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高三数学一轮复习必备精品:不等式组及线性规划



2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第 32 讲
一. 【课标要求】

不等式解法及应用

1.不等关系 通过具体情境, 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 了解不等式 (组) 的实际背景; 2.一元二次不等式 ①.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程;

②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系; ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图 3 二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组; ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决

二. 【命题走向】
分析近几年的高考试题, 本将主要考察不等式的解法, 综合题多以与其他章节 (如函数、 数列等)交汇。从题型上来看,多以比较大小,解简单不等式以及线性规划等,解答题主要 考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用 预测 2010 年高考的命题趋势: 1.结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质,解不等式的试题常以填空题、解答 题形式出现; 2.以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点,主要考察 考生阅读以及分析、解决问题的能力; 3.在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题,特别注意与函 数、导数综合命题这一变化趋势; 4.对含参数的不等式,要加强分类讨论思想的复习,学会分析引起分类讨论的原因, 合理分类,不重不漏

三. 【要点精讲】
1.不等式的解法 解不等式是求定义域、 值域、 参数的取值范围时的重要手段, “等式变形” 与 并列的 “不 等式的变形” ,是研究数学的基本手段之一。 高考试题中,对解不等式有较高的要求,近两年不等式知识占相当大的比例。 (1)同解不等式((1) f ( x ) ? g ( x) 与 f ( x ) ? F ( x ) ? g ( x ) ? F ( x ) 同解; ( 2 ) m ? 0,f ( x) ? g( x) 与 mf ( x ) ? mg ( x ) 同 解 , m ? 0,f ( x) ? g( x) 与

mf ( x) ? mg ( x) 同解;
(3)

f ( x) ? 0 与 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 ( g ( x ) ? 0 同解) ; g( x)

2.一元一次不等式 解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础,必须熟 练掌握,灵活应用。

?(1)a ? 0 ? ax ? b ? 分 ?(2)a ? 0 情况分别解之。 ? ?(3)a ? 0
3.一元二次不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 或 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 分 a ? 0 及 a ? 0 情况分别
解之,还要注意 ? ? b2 ? 4ac 的三种情况,即 ? ? 0 或 ? ? 0 或 ? ? 0 ,最好联系二次函数 的图象 4.分式不等式 分式不等式的等价变形:

? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) >0 ? f(x)·g(x)>0, ≥0 ? ? 。 g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0

5.简单的绝对值不等式 绝对值不等式适用范围较广,向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不 等式。高考试题中,对绝对值不等式从多方面考查。 解绝对值不等式的常用方法: ①讨论法:讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值符号,转化为一般 不等式; ②等价变形: 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|<a ? x2<a2 ? -a<x<a(a>0), |x|>a ? x2>a2 ? x>a 或 x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x), |f(x)|>g(x) ? f(x)>g (x)或 f(x)<g(x)。 6.指数不等式

a f ( x) ? a g( x) ?

(1) 当a ? 1时,f ( x) ? g( x) ; (2) 当0 ? a ? 1时,f ( x) ? g( x) ;
7.对数不等式

ab ? N ? b ? l o g N a
(a ? 0,b ? 0, l o gm b n ) ? a
l o g f ( x) ? l o g g( x) ? a a

n 1 l o g b, l o g b ? 等, a a m l o ga b

(1)当 a ? 1 时, ?

?g( x) ? 0 ? ; ? ? f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? 0 ? 。 ? f ( x) ? g( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1 时, ?

8.线性规划 (1)平面区域 一般地, 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示 Ax ? By ? C ? 0 某 一侧所有点组成的平面区域。 我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。 当我们在坐 标系中画不等式 Ax ? By ? C ? 0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线 画成实线 说明:由于直线 Ax ? By ? C ? 0 同侧的所有点的坐标 ( x, y) 代入 Ax ? By ? C ,得到 实数符号都相同,所以只需在直线某一侧取一个特殊点 ( x0 , y0 ) ,从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即 可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当 C ? 0 时,通常把原点作为 此特殊点 (2)有关概念 引例:设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x, y 满

? x ? 4 y ? ?3 ? 足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最 ?x ? 1 ?
小值。 由题意, 变量 x, y 所满足的每个不等式 都表示一个平面区域, 不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点 (0, 0) 不 在 公 共 区 域 内 , 当 x ? 0 , y ? 0时 ,

y

x ?1 C
A x ? 4y ? 3 ? 0 B
3x ? 5 y ? 25 ? 0

O

x

z ? 2 x ? y ? 0 , 即 点 (0, 0) 在 直 线 l0 : 2 x ? y ? 0 上,作一组平行于 l0 的直线 l : 2x ? y ? t , t ? R ,可知:当 l 在 l0 的右上方时, 直线 l 上的点 ( x, y) 满足 2 x ? y ? 0 ,即 t ? 0 ,而且,直线 l 往右平移时, t 随之增大。 由图象可知,当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, 当 直 线 l 经 过 点 B (1,1) 时 , 对 应 的 t 最 小 , 所 以 , zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 ,

zmin ? 2 ?1?1 ? 3 。
在上述引例中, 不等式组是一组对变量 x, y 的约束条件, 这组约束条件都是关于 x, y 的 一次不等式,所以又称为线性约束条件。 z ? 2 x ? y 是要求最大值或最小值所涉及的变量

x, y 的解析式,叫目标函数。又由于 z ? 2 x ? y 是 x, y 的一次解析式,所以又叫线性目标函
数。 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题。满足线性约束条件的解 ( x, y) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在 上述问题中, 可行域就是阴影部分表示的三角形区域。 其中可行解 (5, 2) 和 (1,1) 分别使目标 函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解

四. 【典例解析】
题型 1:简单不等式的求解问题 例 1.(福建省福州市普通高中 09 年高三质量检查)已知 、

f ( x)(x ? 0, x ? R)是奇函数 ,当x ? 0时, f ?( x) ? 0, 且f (?2) ? 0 ,则不等式
f ( x ) ? 0 的解集是
A. (—2,0) C. (?2,0) ? (2,?? ) 答案 C B. (2,?? ) D. (?? ,?2) ? (2,?? ) ( )

8.如果 log 1
2

x?

?
3

? log 1
2

?
2

那么 sinx 的取值范围是_______。

答案: ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

解析:因 log1 x ?
2

?
3

? log1
2

?
2

? 0 ?| x ?

?
3

|?

?

? ? ? ? ? ? 5? ? ? ?? , ? ? ? , ? 2 ? 6 3? ?3 6 ?

故 sinx ? ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ? 3 2? ? , 从而正弦值就不等于 .其实 x 等于 时可 3 2 3

易错警示: 利用真数大于零得 x 不等于 取得该值。

例 2.同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低; 反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为:若有限数列 a1 , a 2 , ? , a n 满足 a1 ? a 2 ? ? ? a n ,则 (结论用数学式子表示).

a1 ? a 2 ? ? ? a m a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (1 ? m ? n ) 和 m n a m ?1 ? a m ? 2 ? ? ? a n a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (1 ? m ? n ) n?m n
17. 在 4×□+9×□=60 的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别填 上 和 。

答案: 设两数为 x、 , 4x+9y=60, y 即 又

1 1 1 1 (4 x ? 9 y ) 1 4x 9 y ? ?( ? ) (13 ? ? ) ≥ = x y x y 60 60 y x

4x 9 y 1 5 ? ,且 4x+9y=60,即 x=6 且 y=4 时成立,故应 ? (13 ? 12) ? ,等于当且仅当 y x 60 12

分别有 6、4。 点评: 简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具, 分式不等式的 解题思路是:分式化整式(注意分母不为零) 题型 2:简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题 例 3. (1)某生物生长过程中,在三个连续时段内的增长量都相等,在各时段内平均增长速 度分别为 v1,v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为

A.

v1 ? v 2 ? v 3 3

1 1 1 ? ? v1 v2 v3 B. 3

C.

3

v1v2 v3

D.

3 1 1 1 ? ? v1 v 2 v3

解:设三个连续时段为 t1,t2,t3,各时段的增长量相等,设为 M,则 M= v1 t1= v2 t2=v3 t3, 整个时段内的平均增长速度为

3M 3M 3 ? = ,选 D M M M 1 1 1 t1 ? t 2 ? t 3 ? ? ? ? v1 v 2 v3 v1 v 2 v3

(2) 如图所示, 某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘, 每个面积为 10000 米 ,池塘前方要留 4 米宽的走道,其余各方为 2 米宽的走道,问每个池塘的长宽各为多少 米时占地总面积最少?(14’)
2

走 道2米 走 道 2 米 走 道 2 米

走 道2米 走 道 2 米

池 塘

池 塘

4米 走道

4米 走道

解:设池塘的长为 x 米时占地总面积为 S (1 分) 10000 故池塘的宽为 y ? 米 (1 分) x ? 20000 ? (3 分) S ? (6 ? x)? ? 6 ? ( x ? 0) ? x ? 120000 故S ? (2 分) ? 6 x ? 20036 x

?当

120000 ? 6 x时 即x 2 ? 20000 (2 分) x x ? 100 (米)时 2 10000 y? ? 50 2米时 (1 分) 100 2

S min ? 2 720000? 20036 ? 1200 2 ? 20036

(3 分)

答:每个池塘的长为 100 2 米,宽为 50 2 米时占地总面积最小。 分) (1
点评:该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求 (2)答案:C 解法一:当 x≥2 时,原不等式化为

3? x x ? 2 ? , 3? x x ? 2
6?x? 6。

去分母得(x+2) (3-x)>(x+3) (x-2) , 即-x2+x+6>x2+x-6,2x2-12<0, ? 注意 x≥2,得 2≤x< 6 ; 当 0<x<2 时,原不等式化为 即 2x>0

3? x 2? x ? ,去分母得-x2+x+6>-x2-x+6。 3? x 2? x

注意 0<x<2,得 0<x<2。

综上得 0<x< 6 ,所以选 C。 解法二:特殊值法.取 x=2,适合不等式,排除 A;取 x=2.5,不适合不等式,排除 D; 再取 x= 6 ,不适合不等式,所以排除 B;选 C。 点评:此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。 例 4. (2)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( A.(



? 4 ? 4



5? ? )∪(π , 4 2 5? ) 4



B.(

? 4

,π )

C.(



D.(

? 4

,π )∪(

5? 3? , ) 4 2

?2t x ?1 , x ? 2, ? ? (3)设 f(x)= ?log t ( x 2 ? 1), x ? 2, ?
(A)(1,2) ? (3,+∞)

则不等式 f(x)>2 的解集为( )

(B)( 10 ,+∞)

(C)(1,2) ? ( 10 ,+∞) 解析:将 (2)答案:C

(D)(1,2)

解法一: 作出在 (0, ) 2π 区间上正弦和余弦函数的图象, 解出两交点的横坐标 由图 4—6 可得 C 答案。

? 5? 和 4 4



图 4—6 图 4—7 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.(如图 4 —7) 。 (3)C; 点评:特殊不等式的求解,转化是一方面,借助于函数的性质和图象也是解决问题的有 效手段。 题型 3:含参数的不等式的求解问题 例 5. (1)设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M ? [1,4] ,求实数 a 的取值 范围?

a ( x ? 1) >1(a≠1)。 x?2 分析:该题实质上是二次函数的区间根问题,充分考虑二次方程、二次不等式、二次函 数之间的内在联系是关键所在;数形结合的思想使题目更加明朗 解析: (1)M ? [1,4]有两种情况:其一是 M= ? ,此时Δ <0;其二是 M≠ ? ,此 时Δ =0 或Δ >0,分三种情况计算 a 的取值范围 设 f(x)=x2 -2ax+a+2,有Δ =(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2) 当Δ <0 时,-1<a<2,M= ? ? [1,4] ; 当Δ =0 时,a=-1 或 2; 当 a=-1 时 M={-1} ? [1,4] ;当 a=2 时,m={2} ? [1,4] 。 当Δ >0 时,a<-1 或 a>2。 设方程 f(x)=0 的两根 x1,x2,且 x1<x2,
(2)解关于 x 的不等式 那么 M=[x1,x2] ? [1,4] ? 1≤x1<x2≤4 ? ? ,M

? f (1) ? 0, 且f (4) ? 0 , ?1 ? a ? 4, 且? ? 0

?? a ? 3 ? 0 ?18 ? 7a ? 0 18 ? 即? ,解得 2<a< , 7 ?a ? 0 ?a ? ?1或a ? 2 ?

∴M ? [1,4]时,a 的取值范围是(-1, (2)原不等式可化为:

18 )。 7

(a ? 1) x ? (2 ? a) >0, x?2 a?2 ①当 a>1 时,原不等式与(x- )(x-2)>0 同解。 a ?1
由于

a?2 1 ? 1? ?1? 2 , a ?1 a ?1

a?2 )∪(2,+∞)。 a ?1 a?2 ②当 a<1 时,原不等式与(x- )(x-2) <0 同解。 a ?1
∴原不等式的解为(-∞,

a?2 1 , ? 1? a ?1 a ?1 a?2 1 a?2 若 a<0, ,2); ? 1? ? 2 ,解集为( a ?1 a ?1 a ?1 a?2 1 若 a=0 时, ? 1? ? 2 ,解集为 ? ; a ?1 a ?1 a?2 1 a?2 若 0<a<1, )。 ? 1? ? 2 ,解集为(2, a ?1 a ?1 a ?1
由于

a?2 a?2 综上所述: a>1 时解集为(-∞, 当 )∪(2, +∞); 0<a<1 时, 当 解集为(2, ); a ?1 a ?1 a?2 ,2)。 a ?1 点评: 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。 本题主要涉及一元 二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系, 以及分类讨论的数学思想。 M= ? 是 符合题设条件的情况之一,出发点是集合之间的关系考虑是否全面,易遗漏;构造关于 a 的不等式要全面、合理,易出错
当 a=0 时,解集为 ? ;当 a<0 时,解集为( 例 6. (1) (2009 湖南卷文)若 x ? 0 ,则 x ? 答案 2 2 解析
2

2 的最小值为 x

.

?x ? 0 ? x ?

2 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时取等号. x x

(2) (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理)已知 f (x) ,g(x) 都是定义在 R 上的函数, 且 满 足 以 下 条 件 : ① f (x) = a x · g(x) ( a ? 0, a ? 0 ); ② g(x) ? 0 ; ③

f ( x) ? g ' ( x) ? f ' ( x) ? g( x) 。若
1 )∪( 2 ,+∞ ) 2

f (1) f (?1) 5 ? ? ,则使 log a x ? 1 成立的 x 的取值范围是 g (1) g (?1) 2
B.( 0 ,

A.( 0 ,

1 ) 2

C.(-∞, 答案 B

1 )∪( 2 ,+∞ ) 2

D.( 2 ,+∞ )

题型 4:线性规划问题

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 例 7. (1)(2009 山东卷理)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?
若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的是最大值为 12,



2 3 ? 的最小值为 a b 25 8 A. B. 6 3


( C.

).

11 3

D. 4

答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0) 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ,故选 ? =( ? ) ? ?( ? ) ? ?2 ? a b a b 6 6 a b 6 6

A. 【命题立意】 :本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准 确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求

2 3 ? 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. a b
(2)2009 安徽卷理)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? ?
?3 x ? y ? 4 ? ?x ? 0

4 分为 3

面积相等的两部分,则 k 的值是 A.

7 3
B

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

答案

解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

y

?x ? 3y ? 4 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3 x ? y ? 4

y=kx+ 3 D C O A x

4

1 4 4 ∴ S △ABC= (4 ? ) ?1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 1 2 1 5 交点为 D,则由 S?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ yD ? 2 3 2 2



5 1 4 7 ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3

例 8. (1)设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ?1( x ? R) ,若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x ) ? 0 成立,则实数 a 的值为 ▲

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成 立;当 x>0 即 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

3 1 ? x 2 x3

设 g ? x? ?

3 ?1 ? 2x ? 3 1 ? 1? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区 ? 3 ,则 g ' ? x ? ? 4 2 x x x ? 2?

间 ? ,1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ?

?1 ? ?2 ?

?1? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2?
3 ?1 ? 2x ? 3 1 ? 3 ,g ' ? x ? ? ?0 x4 x2 x

当 x<0 即 ? ?1, 0 ? 时,f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ?
3

g ? x ? 在区间 ? ?1, 0 ? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
【答案】4

? x ? y ? 2 ? 0, ? (2) 在平面直角坐标系中, 不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ( ?x ? 2 ?
(A)



1 2

(B)

3 2

(C)

1 8

(D)

9 8

?x ? y ? 4 ? (3)已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? x , 点 O 为坐标原点,那么|PO |的最小 ? y ? 1, ?

____ ____ 值等于 _ _ _ _ ,最大值等于 _ _ _ _ 。
?a1 x ? a2 y ? c1 ? 解析: (1)约束条件为 ?b1 x ? b2 y ? c2 ,选 C; ? x?0 ? ? y?0 ?
(2)A; (3) 2 、 10 。 点评:线性规划的应用题也是高考的热点,诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出

现 题型 5:不等式的应用 例 9. (2009 四川卷文)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨, B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 答案 D 解析 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系: y A 料 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 3x 原 B 原料 2x 3y (0,6) (3,4) 13

y

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? ?3 x ? y ? 13 ?2 x ? 3 y ? 18 ?
目标函数 z ? 5 x ? 3 y 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知: 当 x =3, y =5 时可获得最大利润为 27 万元,故选 D

O



13 9 ,0) 3

x

例 10.(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知 设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产 品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. 答案 解析 2300 设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则

z ? 200 x ? 300 y ,甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品 (件)(≥50) 5 6 B 类产品 (件)(≥140) 10 20 租赁费 (元) 200 300

6 ? ? 5 x ? 6 y ? 50 ? x ? 5 y ? 10 ? ? 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? , x ? 2 y ? 14 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0 ?

? 6 ? x ? y ? 10 z ? 200 x ? 300 y 对应的直线过两直线 ? 作出不等式表示的平面区域,当 的交 5 ? x ? 2 y ? 14 ?
点(4,5)时,目标函数 z ? 200 x ? 300 y 取得最低为 2300 元. 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关 系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.. 点评:本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查函数关 系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理 解能力、建模能力。

五. 【思维总结】
1.在复习不等式的解法时,加强等价转化思想的训练与复习 解不等式的过程是一个等价转化的过程,通过等价转化可简化不等式(组) ,以快速、 准确求解。 加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中,如含参数等问题,一般要 对参数进行分类讨论.复习时,学生要学会分析引起分类讨论的原因,合理的分类,做到不 重不漏。 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可分,相互 联系、互相转化.如求参数的取值范围问题,函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在 不等式的证明中, 加强化归思想的复习, 证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一 个转化过程,既可考查学生的基础知识,又可考查学生分析问题和解决问题的能力,正因为 证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材,复习时应引起我们的足够重视 2.强化不等式的应用 突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值,借助不等式来考查学生的应用意识。 高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际 应用问题的试题中涉及不等式的知识,加强不等式应用能力,是提高解综合题能力的关键. 因此,在复习时应加强这方面训练,提高应用意识,总结不等式的应用规律,才能提高解决 问题的能力。 如在实际问题应用中, 主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法, 求最值 时要注意等号成立的条件,避免不必要的错误。 3.突出重点 综合考查在知识与方法的交汇点处设计命题, 在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想, 不等 式又为研究函数提供了重要的工具, 不等式与函数既是知识的结合点, 又是数学知识与数学 方法的交汇点, 因而在历年高考题中始终是重中之重。 在全面考查函数与不等式基础知识的 同时,将不等式的重点知识以及其他知识有机结合,进行综合考查,强调知识的综合和知识 的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点。



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