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2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 4 页。考试结束后,将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I卷
注意事项: 1.答题前, 考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号 填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无交通工效 。 ............ 3.第 I 卷共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式

P? A? B

? ? P ? A? ? P ? B?

S ? 4? R2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

如果事件 A、B 相互独立,那么

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B?
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 K 次的概率

4 v ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

?? ?? ? ? C? ? ? ? ?1 ? ? ?
一. 选择题 3 ? 2i (1)复数 = 2 ? 3i

? ??

?? ? 0,1, 2, ???,?

(A) .i (B).-i (2) 记 cos(-80°)=k,那么 tan100°= (A) .

(C).12—13i

(D).12+13i

1? k 2 k
k 1? k 2

(B). —

1? k 2 k
k 1? k 2

(C.)

(D).—

(3)若变量 x,y 满足约束条件 (A) .4 (B)3

则 z=x—2y 的最大值为 (C)2 (D)1

(4) 已知各项均为正数比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=
第 1/4 页

(A) 5 2 (5) (1+2

(B) 7

(C) 6

(D) 4 2

x )3(1- 3 x )5 的展开式中 x 的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6) 某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门。若要求两类课程 中各至少一门,则不同的选法共有 (A)30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 (7)正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为

(A)

2 3

(B)
?

3 3
1 2

(C)

2 3

(D)

6 3

(8)设 a ? 10 g3 2, b ? 1n2, c ? 5 (A) a ? b ? c

则 (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

(B) b ? c ? a
2 2

(9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C : ? ? ? ? 1的左、右焦点,点在 P 在 C 上,?F 1PF2 ? 60°, 则 P 到 ? 轴的距离为

(A)

3 2

(B)

6 2

(C) 3

(D) 6

(10)已知函数 f ( ? ) ?|1g ? | ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是 (A)(2 2, ??) (B)[2 2, ??) (C)(3, ??) (D)[3, ??)

(11) 已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点, 那么 PA 〃PB 的最小值为 (A)-4+ 2 (B)-3+ 2 (C)-4+2 2 (D)-3+2 2

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值

( A)

2 3 3

( B)

4 3 3

(C)2 3

( D)

8 3 3

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修Ⅱ)
第Ⅱ卷 注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答,在试题卷上作答无效 。 ......... 3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

(注意:在试题卷上作答无效 ) .........
(13)不等式 2x2 ? 1 ? x ≤1 的解集是 (14)已知 a 为第三象限的角, cos 2a ? ? ,则 tan( 。

3 5

?
4

? 2a ) ?

。 。

2 (15)直线 y =1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D, 且 BF ? 2 FD ,则 C 的离心率为 。

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C。

(18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

投到某杂志的稿件,先由两位专家进行评审,若能通过两位初审专家的评审,则予以 录用;若两位专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三 位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用。设稿件能通过各 初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3。各专家独立评审。 (Ⅰ)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (Ⅱ)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望。 (19) (本小题满分 12 分)

(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

如图,四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD , AB DC , AD ? DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC. (Ⅰ) 证明:SE=2EB
第 3/4 页

(Ⅱ) 求二面角 A-DE-C 的大小。

(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........
已知函数 f(x)=(x+1)Inx-x+1. (Ⅰ)若 xf (x)≤ x +ax+1,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: (x-1)f(x)≥0
` 2

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........
已知抛物线 C y2 =4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关 于 x 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上;

8 ,求△BDK 的内切圆 M,的方程. 9 (22) (求本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........
(Ⅱ)设 FA ? FB = 已知数列 a

? ?中

a1 ? 1, an?1 ? c ?

1 an

(Ⅰ)设 c=

5 1 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? bn ? 2 an ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an ? 1 ? 3 成立的 c 的取值范围。

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