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浙江省金华市东阳市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)



浙江省金华市东阳市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|y=ln(1﹣2x)},B={x|x ≤x},则?A∪B(A∩B)=() A.(﹣∞,0) B.(﹣ ,1] C.(﹣∞,0)∪[ ,1] D

. (﹣ ,0]
2

2. (5 分)设 a,b∈R,则“a>b”是“|a|>|b|”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)函数 y=(2x﹣1)e 的图象是()
x

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)已知 a,b 是空间中两不同直线,α,β 是空间中两不同平面,下列命题中正确的是 () A.若直线 a∥b,b?α,则 a∥α B. 若平面 α⊥β,a⊥α,则 a∥β C. 若平面 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b D.若 a⊥α,b⊥β,a∥b,则 α∥β 5. (5 分)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是() A. B. C.
2

D.

6. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)=﹣x +2x,则函数 F(x)=f(x) ﹣x 零点个数为() A.4 B. 3 C. 1 D.0 7. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1?an=2 (n∈N ) ,则 S2015=() 2015 1009 1007 1008 A.2 ﹣1 B. 2 ﹣3 C.3×2 ﹣3 D.2 ﹣3
n *

8. (5 分)已知向量 度的取值范围是() A.

满足:

,则 在 上的投影长

B.

C.

D.

二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答 题卷的相应位置. 2 2 9. (6 分)若经过点 P(﹣3,0)的直线 l 与圆 M:x +y +4x﹣2y+3=0 相切,则圆 M 的圆心 坐标是;半径为;切线在 y 轴上的截距是.

10. (6 分)设函数 f(x)= 则 a=.

,则 f(f(4) )=;若 f(a)=﹣1,

11. (6 分)某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则其体积是 cm ,其侧视图的面 2 积是 cm .

3

12. (6 分)设实数 x,y 满足

,则动点 P(x,y)所形成区域的面积为,z=x +y

2

2

的取值范围是.

13. (4 分) 点 P 是双曲线

=1 (a>0, b>0) 上一点, F 是右焦点, 且△ OPF 是∠POF=120°

的等腰三角形(O 为坐标原点) ,则双曲线的离心率是. 14. (4 分)函数 f(x)=sin2x+ 的最大值是.

15. (4 分)已知 x>0,y>0,2x+y=1,若 4x +y +

2

2

﹣m<0 恒成立,则 m 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (14 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos2A=1﹣3cosA. (1)求角 A;

(2)若 2sinC=3sinB,△ ABC 的面积

,求 a.

17. (15 分) 已知数列{an}和{bn}满足 a1a2…an= (Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 cn= ﹣

, 若{an}为等比数列, 且 a1=1, b2=b1+2.

(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

18. (15 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,△ PAB 和△ CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三 角形,若 AB=2PC= ,D 是 PC 的中点 (1)证明:AB⊥PC; (2)求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

19. (15 分)已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,直线 2x﹣y+2=0 交抛物线 C 于 A、 B 两点,P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)若直线 AB 过焦点 F,求|AF|?|BF|的值; (2)是否存在实数 p,使△ ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出 p 的值;若 不存在,说明理由.

2

20. (15 分)已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0,a,b,c∈R) . (1)若 f(1)=0,且 f(x)在 x=﹣1 时有最小值﹣4,求 f(x)的表达式; 2 2 2 (2)若 a=1,且不等式 f(c)﹣f(b)≤t(c ﹣b )对任意满足条件 4c≥b +4 的实数 b,c 恒成 立,求常数 t 取值范围.

2

浙江省金华市东阳市 2015 届高考数学模拟试卷 (文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|y=ln(1﹣2x)},B={x|x ≤x},则?A∪B(A∩B)=() A.(﹣∞,0) B.(﹣ ,1] C.(﹣∞,0)∪[ ,1] D. (﹣ ,0]
2

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 分别求出关于集合 A、 B 中的 x 的范围, 从而求出 A∪B, A∩B, 进而求出?A∪B (A∩B) . 解答: 解:∵集合 A={x|y=ln(1﹣2x)}, ∴A={x|1﹣2x>0}={x|x< }, ∵B={x|x ≤x}={x|0≤x≤1}, ∴A∪B={x|x≤1},A∩B={x|0≤x< }, ∴?A∪B(A∩B)=(﹣∞,0)∪[ ,1], 故选:C. 点评: 本题考查了集合的交、并、补集的运算,是一道基础题. 2. (5 分)设 a,b∈R,则“a>b”是“|a|>|b|”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 a=1,b=﹣2,满足 a>b,但|a|>|b|不成立, 若 a=﹣2,b=1,满足|a|>|b|,但 a>b 不成立, 即“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件, 故选:D. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 3. (5 分)函数 y=(2x﹣1)e 的图象是()
x 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先通过函数的零点排除 C,D,再根据 x 的变化趋势和 y 的关系排除 B,问题得以解 决. 解答: 解:令 y=(2x﹣1)e =0,解得 x= ,函数有唯一的零点,故排除 C,D, 当 x→﹣∞时,e →0,所以 y→0,故排除 B, 故选:A. 点评: 本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响,并通过对函数的性质来判断函数的 图象等问题. 4. (5 分)已知 a,b 是空间中两不同直线,α,β 是空间中两不同平面,下列命题中正确的是 () A.若直线 a∥b,b?α,则 a∥α B. 若平面 α⊥β,a⊥α,则 a∥β C. 若平面 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b D.若 a⊥α,b⊥β,a∥b,则 α∥β 考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理,直线和平面垂直的判定定理、 性质定理,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论. 解答: 解:若直线 a∥b,b?α,则 a∥α 或 a?α,故 A 不对; 若平面 α⊥β,a⊥α,则 a∥β 或 a?β,故 B 不对; 若平面 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b 或 a、b 是异面直线,故 C 不对; 根据垂直于同一条直线的两个平面平行,可得 D 正确, 故选:D. 点评: 本题主要考查直线和平面的位置关系,直线和平面平行的判定定理、性质定理的应 用,直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用,属于基础题. 5. (5 分)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是() A. B. C. D.
x x

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简,由所得到的图象关于 y 轴对称,根据对 称轴方程求出 φ 的最小值.

解答: 解:函数 f(x)=sin2x+cos2x= 所得图象是函数 y= sin(2x+ ﹣2φ) ,

sin(2x+

)的图象向右平移 φ 的单位,

图象关于 y 轴对称,可得 即 φ=﹣ ,

﹣2φ=kπ+



当 k=﹣1 时,φ 的最小正值是



故选:C. 点评: 本题考查三角函数的图象变换,考查正弦函数图象的特点,属于基础题. 6. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)=﹣x +2x,则函数 F(x)=f(x) ﹣x 零点个数为() A.4 B. 3 C. 1 D.0 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇偶性求解 f(x)解析式 构造 f(x)= ,g(x)=x,
2

画出图象,利用交点个数即可判断 F(x)零点个数. 解答: 解:∵在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)=﹣x +2x, 2 2 ∴当 x<0 时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[﹣(﹣x) +2(﹣x)]=x +2x, ∴f(x)= g(x)=x, ,
2

根据图形可判断:f(x)=

,与 g(x)=x,有 3 个交点,

即可得出函数 F(x)=f(x)﹣x 零点个数为 3, 故选:B. 点评: 本题考查了复杂函数的零点的判断问题,构函数转化为交点 的问题求解,数形结合 的思想的运用,关键是画出图象. 7. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1?an=2 (n∈N ) ,则 S2015=() 2015 1009 1007 1008 A.2 ﹣1 B. 2 ﹣3 C.3×2 ﹣3 D.2 ﹣3 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得数列{an}的奇数项是首项为 1,公比为 2 的等比数列,偶数项是首项为 2, 公比为 2 的等比数列,由此能求出前 2015 项的和. n 解答: 解:∵a1=1,an+1?an=2 ,∴a2=2, n﹣1 ∴当 n≥2 时,an?an﹣1=2 , ∴ = =2,
n *

∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列, ∴S2015= + =2
1009

﹣3,

故选:B. 点评: 本题考查数列的前 2015 项的和的求法,是中档题,解题时要认真审题,解题的关键 是推导出数列{an}的奇数项是首项为 1,公比为 2 的等比数列,偶数项是首项为 2,公比为 2 的等比数列.

8. (5 分)已知向量 度的取值范围是() A.

满足:

,则 在 上的投影长

B.

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 = ≤12 可求 的范围,进而可求 的

范围,然后由 在 上的投影| |cosθ 可求 解答: 解:设向量 ∵| |=13,| |=1 ∴ ∴ ∴ ≥5 = ≥ = = = ≤12 的夹角为 θ

∴ ∵ 在 上的投影| |cosθ=cosθ 故选 D 点评: 本题主要考查了向量的数量积的性质及投影的定义的简单应用,解题的关键是弄清 楚基本概念. 二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答 题卷的相应位置. 9. (6 分)若经过点 P(﹣3,0)的直线 l 与圆 M:x +y +4x﹣2y+3=0 相切,则圆 M 的圆心 坐标是(﹣2,1) ;半径为 ;切线在 y 轴上的截距是﹣3. 考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径,根据直线相切即可求出切线方程. 2 2 解答: 解:圆的标准方程为(x+2) +(y﹣1) =2, 则圆心坐标为(﹣2,1) ,半径 R= , 设切线斜率为 k,
2 2

过 P 的切线方程为 y=k(x+3) , 即 kx﹣y+3k=0, 则圆心到直线的距离 d= 平方得 k +2k+1=(k+1) =0, 解得 k=﹣1, 此时切线方程为 y=﹣x﹣3, 即在 y 轴上的截距为﹣3, 故答案为: 点评: 本题主要考查圆的标准方程的应用以及直线和圆相切的位置关系的应用,比较基础.
2 2

=

=



10. (6 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(4) )=5;若 f(a)=﹣1,

则 a=1 或 .

考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数,由里及外求解函数值,通过方程求出方程的根即可. 解答: 解:函数 f(x)= f(f(4) )=f(﹣31)=log2(1+31)=5. 2 当 a≥1 时,f(a)=﹣1,可得﹣2a +1=﹣1,解得 a=1; 当 a<1 时,f(a)=﹣1,可得 log2(1﹣a)=﹣1,解得 a= ; 故答案为:5;1 或 . 点评: 本题考查函数的值的求法,方程的根的求解,分段函数的应用,考查计算能力. 11. (6 分)某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则其体积是 4cm ,其侧视图的面 积是 cm .
2 3

,则 f(4)=﹣2×4 +1=﹣31.

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 判断得出该几何体是三棱锥,求解其体积: ,再利用直角三角形求解面积即可. 解答: 解:∵根据三视图得出:该几何体是三棱锥,AB=2,BC=3,DB=5,CD=4, AB⊥面 BCD,BC⊥CD, ∴其体积: S△ CBD×AB= = ×2= = =4, S△ CBD×AB,△ BCD 边 BD 的高为

△ BCD 边 BD 的高为 侧视图的面积:

故答案为;4, 点评: 本题考查了三棱锥的三视图的运用,仔细阅读数据判断恢复直观图,关键是利用好 仔细平面的位置关系求解,属于中档题.

12. (6 分) 设实数 x, y 满足

, 则动点 P (x, y) 所形成区域的面积为 1, z=x +y

2

2

的取值范围是[1,5].

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先画出满足条件的平面区域,求出 A,B,C 的坐标,从而求出三角形的面积,再根 2 2 据 z=x +y 的几何意义,求出其范围即可. 解答: 解:画出满足条件的平面区域,如图示:

, △ ABC 为平面区域的面积, ∴S△ ABC= ×2×1=1, 而 z=x +y 表示平面区域内的点到原点的距离的平方, 由图象得:A 或 B 到原点的距离最大,C 到原点的距离最小, ∴d 最大值=5,d 最小值=1, 故答案为:1,[1,5]. 2 2 点评: 本题考察了简单的线性规划问题,考察 z=x +y 的几何意义,本题是一道中档题.
2 2

13. (4 分) 点 P 是双曲线

=1 (a>0, b>0) 上一点, F 是右焦点, 且△ OPF 是∠POF=120° +1.

的等腰三角形(O 为坐标原点) ,则双曲线的离心率是

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得 P 在双曲线的左支上,可设 P 在第二象限,且|OP|=|OF|=c,即有 P(﹣ ccos60°,csin60°) ,代入双曲线方程,由离心率公式,解方程即可得到结论. 解答: 解:由题意可得 P 在双曲线的左支上, 可设 P 在第二象限,且|OP|=|OF|=c, 即有 P(﹣ccos60°,csin60°) , 即为(﹣ c, c) ,

代入双曲线方程,可得 ﹣ =1,

即为



=1,

由 e= ,可得 e ﹣
4 2

2

=1,

化简可得 e ﹣8e +4=0, 2 解得 e =4±2 , 由 e>1,可得 e= +1. 故答案为: +1. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要方程的运用和离心率的求法,正确判断 P 的位 置和求出 P 的坐标是解题的关键. 14. (4 分)函数 f(x)=sin2x+ 的最大值是 .

考点: 三角函数的最值;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和的余弦展开,令 t=cosx﹣sinx 换元,转化为二次函数求最值解答. 解答: 解:f(x)=sin2x+ =sin2x+ =sin2x+ =2sinxcosx+cosx﹣sinx.

令 t=cosx﹣sinx,则 t∈[ ], 2 2 ∴t =1﹣2sinxcosx,2sinxcosx=1﹣t . 原函数化为 y=﹣t +t+1,t∈[
2

],

对称轴方程为 t= ,∴当 t= 时函数有最大值为 . 故答案为: . 点评: 本题考查了两角和与差的余弦函数,考查了利用换元法求三角函数的最值,考查了 二次函数最值的求法,是中档题.
2 2

15. (4 分) 已知 x>0, y>0, 2x+y=1, 若 4x +y +

﹣m<0 恒成立, 则 m 的取值范围是



考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 4x +y + ﹣m<0 恒成立, 即 m>4x +y + 即可求得 m 的取值范围.
2 2 2 2 2 2 2 2

恒成立, 求出 4x +y + 恒成立,

2

2

的最大值,

解答: 解:4x +y + ﹣m<0 恒成立,即 m>4x +y + ∵x>0,y>0,2x+y=1, ∴1≥2 ,

∴0< ∵4x +y + ∴4x +y + ∴
2 2 2 2

≤ =(2x+y) ﹣4xy+ 的最大值为 ,
2

=1﹣4xy+

=﹣4(

﹣ )+

2



. .

故答案为:

点评: 本题考查不等式恒成立问题,考察基本不等式的运用,正确转化是关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (14 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos2A=1﹣3cosA. (1)求角 A; (2)若 2sinC=3sinB,△ ABC 的面积 ,求 a. 考点: 二倍角的余弦;正弦定理. 专题: 解三角形. 2 分析: (1)由二倍角的余弦公式化简已知整理可得:2cos A+3cosA﹣2=0,从而解得 cosA= ﹣2(舍去)或 ,结合 A 的范围即可得解. (2)由 = bcsinA= bc× ,可解得:bc=24①,由 2sinC=3sinB 及正弦定理可得:

2c=3b②,由①②联立可解得 b,c,由余弦定理即可解得 a 的值. 解答: 解: (1)∵cos2A=1﹣3cosA. 2 2 ∴2cos A=1﹣3cosA,整理可得:2cos A+3cosA﹣2=0, ∴解得:cosA=﹣2(舍去)或 , ∵0<A<π, ∴A= (2)∵ . (6 分) = bcsinA= bc× ,可解得:bc=24①

∵2sinC=3sinB,由正弦定理可得:2c=3b②, ∴由①②联立可解得:b=4,c=6, 2 2 2 ∴由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA=36+16﹣24=28. ∴可解得: (14 分) 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,二倍角的余弦公式的应用, 属于基本知识的考查.

17. (15 分) 已知数列{an}和{bn}满足 a1a2…an= (Ⅰ)求 an 与 bn;

, 若{an}为等比数列, 且 a1=1, b2=b1+2.

(Ⅱ)设 cn=



(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

考点: 数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)由 a1a2…an= ,令 n=1,可得 a1= ,解得 b1=1,b2=b1+2=3.由 . 由 a1a2…an= ,

=2, 可得 a2=2. 利用等比数列的通项公式可得: 可得 (II)cn= 项求和”即可得出. 解答: 解: (I)∵a1a2…an= 令 n=1,可得 a1= ∴b1﹣1=0,解得 b1=1, ∴b2=b1+2=3. 由 =2,∴a2=2. =2, ,即 1= , , =1×2×2 ×…×2
2 n﹣1

,即可得出 bn. = .利用等比数列的前 n 项和公式、“裂



∵{an}为等比数列, ∴ ∵a1a2…an= ∴ ∴ (II)cn= ﹣ =
2

. ,
n﹣1

=1×2×2 ×…×2

=2

1+2+…+(n﹣1)

=



=

. = .

∴数列{cn}的前 n 项和 Sn=

﹣2

= = ﹣

﹣2 .

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”、指数的 运算性质、递推式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (15 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,△ PAB 和△ CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三 角形,若 AB=2PC= ,D 是 PC 的中点 (1)证明:AB⊥PC; (2)求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用直线平面的垂直来证明得出 AB⊥平面 PEC,再利用转为直线直线的垂直 证明. (2)作出 AD 与平面 ABC 所成角的角,转化为三角形求解即可. 解答: 证明: (1)取 AB 中点 E, ∵△PAB 和△ CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形 ∴CE⊥AB,PE⊥AB, ∵CE∩PE=E, ∴∵PC?平面 PEC ∴AB⊥PC 解: (2)∵ ,

∴角形 PEC 为正三角形, 过 P 作 PO⊥CE,则 PO⊥平面 ABC, 过 D 作 DH 平行 PO,则 DH⊥平面 ABC, 连 AH,则∠DAH 为所求角 , , .

点评: 本题考查了直线平面的垂直问题,空间平面的转化思想,分析问题的能力,属于中 档题,但是难度不大. 19. (15 分)已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,直线 2x﹣y+2=0 交抛物线 C 于 A、 B 两点,P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)若直线 AB 过焦点 F,求|AF|?|BF|的值;
2

(2)是否存在实数 p,使△ ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出 p 的值;若 不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)抛物线的焦点坐标 F(0,2) ,求出抛物线方程,与直线方程联立,A(x1,y1) , B(x2,y2)利用韦达定理求解|AF|?|BF|的值. 2 (2)通过抛物线 x =2py 与直线 y=2x+2 联立方程组,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用韦达定 理以及向量的数量积,化简求解即可. 解答: 解: (1)直线 2x﹣y+2=0 交抛物线 C 于 A、B 两点,x=0,可得 y=2,所以 F(0,2) , p=4, 2 2 抛物线 x =8y 与直线 y=2x+2 联立方程组得:x ﹣16x﹣16=0, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x2=16,x1x2=﹣16, |AF||BF|=(y1+2) (y2+2)=(2x1+4) (2x2+4)=80; (7 分) 2 2 (2)假设存在,抛物线 x =2py 与直线 y=2x+2 联立方程组得:x ﹣4px﹣4p=0, A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,x1+x2=4p,x1x2=﹣4p. 得: (x1﹣2p) (x2﹣2p)+(y1﹣2p) (y2﹣2p)=0, (x1﹣2p) (x2﹣2p)+(2x1+2﹣2p) (x2+2﹣2p)=0,

代入得 4p +3p﹣1=0, (15 分) 点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查分析问题解决问题的能力. 20. (15 分)已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0,a,b,c∈R) . (1)若 f(1)=0,且 f(x)在 x=﹣1 时有最小值﹣4,求 f(x)的表达式; 2 2 2 (2)若 a=1,且不等式 f(c)﹣f(b)≤t(c ﹣b )对任意满足条件 4c≥b +4 的实数 b,c 恒成 立,求常数 t 取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用.
2

2

分析: (1)化简函数的解析式,利用 f(1)=0,且 f(x)在 x=﹣1 时有最小值﹣4,求出 a、b、c 即可得到函数的解析式. (2)若 a=1,f(x)=x +bx+c,利用 f(c)﹣f(b)=(c+2b) (c﹣b) , (c+2b) (c﹣b)≤t(c 2 2 ﹣b ) 对任意满足条件 4c≥b +4 的实数 b, c 恒成立, 通过当 c=b=2 时, 当 c=﹣b=2 时, 当 b≠±2 时,当 b≤0,当 b>0(且 b≠2)时,求解常数 t 的取值范围是 解答: 解: (1)依题意,f(1)=0,a+b+c=0, f(x)在 x=﹣1 时有最小值﹣4,设 f(x)=a(x+1) ﹣4,f(1)=4a﹣4=0,得 a=1, 2 所以 f(x)的表达式是 f(x)=x +2x﹣3. (5 分) 2 2 (2)若 a=1,则 f(x)=x +bx+c,f(c)﹣f(b)=(c+2b) (c﹣b) , (c+2b) (c﹣b)≤t(c 2 2 ﹣b )对任意满足条件 4c≥b +4 的实数 b,c 恒成立, 当 c=b=2 时,显然成立,t∈R;当 c=﹣b=2 时,显然成立,t∈R; 当 b≠±2 时, 所以
2 2 2 2

, ,即 ,

对任意满足条件 4c≥b +4 的实数 b,c 恒成立, 由于 当 b≤0(且 b≠﹣2)时,只需 t≥1; 当 b>0(且 b≠2)时, 从而 此时 , ,

(当且仅当 b=c=2 时取等号,等号不成立) , . . (14 分)

所以,常数 t 的取值范围是

点评: 本题考查函数与方程的应用,函数恒成立,二次函数的简单性质的应用,考查分类 讨论以及计算能力.



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