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第六章 第二节 一元二次不等式及其解法



第二节

一元二次不等式及其解法

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研考向 考点研究

思想与方 法系列17

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1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式 模型. 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二 次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等 式,会设计求解的程序框图.

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知识点一

一元二次不等式的解集
“三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2+bx

知识点一 知识点二

+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为:

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像

Δ> 0

Δ= 0

Δ< 0

知识点三

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知识点一 判别式 Δ=b2-4ac 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+ c>0(a>0) ax2+bx+ c<0(a>0) Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0 无实 根 R ___

知识点一 知识点二

知识点三

有两相异实 有两相同实 根 根 x=x1或x=x2 x= x1 {x|x<x1或 ___________ ? ? ?x|x≠x ? 1 ? ? ______ x>x2} _______
{___________ x|x1<x<x2}

? ___

? ___

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知识点一
?易误提醒 (1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0

知识点一 知识点二

时的情形. (2)当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是?,要注意区别. ?必记结论 (1)(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式解法:

知识点三

a> b {x|x<b ________ { x | x ≠ a } (x-a)(x-b)>0 {x|x<a或x>b} ________ 或x>a} ________ (x-a)(x-b)<0 {x|a<x<b} ___________ ? __ {x|b<x<a}

不等式

解集 a< b a= b

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知识点一
(2)由二次函数图像与一元二次不等式的关
知识点一 知识点二

系,可以得到两个常用的结论: ①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立
?a=b=0, ?a>0, ?? 或? ?c>0 ?Δ<0.

知识点三

②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立
?a=b=0, ?a<0, ?? 或? ?c<0 ?Δ<0.

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知识点一
[自测练习]
知识点一

解析

1.不等式x2-3x-10>0的解集 为( D )

x2-3x-10>0?(x+2)(x-5) >0?x<-2或x>5.

知识点二

A.(-2,5) B.(5,+∞)

知识点三

C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(5,+∞)

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知识点一
2.关于x的不等式x2-2ax-

解析
由x2-2ax-8a2<0(a>0)得(x+

知识点一

8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 2a)(x-4a)<0(a>0), x2-x1=15 ,则a= ( A ) A. 5 2 B. 7 2

知识点二

即-2a<x<4a,故原不等式的解 集为(-2a,4a). 由x2-x1=15得4a-(-2a)= 5 15,即6a=15,所以a= .故选A. 2

知识点三

15 C. 4

15 D. 2

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知识点一

解析
由已知得方程ax2+bx+2=0的两根为-

知识点一

3.一元二次不等式 ax2+bx+2>0的解集

1 1 , . 2 3

知识点二

? 1 1? 是 ?-2,3? ,则a+b ? ?

知识点三

-14 . 的值是________

?-b=-1+1, ? a 2 3 则? ? ? ?2=?-1?×1, ?a ? 2? 3
∴a+b=-14.

?a=-12, 解得? ?b=-2,

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知识点二

一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为:

知识点一

知识点二

知识点三

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知识点二
[自测练习]
知识点一
4.若关于x的不等式x2-ax-a >0的解集为R,则实数a的取

解析

由题意知Δ=a2+4a<0,解得-4 <a<0,因此实数a的取值范围为 -4<a<0.

知识点二

-4<a<0 . 值范围是______________

知识点三

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知识点三

分式不等式与一元二次不等式的关系
x- a (1) >0等价于(x-a)(x-b)>0; x- b x- a (2) <0等价于(x-a)(x-b)<0; x- b
??x-a??x-b?≥0, x- a (3) ≥0等价于? x- b ?x-b≠0; ??x-a??x-b?≤0, x- a (4) ≤0等价于? x- b ?x-b≠0.

知识点一

知识点二

知识点三

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知识点三
[自测练习]
知识点一

解析

5.(2015· 惠州模拟)不等式 1-x ≥0的解集为( B ) 2+x A.[-2,1] B.(-2,1]

1-x ≥0? 2+x
??1-x??2+x?≥0, ? ?-2< 2 + x ≠ 0 ?

知识点二

x≤1.

知识点三

C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-2]∪(1,+∞)

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考点一

一元二次不等式的解法|

解析

题组训练

(1)不等式x2+x-2<0的解

x2+x-2=(x+2)(x-1)<0, 解得-2<x<1.故不等式的解 集是{x|-2<x<1}.

{x|-2<x<1} . 集为______________

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考点一
x-1 (2)不等式 ≤0的解集为 2x+1 ( A )

解析

题组训练

? 1 ? ? A. -2,1? ? ? ? 1 ? B.?-2,1? ? ? ? ? 1? C.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ? 1? ? ? -∞,- D. 2?∪[1,+∞) ?

??x-1??2x+1?≤0, x-1 ≤0?? 解 2x+1 ?2x+1≠0,

1 得- <x≤1. 2 x-1 ? 1 ? 故不等式 ≤0的解集为?-2,1? 2x+1 ? ?

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考点一

解析
设x<0,则-x>0,于是f(-x)=(-x)2-

(3)已知f(x)是定义在R上的

4(-x)=x2+4x,由于f(x)是R上的奇函数, 所以-f(x)=x2+4x,即f(x)=-x2-4x,且 x -4x,x>0, ? ? f(0)=0,于是f(x)= ?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0.
2

题组训练

奇函数,当x>0时,f(x)= x2-4x,则不等式f(x)>x的 解集用区间表示为

当x

(-5,0)∪(5,+∞) . ____________________

>0时,由x2-4x>x,得x>5;当x<0时, 由-x2-4x>x,得-5<x<0.故不等式的解 集为(-5,0)∪(5,+∞).

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考点一

解析
当a=0时,原不等式可化为-x+1<0,即x>1. 当a<0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0,

题组训练

? 1 (4)(2015· 临沂检测)解 即 x- ? (x-1)>0. a? ? 关于x的不等式:ax2 1 1 因为a<1,所以x>1或x<a. -(a+1)x+1<0.

? ? ? ?

1? 当a>0时,原不等式可化为 x-a? ?(x-1)<0, ? 1 1 ①若0<a<1,则a>1,所以1<x<a; 1 ②若a=1,则a=1,不等式无解;

? ? ? ?

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考点一

解析
1 1 ③若a>1,则a<1,所以a<x<1. 综上知,当a<0时,原不等式的解集为

题组训练

(4)(2015· 临沂检测)解 关于x的不等式:ax2 -(a+1)x+1<0.

? ? ? ? ?

? ? 1 xx<a或x>1? ; ? ?

当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
? 1? ?; x 1 < x < 当0<a<1时,原不等式的解集为 a? ? ? ? ? ? ?

当a=1时,原不等式的解集为?;
? ? 1 当a>1时,原不等式的解集为 xa<x<1? . ? ? ? ? ? ? ?

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考点二
考情分析

不等式恒成立问题|
(1)一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的

联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一 定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数 图像与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围, 归纳起来常见的命题角度有: ①形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围; ②形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围; ④分离法与构造函数法结合求参数的取值范围. (2)部分不等式恒成立问题,考查分离法及构造新函数的能力.

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考点二
角度一 形如f(x)≥0(x∈R)确定

解析
由题意,要使8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0 对x∈R恒成立,需Δ=64sin2α-32cos 1 2α≤0,化简得cos 2α≥ .又0≤α≤π,∴ 2 π 5π π 0≤2α≤ 或 ≤2α≤2π,解得0≤α≤ 或 3 3 6 5π ≤α≤π. 6

参数的范围 1.设0≤α≤π,不等式8x2- (8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒成 立,则α的取值范围为
? ? π? ?5π ?0, ?∪? ,π? 6? ? 6 ? ? . __________________

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考点二
角度二 形如

解析
函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的对称轴为x=- ①当 k-4 4-k = . 2 2

f(x)≥0(x∈[a,b])确 定参数的范围 2.(2015· 兰州模拟) 对任意x∈[-1,1], 函数f(x)=x2+(k- 4)x+4-2k的值恒大 于零,求k的取值范 围.

4-k <-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k- 2

4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k∈?; 4- k ②当-1≤ ≤1,即2≤k≤6时, 2
?4-k? ?4-k? 4-k ? ? ?2 只要f? = + ( k - 4) × +4-2k>0,即k2<0,故k∈?. ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

③当

4-k >1,即k<2时,只要f(1)=1+(k-4)+4-2k>0即k<1,故 2

有k<1,综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k- 4)x+4-2k的值恒大于零.

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考点二

解析
由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,

角度三

形如f(x)≥0(参数

令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
?g?-1?=?x-2?×?-1?+x2-4x+4>0, ∴? 2 ?g?1?=?x-2?+x -4x+4>0,

m∈[a,b])确定x的范围 3.对任意m∈[-1,1],函 数f(x)=x2+(m-4)x+4- 2m的值恒大于零,求x的 取值范围.

解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时,对任意的m∈[-1,1], 函数f(x)的值恒大于零.

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考点二
角度四 分离法与构造函数法结合
? ? ? ?

解析
? ? 1? 1? 2 1 1 ?3 当x∈(0,1]时,得a≥-3 x? -4? + ,令 t = ? ? x x,则t ? ?x?

求参数的取值范围 4.(2014· 高考辽宁卷)当x∈[-2,1] 时,不等式ax -x +4x+3≥0恒成 立,则实数a的取值范围是( C ) A.[-5,-3]
? 9? B.?-6,-8? ? ?
3 2

∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2 +t,t∈[1,+∞),则g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+ 1)(9t-1),显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调 递减,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同
? ? 1? 1? 2 1 ?3 理,当x∈[-2,0)时,得a≤-3 x? -4 ? ? ? + ,令m x ? ?x? ? ? ? ?

C.[-6,-2] D.[-4,-3]

? 1? 1 ? =x,则m∈ -∞,-2?,a≤-3m3-4m2+m,令 ? ?

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考点二
角度四 分离法与构造函数法结合

解析
g(m)=-3m3-4m2+m,m∈
? 1? ?-∞,- ? 2? ?

求参数的取值范围

,则

4.(2014· 高考辽宁卷)当x∈[-2,1] g′(m)=-9m2-8m+1=-(m+1)(9m-1).显然 时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成 ? 1? ? - ∞ ,- 1 ? ? - 1 ,- 在 ? 上 g ′ ( m )<0 ,在 ? ? 2? 上, ? 立,则实数a的取值范围是( C ) A.[-5,-3]
? 9? B.?-6,-8? ? ?

g′(m)>0,所以g(m)min=g(-1)=-2.所以a≤-2. 由以上两种情况得-6≤a≤-2,显然当x=0时也 成立.故实数a的取值范围为[-6,-2].

C.[-6,-2] D.[-4,-3]

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考点二
(1)不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c>0;当a≠0
? ?a>0, 时, ? ? ?Δ<0.

不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c<

? ?a<0, 0;当a≠0时,? ? ?Δ<0.

(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:一是利用二次函数 区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单. (3)对于恒成立问题,常用到以下两个结论: ①a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max; ②a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. (4)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元, 求谁的范围,谁就是参数.

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考点三

一元二次不等式的应用|

解析

典题悟法

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条
? 3? ? 件要求1≤x≤10),每小时可获得利润是100 5x+1-x?元. ? ?

演练冲关

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的 取值范围; (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问甲厂应该选 取何种生产速度?并求最大利润.

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考点三
? ? ? ?

解析
3? (1)法一:根据题意,得200 5x+1-x? ?≥3 000, ? 5x2-14x-3 3 即5x-14-x≥0, ≥0. x 因为1≤x≤10,所以 5x2-14x-3≥0,

典题悟法

演练冲关

1 解得x≤- (舍去)或x≥3,综上,3≤x≤10. 5 3? 法二:根据题意,得200 5x+1-x? ?≥3 000, ? 5x2-14x-3 ?5x+1??x-3? 3 即5x-14-x≥0, = ≥0. x x
? ? ? ?

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考点三

解析
1 运用穿针引线法,解得- ≤x<0或x≥3. 5 又因为1≤x≤10,所以3≤x≤10. (2)设利润为y元,根据题意,得

典题悟法

演练冲关

? 3? 900 ? 4 y= x ×100?5x+1-x? ?=9×10 ? ?

? ?1 1?2 61? ? × -3?x-6? + ?. ? ? ? 12?

故当x=6时,ymax=457 500(元).

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考点三

解析
某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100 8 件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加 x 5 成.要求售价不能低于成本价.

典题悟法

演练冲关

(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y =f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范 围.

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考点三
(1)由题意得,
? ? x? 8 ? ? ? ? y=100?1-10?· 100?1+50x ? ?. ? ? ? ?

解析

典题悟法

因为售价不能低于成本价,
? x? ? 所以100?1-10? ?-80≥0. ? ?

演练冲关

所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x), 定义域为x∈[0,2]. (2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10 260, 化简得8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4
?1 ? ? 所以x的取值范围是?2,2? ?. ? ?

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思想与方法系列17
【典例】 (1)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,

思路点拨

b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式 f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为

(1)考虑“三个二次”间的关 系; (2)将恒成立问题转化为最值问 题求解.

9 ________ .
x2+2x+a (2)已知函数f(x)= ,若对任意x∈ x [1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值

{a|a>-3} . 范围是___________

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思想与方法系列17
【典例】 (1)已知函数f(x)

解析
? a? a2 a2 (1)由题意知f(x)=x2+ax+b= ?x+2? 2+b- .∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 4 4 ? ? 2 a b= . 4 ? a? ∴f(x)=?x+2?2. ? ? ? a? a a 又∵f(x)<c.∴?x+2?2<c,即- - c<x<- + c. 2 2 ? ? a ? - ① ? 2- c=m , ∴? a - ② ? ? 2+ c=m+6.

=x2+ax+b(a,b∈R)的值 域为[0,+∞),若关于x的 不等式f(x)<c的解集为 (m,m+6),则实数c的值

9 为________ .
(2)已知函数f(x)= x2+2x+a ,若对任意x∈ x [1,+∞),f(x)>0恒成 立,则实数a的取值范围是

{a|a>-3} . ___________

②-①,得2 c=6,∴c=9. x2+2x+a (2)∵x∈[1,+∞)时,f(x)= >0恒成立,即x2+2x+a>0恒成立. x 即当x≥1时,a>-(x2+2x)=g(x)恒成立. 而g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(1)=-3,故a >-3. ∴实数a的取值范围是{a|a>-3}.

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思想与方法系列17

[温馨提醒]

(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想:函

数的值域和不等式的解集转化为a,b满足的条件;不等式恒 成立可以分离常数,转化为函数值域问题. (2)注意函数f(x)的值域为[0,+∞)与f(x)≥0的区别.

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解析

[跟踪训练] 若关于x的不等式ax2+2x +2>0在R上恒成立,则 实数a的取值范围是 ?1 ? ? ,+∞? ?2 ? . ____________

当a=0时,原不等式可化为2x+2>0,其解集不为 R,故a=0不满足题意,舍去;当a≠0时,要使原 不等式
?a>0, 1 的解集为R,只需? 解得 a > . 2 2 Δ = 2 - 4 × 2 a < 0 , ? ?1 ? 综上,所求实数a的取值范围是?2,+∞?. ? ?

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