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山东省曲阜师大附中2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理



曲阜师范大学附属中学 2014-2015 学年度高二第二学期期中考试 数学(理科)试题
(本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 实数 , 满足 A.1 B.2 , ) B. D. C. ,则 D. ,

, , 的值是( )

2. 观察下列各式:

,可以得出的一般结论是( A. C.

3. 类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式,对于给定的两个函数:



,其中 ① ③ A.①②③

,且

,下面正确的运算公式是( ) ; ② ; ④ ; . D.①②③④

B.①②④

C.②③④

4. 设函数

处可导,则





A. 5. A.

B. 的展开式中, B.

C. 的系数是( ) C.297 D.207

D.

6. 某校有六间不同的电脑室,每天晚上至少开放两间,欲求不同安排方案的种数,现有 3 位同学分别给出了下列三个结果:① 结论是( ) A.① B.①与② C.②与③ ;② ;③ D.①②③ ,其中正确的

1

7. 曲线 A.2 8. 若 A. 9. 已知复数 A. 或 , B.

与直线 C. , B. , B. C.

以及 轴所围图形的面积为( ) D. ,则以下结论正确的是( ) D. , 大小不定 ,若 C. D. ,且 , ,则( )

10 .若函数

在定义域 R 内可导,

, ( A. ) B.



,则

的大小关系是

C.

D.

第 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. 定义运算 12. 若 __________. 13. 已 知
_____________

,则符合条件

的复数 ,且

__________. ,则

, 若 (填 ).

, 则

14. 如下图所示的数阵中,第 10 行第 2 个数字是________. 1 1 1 2 2 1 1 1 3 4 3 1 1 1 1 4 7 7 4 1 1 1 1 1 5 11 11 11 5 ??????????

2

_________. 三、 解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知复数 ,当实数 为何值时: 在第四象限.

15.

(1) 为实数; (2) 为虚数; (3) 为纯虚数; (4)复数 对应的点

17.(本小题满分 12 分) (1)若 (2)已知 ; (3)已知 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 ,求 . 的展开式中, 的系数是 的系数的 倍,求 ; 的系数是 的系数与 的系数的等差中项,求

的展开式中,

18.(本小题满分 12 分)

已知函数 (1)求 (2)猜想数列 ;

,数列

满足





的通项,并用数学归纳法予以证明.

19.(本小题满分 12 分) 对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产

3

企业的研究表明:该企业的生产成本 (单位:万元)和生产收入 (单位:万元)都是 产量 (单位: )的函数,它们分别为 和 .

(1)试求出该企业获得的生产利润 (单位:万元)与产量 之间的函数关系式; (2)当产量 为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?

20.(本小题满分 13 分) 已知 为实数, (1)求导数 (2)若 (3)若 ; 是函数 在区间 的极值点,求 和 在区间 上的最大值和最小值; .

上都是单调递增的,求实数 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 (1)若 (2)若 (3)设函数 ,试确定函数 ,且对于任意 的单调区间; , ,求证: 恒成立,试确定实数 的取值范围; .

曲阜师范大学附属中学 2014-2015 学年度高二第二学期期中考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准 一、选择题:ABDCD CAABD

二、填空题:11. 三、解答题: 16.解: (1)由 或

12. 11; 13.

;

14.

;

15. -99!

,得 .

4



















数;????????????????????????3 分 (2)由 且 所以, 当 6分 且 ,得 . 时, 为虚数; ?????????????????????

(3)由 . 所 以 ,















数;???????????????????????????9 分

(4)由



所 以 , 当

时 , 复 数

对 应 的 点

在 第 四 象

限.????????????????12 分 17. 解 :( 1 ) 的二项式系数是 , 的二项式系数是 .依题意有

?????????1 分

????????????????????????? ????4 分 (2)依题意,得 ??????????????????????? ??5 分 即

5

?????????????????????? ????8 分 ( 3 ) 依 题 意 得

????????????????????????9 分 ??????????????????????????????? ???10 分 即 解得 所 ,或 以

.??????????????????????????????12 分 18.解: (1)由题意,得







.?????????????? ????3 分 ( 2 ) 猜 想 :

.????????????????????????5 分

6

证明:①当 式扣 1 分) ② 假 设

时,

,结论成立. ??6 分(注:不写出

的表达



















,????????????????7 分 那么,当 时,

????????????????????? 10 分 这就是说, 当 11 分 时, 结论成立.????????????????????????

由①, ②可知, 12 分 19.解: (1)

对于一切自然数

都成立. ???????????

????????????????????? ??2 分 即 扣 1 分) ( ???????????4 分 (注: 不写定义域 “ 2 ” )

???????????????????? 5 分 令 ,得 或

7

????????????????????????????????6 分 当 变化时, 的变化情况如下表:

极 小 值

极大值

由上表可知: 取 得

是函数

的唯一极大值点,也是最大值点.所以,当 取 最 大

时, 值

.???????????????????????????????????? ????11 分 答:当产量 为 15 时,该企业可获得最大利润,最大利润为 万

元. ????????12 分 20. 解: (1) , .?????????????????????????? ????3 分 (2)由 ,得

. , .????????????????????6 分 由 ,得 或

.???????????????????????????????7 分











8





























.?????????????????9 分 (3) 由已知,得 的图象是开口向上且过点 的抛物线.

??????????????????????????? ??11 分 , 的 取 值 范 围 为

.?????????????????????????????13 分 21. 解: (1)当 令 ,得 ?????????????????????????????? ????1 分 当 时, ;当 时, 时, , .

.???????????????????2 分 因 此 , 的 单 调 递 减 区 间 是 , 单 调 递 增 区 间 是

.????????????3 分 (2)由 立 等 价 于 可知: 是偶函数.于是, 对 任 意 对任意 恒 恒成 成

立.?????????????????????????????4 分 由 ,得 .????????????????????????????? ?????5 分 ① 当 时, ,此时 , 在区间 上

9

单调递增. 故 , 符 合 题

意.?????????????????????????6 分 ② 当 当 变化时, 时, . 的变化情况如下表:

极小值























.??????????????8 分 依题意,得 . 又 .























.??????????????????????????9 分 (3) 当 ,且 时, , 即 ,???????????????????????????12 分 , ,?, , 故 ,

10

.???????????????????? ?14 分

11



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