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圆锥曲线的最值



圆锥曲线中的最值、定值、范围问题
一、圆锥曲线的最值问题 方法 1:定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程;②将最值问题转化为距离问题求解.

x2 y2 例 1、已知点 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,定点 A 的坐标为(1,4),P 是双曲 线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.

方法 2:数形结合(切线法)
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时: ①求与直线平行的圆锥曲线的 切线;②求出两平行线的距离即为所求的最值.

x2 2 例 2、求椭圆 2 +y =1 上的点到直线 y=x+2 3的距离的最大值和最小值,并求 取得最值时椭圆上点的坐标.

方法 3:参数法(函数法) ① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标; ②求解关于这个参数的函数最值 x2 例 3、在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是椭圆 3 +y2=1 上的一个动点,则 S=x+y 的最大值为________.

方法 4:基本不等式法 ①将最值用变量表示.
②利用基本不等式求得表达式的最值.

x2 例 4、求椭圆 3 +y2=1 内接矩形 ABCD 面积的最大值.

二、圆锥曲线的范围问题 方法 1:曲线几何性质法 ①由几何性质建立关系式;②化简关系式求解. x2 y2 例 1、已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双 曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线中
c 的取值范围是________. a

方法 2:判别式法 当直线和圆锥曲线相交、 相切和相离时,分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消 元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 ① 联立曲线方程,消元后求判别式; ②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解. x2 例 2、在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2 + y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 m,使 → +OQ → 与AB → 共线?如果存在,求 m 值;如果不存在,请说明理由. 得向量OP

三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法 1:特殊到一般法 根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 ① 根据特殊情况确定出定值或定点;
②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明.

y2 例 1、已知双曲线 C:x2- 2 =1,过圆 O:x2+y2=2 上任意一点作圆的切线 l, 若 l 交双曲线于 A,B 两点,证明:∠AOB 的大小为定值.

方法 2:引进参数法 定值、定点是变化中的不变量,引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值) 即是定点(或定值). ① 引进参数表示变化量; ②研究变化的量与参数何时没有关系,找到定值或定点

x2 y2 例 2、如图所示,曲线 C1: 9 + 8 =1,曲线 C2:y2=4x,过曲线 C1 的右焦点 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1,C2 依次交于 B,C,D,E 四点.若 |BE|· |GF2| G 为 CD 的中点、H 为 BE 的中点,证明|CD|· |HF |为定值.
2

例1

解析 如图所示,根据双曲线定义|PF|-|PF′|=4, 即|PF|-4=|PF′|.又|PA|+|PF′|≥|AF′|=5, 将|PF|-4=|PF′|代入,得|PA|+|PF|-4≥5, 即|PA|+|PF|≥9,等号当且仅当 A,P,F′三点共线, 即 P 为图中的点 P0 时成立,故|PF|+|PA|的最小值为 9.故填 9.

例 2、解

设椭圆的切线方程为 y=x+b,

代入椭圆方程,得 3x2+4bx+2b2-2=0. 由 Δ=(4b)2-4×3×(2b2-2)=0,得 b=± 3. 6 当 b= 3时, 直线 y=x+ 3与 y=x+2 3的距离 d1= 2 ,将 b= 3代入方程 3x2 +4bx+2b2-2=0,解得 x=- 2 3 3 ,此时 y= , 3 3

6 ? 2 3 3? ?到直线 y=x+2 3的距离最小,最小值是 ; 即椭圆上的点?- , 2 3 3? ? 3 6 当 b=- 3时,直线 y=x- 3到直线 y=x+2 3的距离 d2= 2 ,将 b=- 3代 2 3 3 入方程 3x2+4bx+2b2-2=0,解得 x= 3 ,此时 y=- 3 , 3 6 ?2 3 3? ?到直线 y=x+2 3的距离最大,最大值是 即椭圆上的点? ,- 2 . 3? ? 3

例3

?x= 3cos φ x2 因为椭圆 3 +y2=1 的参数方程为? (φ 为参数). ?y=sin φ,

故可设动点 P 的坐标为( 3cos φ,sin φ),其中 0≤φ<2π. π? π ? 3 ? 1 ? 因此 S=x+y= 3cos φ+sin φ=2? cos φ+ sin φ?=2sin?φ+3?,所以,当 φ=6 ? ? 2 ?2 ? 时,S 取最大值 2.故填 2.

二、圆锥曲线的范围问题 例 1 解析 根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,设|PF2|=r,

2a 2a 则|PF1|=4r,故 3r=2a,即 r= 3 ,|PF2|= 3 . 2a c 5 5 根据双曲线的几何性质,|PF2|≥c-a,即 3 ≥c-a,即a≤3,即 e≤3.又 e>1, 5? 5? ? ? 故双曲线的离心率 e 的取值范围是?1,3?.故填?1,3?. ? ? ? ?

例2 解

(1)由已知条件,知直线 l 的方程为 y=kx+ 2,

x2 ?1 ? 代入椭圆方程,得 2 +(kx+ 2)2=1,整理得?2+k2?x2+2 2kx+1=0.① ? ? ?1 ? 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,得 Δ=8k2-4?2+k2?=4k2-2>0, ? ? 2 2 ? ? 2? ? 2 解得 k<- 2 或 k> 2 ,即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? → +OQ → =(x +x ,y +y ). (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP 1 2 1 2 4 2k 由方程①,知 x1+x2=- .② 1+2k2 2 2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2= .③ 1+2k2 → =(- 2,1). 由 A( 2,0),B(0,1),得AB → +OQ → 与AB → 共线等价于 x +x =- 2(y +y ), 所以OP 1 2 1 2 2 2 2 将②③代入,解得 k= 2 .由(1)知 k<- 2 或 k> 2 , 故不存在符合题意的常数 k.

三、圆锥曲线的定值、定点问题 例 1 证明 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=± 2.

当 x= 2时,代入双曲线方程,得 y=± 2, 即 A( 2, 2),B( 2,- 2),此时∠AOB=90° , 同理,当 x=- 2时,∠AOB=90° .

当切线的斜率存在时, 设切线方程为 y=kx+b, 则

|b| = 2, 即 b2=2(1+k2). 1+k2

由直线方程和双曲线方程消掉 y,得(2-k2)x2-2kbx-(b2+2)=0, 由直线 l 与双曲线交于 A,B 两点.故 2-k2≠0.设 A(x1,y1),B(x2,y2). -?b2+2? 2kb 则 x1+x2= , x x = , 2-k2 1 2 2-k2 y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2 -k2b2-2k2 2k2b2 2b2-k2b2 2b2-2k2 = + + = , 2-k2 2-k2 2-k2 2-k2 -b2-2 2b2-2k2 b2-2?1+k2? 故 x1x2+y1y2= + = , 2-k2 2-k2 2-k2 →· → =0,∠AOB=90° 由于 b2=2(1+k2),故 x1x2+y1y2=0,即OA OB . 综上可知,若 l 交双曲线于 A,B 两点,则∠AOB 的大小为定值 90° .

【例 2】证明

由题意,知 F1(-1,0),F2(1,0),

设 B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), x2 y2 直线 y=k(x-1),代入 + =1, 9 8 ?y ? 得 8?k+1?2+9y2-72=0,即(8+9k2)y2+16ky-64k2=0, ? ? 16k 64k2 则 y1+y2=- ,y y =- . 8+9k2 1 2 8+9k2 同理,将 y=k(x-1)代入 y2=4x,得 ky2-4y-4k=0, 4 则 y3+y4=k ,y3y4=-4, 1 |y +y | |BE|· |GF2| |y1-y2| 2 3 4 所以|CD|· |HF2|=|y3-y4|· 1 2|y1+y2| = ?y1-y2?2 ?y3+y4?2 · = ?y1+y2?2 ?y3-y4?2 ?y1+y2?2-4y1y2 ?y3+y4?2 · ?y1+y2?2 ?y3+y4?2-4y3y4



?-16k?2 4×64k2 ?4?2 + ? ?8+9k2?2 8+9k2 ? ?k ? ·4 =3 为定值. ?-16k?2 ? ?2 ? ? + 16 ?k? ?8+9k2?2



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