点对于圆锥曲线综合 题的处理很重要. (3)注意解析法与各种数学方法结合:当所求点的坐标直接解决有困难时,往往引进参数或 参数方程起到解决问题的桥梁作用,引进合适的参数,进行设而不求的计算方式,在解析几何中 是普遍的,但应注意不断积累消参经验;相应元替换法也是常用的策略.

3 圆锥曲线综合题类型 (1)用待定系数法求圆锥曲线方程 ①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件:如果位置不确定时,考虑 是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n 个未知数,列够 n 个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用. (2)求轨迹方程 基本方法:定义法;直接代入法:参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 应注意的问题:①注意限制:②求轨迹方程与求轨迹的区别:求轨迹是要求先求轨迹方程 再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征:③n 个未知数,列够 n-1 个独立方程, 特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值 ①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n 个未知数,列够 n 个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的 方法: ③利用几何性质求参数范围; ④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同. 二 例题分析与解答

例 1:已知椭圆

,过左焦点 F 作不与 x 轴重合的直线 l,则在椭圆上关

于 l 对称的不同点( ) (A)有 1 对(B)有 2 对(C)有无穷多对(D)不存在, [分析与解答]本题为开放题,我们往往假设在椭圆上存在这样的点 A、B 关于 l 对称,则可 以设直线 AB 的方程为 y=kx+m,将其代入椭圆方程,得到关于 x 的一元二次方程,利用韦达定 理,求出 AB 中点 N 的坐标,再由 N 的坐标和 AB 斜率的负倒数,可表示弦 AB 的中垂线 l 的方 程, 令其纵坐标为零, 横坐标为-c,检查对应方程解的个数即可.当然, 也可以用点差法来求. 但 是这两条思路,造成的运算量都是相当大,大多数同学半途而废,无功而返,因而这就成为一道 难题.如果巧妙地利用平面几何的性质,则效果就大大不同了:如果存在这样的对称点 A、B 关 于 l 对称,则由垂直平分线性质得|AF|=|BF|,再由椭圆第二定义可推出|AF|=a+exA,|BF|=a+exB, 经检验,若使|AF|=|BF|,当且仅当 a+exA=a+exB,得 xA=xB. 从而直线 AB 垂直于 x 轴,直线 l 必 须与 x 轴重合,因此在椭圆上关于 l 对称的不同点不存在.这样做,运算量小,思路清楚简洁. 例 2:设一条直线和一条双曲线及其两条渐近线都相交,求证:这条直线夹在双曲线及其 渐近线之间的两条线段相等。

[分析与解答]如果按照程序化模式,设直线方程,使其与双曲线方程和渐近 线方程联立,分别解出四个交点的坐标,然后利用两点间距离公式代入,即可验 证截得两线段相等,其中的运算量让人望而生畏.但如果认真分析图形,分析出

求证|AC|=|BD|等价于证线段 AB 与 CD 的中点重合,同时注意到渐近线方程

与双

曲线方程

仅仅差距在常数部分,相应地与直线方程联立后得到的关于 x 的一元二

次方程的常数项不同、其它项完全相同,由韦达定理易得出,xl+x2=x3+x4,从而中点重合,问题 得证,运算量小,思路直观.

例 3:椭圆 2001 年全国高考试题)

的右准线 l 与 x 轴相交于点 E,过椭圆心焦点 F 的直线与椭圆相交

于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC∥x 轴,求证直线 AC 经过线段 EF 的中点.(本题是

[分析与解答]要证的结论是 AC 经过线段 EF 的中点,设 EF 的中点为 N,只要证明 A、N、 C 头线,可用斜率相等来证明,也可先找出 AC 与 x 轴交点,设为 N,只要证明 N 是 EF 的中点 即可, [证法一]若 AB⊥x 轴,结论显然成立; 若 AB 不与 x 轴垂直,设直线 AB 方程为:y=k(x-1)(k≠0)

记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 C(2,y2)且 x1,x2 是二次方程

的根.

即(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0



,故直线 AN、CN 的斜率分别为:

∴k1=k2,所以 C、A、N 共线。故直线 AC 经过线段 EF 的中点 N。 [证法二]如图,证直线 AC 与 x 轴的交点为 N,过 A 作 AD 与 l 垂直,D 是垂足,因为 F 是 椭圆的右焦点,l 是右准线,BC∥x 轴,即 BC⊥l. 根据椭圆的几何性质,得

∵AD∥EF∥BC,



,即得

故 N 为线段 EF 的中点,即直线 AC 经过线段 EF 的中点 N。 [点评]两种解法作对比:解析法思路清楚,简洁,只需按部就班程序化就行,但缺点是运算 量大,而利用平面几何性质的这种解法过程简单利落,无需大量运算,但需要添加辅助线,思考 起来不如解析法容易一些。 本题结论是椭圆的共性, 因而证题过程中不一定必须用椭圆的这个方 程条件,由特殊类比地推广到一般,双曲线、抛物线是否也具有这样的性质呢?答案是肯定的, 同学们可以自己做出证明。 例 4 已知椭圆的中心在原点,它在 x 轴上的 1 个焦点与短轴 2 个端点的连线互相垂直,且 此焦点和长轴长较近端点的距离是 ,求椭圆的方程。

[分析与解答]本题关键是利用“待定系数法”求椭圆方程。

设椭圆方程为



例 5 抛物线 y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形, 直角顶点在原点, 一直角边的方程为 y=2x, 斜边长为 ,求此抛物线方程。

[分析与解答]设 Rt△OMN, 则由 由

解得由 M(8p,-4p),

,故所求方程为

例 6. 过椭圆 E:

上任一点 p 作 E 的右准线 l 的垂线 PH,H 为垂足,延长 PH

到 Q,使 HQ=λPH(λ>0).(1)求当点 P 在 E 上运动时 Q 点的轨迹 G 的方程;(2)当 λ 取何值时,轨 迹 G 是焦点在平行于 y 轴的直线上的椭圆?证明这些焦点都在同一个椭圆 E'上,并写出椭圆 E' 的方程;(3)当 λ 取何值时,轨迹 G 是与椭圆 E 离心率相等的椭圆?求出这种椭圆被椭圆 E'的右 准线 l'截得的弦长。 [分析与解答] (1)椭圆 E 的右准线为 l:x=3,设 P(x1,y1)、Q(x,y)、H(3,y1),因为 HQ=λPH(λ>0)

所以

又 y1=y 代入方程 E:

为所求

(2)3λ2<2,即

,设焦点 F(x,y),则

,消去参数 λ,得

E':

(3)

, 当 λ=1 时, 椭圆 G 的方程为

, ;

而椭圆 E'的右准线 l':x=6,∴椭圆 G 的短轴恰好在直线 l'上,∴l'截椭圆 G 所得的弦长为



时,椭圆 G 的方程为

,把 l':x=6 代入,得

,从而弦长为

三、作业

1. 已知 F1, F2 是椭圆

的两焦点, 过点 F2 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 在△AF1B

中,若有两边之和是 11,则第三边的长度为( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)10

2. 如果双曲线 离为______

上一点 P 到它的右焦点的距离为 17,那么 P 到它的左准线的距

3. 与椭圆

有公共焦点,且离心率为

的双曲线方程为_____

4. 已知直线 L 的参数方程为:

,直线 M 的普通方程为 2x-3y+1=0,设 L 与 M 的

交点为 P,则点 A(2,3)到点 P 的距离|AP|为_____

5. 在面积为 1 的△PMN 中, 点且过点 P 的椭圆方程。 答案:

,tgN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为焦

1. A 2.

3.

4.

5. 以 MN 的中点为原点,MN 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系,设 P(x,y),则



∴所求椭圆的方程为 圆锥曲线综合题选讲(二) 例 6. 已知圆⊙C: (x-3)2+y2=9, 一动圆⊙M 与⊙C 外切且同时与 y 轴相切, 求此动圆圆心 M 的轨迹。 [分析与解答]设动圆圆心 M(x,y),由动圆⊙M 与 y 轴相切,则动圆半径 r=|x|(x≠0);又有动 圆⊙M 与⊙C 外切,则有|MC|=r+3, 当 x>0 时方程化为 y2=12x; 当 x<0 时方程化为 y=0; 当 x=0 时,r=0 不满足题意。 故所求轨迹图形是去掉顶点的抛物线 y2=12x 及 x 轴的负半轴。 ,平方整理后得 y2=6x+6|x|.

例 7. 过椭圆 [分解与解答]

内一点(1,0)引弦 AB,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。

解法一:设过定点(1,0)的直线方程为:y=k(x-1),与椭圆交于点 A(x1,y1)、B(x2,y2)中点

M(x0,y0),从而





所以,所求方程为 4x2+9y2-4x=0 解法二:设过点(1,0)的直线斜率为 k,A(x1,y1)、B(x2,y2),中点 M(x,y)

则 4x2+9y2-4x=0

,(1)与(2)作差,在将(3)(4)(5)(6)代入,即可得到所求方程为

例 8. F 为定点,l 为定直线,点 F 到直线 l 的距离为 P(P>0),点 M 在直线 l 上滑动,动点 N

在 MF 的延长线上,且满足

,求动点 N 的轨迹。

[分析与解答]如图, 作 FK⊥l 于 K, 以 F 为原点, 直线 KF 为 x 轴, 建立直角坐标系, 设 N(x, y)(x>0),则直线 l 方程为 x=-p,记 MN 的斜率为 k,则点 M、N 的坐标分别为(-p,-pk),(x,kx), 且 有 , 依 题 意 得 |FN|· |MF|=|MN| , 即



代入,得(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x>0)

(1)当 0<p<1 时,所求轨迹是双曲线的右支; (2)当 p=1 时,所求轨迹是抛物线在 y 轴右侧部分; (3)当 p>1 时,所求轨迹是椭圆在 y 轴右侧部分。 例 9. 抛物线 y=x2 上不存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点,求 m 的取值范围。 [分析与解答] (1)当 m=0 时,存在; (2) 当 m≠0 时,设点 A(x1, y1),B(x2, y2)在抛物线上,且关于直线 y=m(x-3)对称,则有

由(2)-(1)得 物线内部,

, 从而得 AB 中点坐标为

, 因为中点在抛

综上可得

例 10 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 的距离为 3。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M、 N, 当|AM|=|AN| 时,求 m 的取值范围。 [分析与解答]

(1)设椭圆方程为



(2)将 y=kx+m 代入 (1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0

,得

设 MN 中点为 P, 将 (2) 代 入 (1) , 得 2m>m2 , 即 0<m<2 , 又 因 为 (2) :

例 11. 求椭圆

的两条垂直切线的交点的轨迹。

[分析]设一条切线的斜率为 k(k≠0),方程为 y=kx+m. 从而(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0

∴m2=a2k2+b2,

不妨设这条切线的方程为:

因为两条切线垂直,则另一条切线的方程为

由(1): 把这两个方程的两端各平方,然后左右分别相加,得(1+k2)(x2+y2)=(1+k2)(a2+b2) 经检验,当 k=0 时,两切线交点为(± a,± b),也满足上述方程。 由此可知,椭圆的两条垂直切线的交点的轨迹是一个圆。

例 12. 已知双曲线 线 l 的椭圆中心,求 k 的取值范围。 [分析与解答]

的右焦点 F、 右准线 l, 直线 y=kx+3 通过为对应焦点 F 和准

由椭圆的第二定义可知,只给定焦点和准线,没有给定离心率的椭圆,是以离心率为参变量 的椭圆系,其中心是运动的,因此过中心的直线也是运动的,因此直线的斜率有一定的范围。

双曲线

的右焦点 F(2,0)、右准线 l:

,设 P(x,y)为椭

圆上任意一点,由椭圆的第二定义可知,以 F 为焦点, l 为准线的方程为

经化简整理得

,则椭圆中心坐标为









线

y=kx+3







0<e<1



例 13. 一组椭圆的长轴长都是 10,都以 y 轴为左准线,且椭圆的左顶点都在抛物线 y2=x-2 上,求这些椭圆离心率的变化范围。 [ 分 析 与 解 答 ] 设 椭 圆 的 中 心 为 (x0 , y0) , 则 椭 圆 方 程 为

, ∵ 椭 圆 的 左 准 线 为

x=0 ,

, 设椭圆的左顶点为 A(x, y), 则

∵A 在抛物线 y2=x-2 上,∴x-2≥0,即



因此 例 14. 如图是抛物线拱桥,设当水面宽 AB=2a 米时拱顶离水面的距离为 h 米,一货船在水 面上的部分为横断面,为一矩形 CDEF,(1)若矩形的长 CD=a 米,那么矩形的高 DE 不能超过多 少米才能使船通过拱桥?(2)求矩形面积 S 的“临界值”M: 即当 S<M 时, 适当调整矩形的长和高, 船能通过此拱桥;而当 S>M 时,无论怎样调整矩形的长和高,船都不能通过此拱桥。 [分析与解答]

(1)取抛物线顶点为原点,对称轴为 y 轴建立直角坐标系,设抛物线的方程为 x =-2py,则 B 点坐标为(a,-h)
2

∴a2=2ph,即

,因而抛物线方程为

,当 E 点在抛物线

上时,其横坐标为

,代入抛物线方程得

,即矩形的高 DE 不

能超过

米才能使船通过拱桥。

(2)由题意,矩形 CDEF 面积 S 的“临界值”M 就是当 E、F 两点在抛物线上时,矩形 CDEF 面积取的最大值。



,则

当且仅当

时取等号,故所求 S 的“临界值”M 为

例 15. 已知椭圆 围。 [分析与解答]

的离心率

, 过点 P(0, 2)的直线与椭圆相交于 A、

B 两点,若存在这样的直线 l,使得原点 O 在以 AB 为直径的圆上,求椭圆的短半轴 b 的取值范

∴椭圆方程为 x2+4y2=4b2 (1) 设 l 的方程为 y=kx+2 (2) 将(2)代入(1)得 x2+4(kx+2)2=4b2, 整理得(1+4k2)x2+16kx+16-4b2=0 ∵l 与椭圆交于 A、B 两点 ∴△=(16k)2-4(1+4k2)(16-4b2)>0 即 4b2k2+b2-4>0 (3)

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理得 ∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4

∵原点 O 在以 AB 为直径的圆上,∴OA⊥OB,x1x2+y1y2=0 ∴16-4b2+4-4b2k2=0 即 4b2k2=20-4b2 (4)

将(4)代入(3)得-4b2+20+b2-4>0, 但观察图形知,过 P 作直线与椭圆有两个交点,A、B 必在 y 轴同侧,这说明 x1,x2 不可能 异号,于是方程(1+4k2)x2+16kx+16-4b2=0 中常数项 16-4b2≥0,即 0<b≤2。 综上所述,椭圆短半轴的取值范围是 0<b≤2 综合点评 在高考中,解析几何综合题一般为大题,重点考查视图、画图、数形结合、等价转换、分类 讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,要求考生能综合运用平面几何知识与代数知识解决 问题,希望同学们通过这两讲,能认真总结解析几何的三大类综合题的解题思路及方法,提高解 题能力,并不断地丰富数学思想和思维方法。

作业与答案

1. 直线 面积的最大值。

交于 A、 B 两点, 当 m 变化时, 求|AB|最大值和△AOB

2. 已知函数 (1)若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数 a 的取值范围;

(2)若 f1(x)>f2(x-b)的解集为

,求 b 的值。

3. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过定点 M(a,0)且斜率为 1 的直线于该抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p,(1)求 a 的取值范围;(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面 积的最大值。

参考答案:

1. [分析]设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 y=x+m 与椭圆 则方程联立:

交于 A、B 两点,

∴△=(8m)2-4× 5× 4(m2-1)>0

由韦达定理,得

当且仅当 m=0,即直线 AB 方程为 y=x 时,|AB|取得最大值

点 O(0,0)到直线 AB:y=x+m 的距离

,所以△AOB 面积 S 为

当且仅当 5-m2=m2, 值 1。

,即直线 AB 方程为

,△AOB 面积取得最大

2. [分析]如果按代数方法去解方程,不仅仅运算量大,而且讨论起来也非常麻烦。经仔细观 察分析可知,两个函数有明显的几何背景:半圆与直线的位置关系。方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不

等的实根意味着半个动圆与定直线有两个公共点, f1(x)>f2(x-b)的解集为

意味着半个定圆

当且仅当在区间

上的部分应在直线的上方,这样就由不等式的问题经解析几何 的数形结合转化为几何图形问题,进而解方程即可解决问题。

答案是(1)

3.

(答案详见 2001 年春季高考北京、安徽卷的第 22 题)



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