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2014届高考数学一轮复习名师首选:第1章1《集合的概念与运算》


第1章 学案 1

集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算

导学目标: 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体 问题.2.理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并 集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补 集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算.

自主梳理 1.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或表示. 3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. 4.集合间的基本关系 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 xA,则 A ? B(或 B ? A). 若 A?B 且 B?A,则 A=B. 5.集合的运算及性质 设集合 A,B,则 A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 设全集为 S,则?SA={x|x∈S 且 xA}. A∩?=?,A∩B?A,A∩B?B, A∩B=A?A?B. A∪?=A,A∪B?A,A∪B?B, A∪B=B?A?B. A∩?UA=?;A∪?UA=U. 自我检测 1.(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号). ①M={(3,2)},N={(2,3)}; ②M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y =1}; ③M={4,5},N={5,4}; ④M={1,2},N={(1,2)}. 答案 ③ 2.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N=________. 答案 {x|-3<x<5} 解析 画数轴,找出两个区间的公共部分即得 M∩N={x|-3<x<5}. 3.已知集合 A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m=________. 答案 3 解析 ∵A∩B={2,3},∴3∈B,∴m=3. 2 2 4.集合 M={y|y=x -1,x∈R},集合 N={x| y= 9-x ,x∈R},则 M∩N=________. 答案 [-1,3] 解析 ∵y=x -1≥-1,∴M=[-1,+∞). 又∵y= 9-x ,∴9-x ≥0. ∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3]. 2 5.已知集合 A={1,3,a},B={1,a -a+1},且 B? A,则 a=________. 答案 -1 或 2 2 解析 由 a -a+1=3,∴a=-1 或 a=2,经检验符合.
1
2 2 2

由 a -a+1=a,得 a=1,但集合中有相同元素,舍去,故 a=-1 或 2.

2

探究点一

集合的基本概念

例 1 若 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},求 b-a 的值. 解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但 解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性. 解 由{1,a+b,a}={0, ,b}可知 a≠0,则只能 a+b=0,则有以下对应法则:

b a

b a

a+b=0, ? ?b ?a=a, ? ?b=1
由①得?
?a=-1, ? ? ?b=1,



a+b=0, ? ?b=a, 或? b ? ?a=1.



符合题意;②无解.

∴b-a=2. 2 变式迁移 1 设集合 A={1,a,b},B={a,a ,ab},且 A=B,求实数 a,b. 解 由元素的互异性知, a≠1,b≠1,a≠0,又由 A=B, 2 2 ? ? ?a =1, ?a =b, 得? 或? 解得 a=-1,b=0. ?ab=b, ?ab=1, ? ? 探究点二 集合间的关系 2 2 例 2 设集合 M={x|x=5-4a+a ,a∈R},N={y|y=4b +4b+2,b∈R},则 M 与 N 之间有什么关系? 解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系, 应先确定集合中元 素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理, 弄清每个集合中的元素个数或范围,再判 断它们之间的关系. 2 2 解 集合 M={x|x=5-4a+a ,a∈R}={x|x=(a-2) +1,a∈R}={x|x≥1}, 2 2 N={y|y=4b +4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1) +1,b∈R}={y|y≥1}.∴M=N. 变式迁移 2 设集合 P={m|-1<m<0}, Q={m|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立, 且 m ∈R},则集合 P 与 Q 之间的关系为________. 答案 P ? Q 解析 P={m|-1<m<0}, ? ?m<0, Q:? 或 m=0.∴-1<m≤0. 2 ?Δ =16m +16m<0, ?
[来源:Z#xx#k.Com]

∴Q={m|-1<m≤0}.∴P ? Q. 探究点三 集合的运算 2 2 例 3 设全集是实数集 R,A={x|2x -7x+3≤0},B ={x|x +a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B ,求实数 a 的取值范围. 解题导引 解决含参数问题的集合运算, 首先要理清题目要求, 看清集合间存在的相互 关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性. 1 解 (1)A={x| ≤x≤3}. 2 当 a=-4 时,B={x|-2<x<2},
2

1 ∴A∩B={x| ≤x<2}, 2 A∪B={x|-2<x≤3}. 1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}. 2 当(?RA)∩B=B 时,B? ?RA, 即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B? ?RA; ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a}, 1 1 要使 B? ?RA,需 -a≤ ,解得- ≤a<0. 2 4 1 综上可得,a 的取值范围为 a≥- . 4 变式迁移 3 已知 A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若 a=1,求 A∩B; (2)若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1 时, A={x|-3<x<5}, B={x|x<-1 或 x>5}. ∴ A∩B={x|-3<x<-1}. (2)∵A={x|a-4<x<a+4}, B={x|x<-1 或 x>5},且 A∪B=R, ?a-4<-1 ? ∴? ? 1<a<3. ? ?a+4>5 ∴实数 a 的取值范围是(1,3).
[来源:学科网 ZXXK]

分类讨论思想在集合中的应用 例 (14 分)(1)若集合 P={x|x +x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S? P,求由 a 的可 取值组成的集合; (2)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B? A,求由 m 的可取值组 成的集合. 【答题模板】 解 (1)P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S? P;[2 分] 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解为 x=- ,[4 分]
2

a

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

1 1 为满足 S? P 可使- =-3 或- =2,

a

a

1 1 即 a= 或 a=- .[6 分] 3 2 1 1 故所求集合为{0, ,- }.[7 分] 3 2 (2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 B? A;[9 分] 若 B≠?,且满足 B? A,如图所示,

3

m+1≤2m-1, ? ? 则?m+1≥-2, ? ?2m-1≤5,

m≥2, ? ? 即?m≥-3, ? ?m≤3,

∴2≤m≤3.[13 分]

故 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}.[14 分] 【突破思维障碍】 在解决两个数集关系问题时, 避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求 解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不 重不漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答. 【易错点剖析】 (1)容易忽略 a=0 时,S=?这种情况. (2)想当然认为 m+1<2m-1 忽略“>”或“=”两种情况.

解答集合问题时应注意五点: 1.注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验. x x x 2.注意描述法给出的集合的元素.如{y|y=2 },{x|y=2 },{(x,y)|y=2 }表示不同 的集合. 3.注意?的特殊性.在利用 A? B 解题时,应对 A 是否为?进行讨论. 4. 注意数形结合思想的应用. 在进行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴使抽象问 题直观化,一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示,元素连续时用数轴表示,同时注 意端点的取舍. 5.注意补集思想的应用.在解决 A∩B≠?时,可以利用补集思想,先研究 A∩B=?.的 情况,然后取补集.

课后练习

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 2 1.集合 P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x ≤9},则 P∩M=________. 答案 {0,1,2} 解析 由题意知:P={0,1,2}, M={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴P∩M={0,1,2}. 2.设 P、Q 为两个非空集合,定义集合 P+Q={a+b| a∈P,b∈Q}.若 P={0,2,5},Q ={1,2,6},则 P+Q=________________. 答案 {1,2,3,4,6,7,8,11} 解析 P+Q={1,2, 3,4,6,7,8,11}. 3.满足{1 }? A? {1,2,3}的集合 A 的个数是________. 答案 3 解析 A={1}∪B,其中 B 为{2,3}的子集,且 B 非空,显然这样的集合 A 有 3 个,即 A ={1,2}或{1,3}或{1,2,3}. 4.设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=?,则实数 a 的取 值范围是______________. 答案 a≤0 或 a≥6 解析 由|x-a|<1 得-1<x-a<1, 即 a-1<x<a+1. 由图可知 a+1≤1 或 a-1≥5,所以 a≤0 或 a≥6.
4

5.设全集 U 是实数集 R,

M={x|x2>4},N={x| ≥1},则如图中阴影部分所表示的集合是________. x-1 答案 {x|1<x≤2} 解析 题图中阴影部分可表示为 (?UM)∩N,集合 M 为{x|x>2 或 x<-2},集合 N 为 {x|1<x≤3},由集合的运算,知(?UM)∩N={x|1<x≤2}. 6.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数为________.
答案 4 解析 由题意知 B 的元素至少含有 3,因此集合 B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}. * 7.设 全集 U=A∪B={x∈N |lg x<1},若 A∩(?UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}, 则集合 B=______________. 答案 {2,4,6,8} * 解析 A∪B={x∈N |lg x<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(?UB)={1,3,5,7,9},∴B ={2,4,6,8}. 2 8.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B ={3},则实数 a=____. 答案 1 2 解析 ∵3∈B,由于 a +4≥4,∴a+2=3,即 a=1. 二、解答题(共 42 分) 2 2 9.(14 分)集合 A={x|x +5x-6≤0},B={x|x +3x>0},求 A∪B 和 A∩B. 2 解 ∵A={x|x +5x-6≤0} ={x|-6≤x≤1}.(3 分) B={x|x2+3x>0}={x|x<-3 或 x>0}.(6 分)
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2

如图所示, ∴A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3 或 x>0}=R.(10 分) A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3 或 x>0} ={x|-6≤x<-3,或 0<x≤1}.(14 分) 1 10.(14 分)已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B={x|- <x≤2}.若 B? A,求实数 a 2 的取值范围. 解 当 a=0 时,显然 B? A;(2 分)

当 a<0 时, 若 B? A,如图, 4 1 ≤- , ? ?a 2 则? 1 - >2, ? ? a

(6 分)

a≥-8, ? ? ∴? 1 a>- . ? 2 ?

1 ∴- <a<0;(8 分) 2

当 a>0 时,如图,若 B? A,

5

1 1 - ≤- , ? ? a 2 则? 4 ? ?a≥2, ∴?
? ?a≤2, ?a≤2. ?

(11 分)

∴0<a≤2.(13 分)

[来源:学科网]

1 综上知,当 B? A 时,- <a≤2.(14 分) 2 x-5 2 11.(14 分)已知集合 A={x| ≤0},B={x|x -2x-m<0}, x+1 (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. x-5 解 由 ≤0, x+1 所以-1<x≤5,所以 A={x|-1<x≤5}.(3 分) (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3}, 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3},(6 分) 所以 A∩(?RB)={x|3≤x≤5}.(10 分) (2)因为 A={x|-1<x≤5}, A∩B={x|-1<x<4},(12 分) 2 所以有 4 -2×4-m=0,解得 m=8. 此时 B={x|-2<x<4},符合题意, 故实数 m 的值为 8.(14 分)

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