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数学必修四专项练习系列(有答案)



数学必修四专项练习系列 专项练习 1 (一)三角函数的定义域、值域、最值 【1.1】函数 y ? A. R B. 三角函数的图像和性质

1 的定义域是 sin x
C.

?x | x ? R, x ? 0?

?x | x ? R, x ? k? , k ? Z ?

D. ?? 1,0

? ? ?0,1?

【1.2】函数 y ? sin x, x ? ??

? ? 2? ? , 的值域是________________________. ? 6 3 ? ?

【1.3】 已知函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? 当 x ? __________时, 函数有最小值 y ? ___. ?, x ? ?0, ? , 4? ? 4?
2

【1.4】 (易错题)求函数 y ? cos x ? 3 sin x 的最大值.

【1.5】 (易错题)已知 | x |?

?
4

,求函数 y ? cos x ? sin x 的最小值.
2

【1.6】求函数 y ?

3 cos x ? 1 的值域 cos x ? 2

王新敞
奎屯

新疆

【1.7】求下列函数的值域. (1) y ?

cos x ; 2 cos x ? 1

(2) y ?

2 sin x ? cos 2 x 1 ? sin x

【1.8】求下列函数的定义域和值域. (1) y ? lg sin x ; (2) y ? 2 cos 3 x

【1.9】求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值的 x 的集合. (1) y ? ? ?

1 cos x ; 2

(2) y ? cos x ? cos x ? 1
2

第 1 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 (二)三角函数的周期、对称轴 【1.10】函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(

) D. x ?

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

?
12

【1.11】求下列函数的最小正周期:

1 ? (3) y ? 3 sin( x ? ) , x ? R ; ) | ,x ? R ; 3 2 3 2 ? 1 ? (4)y ? 2 cos( x ? ) ,x ? R ; (5)y ? tan 2 x ,x ? R ; (6)y ? 3 tan( x ? ) ,x ? R . 3 3 2 3 【1.12】已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 在区间 [0,2? ] 的图像如右图: 那么 ? ? ( )
(1) y ? sin x , x ? R ; (2) y ?| sin( 2 x ? A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 【1.13】 (易错题)函数 y ?| sin( 2 x ? (三)三角函数的单调性、奇偶性 【1.14】 函数 y ? 2 sin( 【1.15】函数 y ? sin(

?

?

1 ) ? | 的最小正周期是 3 3

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是________________________. ? 3 x) 的单调增区间是_________________________.

?

4

【1.16】函数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 在_____________________________区间上是增函数. 4?

【 1.17 】设函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) ( ?? ? ? ? 0) , y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线

x?

?
8

.

求: (1) ? ; (2)函数 y ? f ( x ) 的单调增区间.

【1.18】 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? cos(2 x ?

5? ); 2

(2) f ( x) ? sin(cos x) ;

(3) f ( x) ?

1 ? sin x 1 ? sin x

第 2 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 (四)三角函数图像变换 【1.19】 (易错题) 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( ) ? 的图象, 6?

A. 向右平移

?
6

B. 向右平移

?
3

C. 向左平移

?
6

D. 向左平移

?
3

【1.20】下列三个函数? y ? tan 2 x ,? y ? cos 2 x ,? y ? sin 4 x ,其中以点 ( 心对称的函数是___________________. 【1.21】先将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移

?
4

,0) 为中

?
3

个单位长度,再将所得图象作关于 y 轴的对 )

称变换,则所得函数图象对应的解析式为( A y ? sin( ?2 x ?

?
3

)

B. y ? sin(?2x ?

?
3

)

C. y ? sin( ?2 x ?

2? ) 3

D. y ? sin( ?2 x ?

2? ) 3

(五)三角函数图像和性质综合 【1.22】 (易错题)①函数 y ? tan x 在它的定义域内是增函数。 ②若 ? , ? 是第一象限角, 且? ? 数。 ④函数 y ? cos(2 x ? ③函数 y ? A sin(?x ? ? ) 一定是奇函 ? , 则 tan ? ? tan ? 。

?
3

) 的最小正周期为

?
2

。 上述四个命题中, 正确的命题是_________.

【1.23】右图为 y ? A sin(?x ? ? ) ( ?? ? ? ? ?

?
2

) 的图象的一段,求其解析式。

【1.24】已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

) 的图象在 y 轴上的截距为 1, 2 它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 ,2) 和 ( x 0 ? 3? ,?2) . (1)试求 f ( x) 的解析式; 1 (2)将 y ? f ( x) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,然后再将新的 3
图象向 x 轴正方向平移

?

?

3

个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.写出函数 y ? g ( x) 的解析式.

第 3 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 【1.25】设 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 最高点 D 的坐标为 ( 2, 2 ) ,由最高点 运动到相邻的最低点时,曲线与 x 轴交点 E 的坐标为 (6,0) . (1)求 A 、 ? 、 ? 的值;(2)求出该函数的频率,初相和单调区间.

【1.26】函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象如下图,试依图指出: (1) f ( x) 的最小正周期; (2)使 f ( x) ? 0 的 x 的取值集合; (3)使 f ( x) ? 0 的 x 的取值集合; (4) f ( x) 的单调递增区间和递减区间; (5)求使 f ( x) 取最小值的 x 的集合; (6)图象的对称轴方程; (7)图象的对称中心.

第 4 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 专项练习 2 (一)向量的线性运算 【2.1】下列命题中正确的是( 平面向量的运算



??? ? ??? ? B. AB ? BA ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ???? D. AB ? BC ? CD ? AD ? ? 【2.2】若 ABCD 是正方形, E 是 CD 的中点,且 AB ? a , AD ? b ,则 BE ? (
A. b ?

??? ? ??? ? ??? ? A. OA ? OB ? AB ? ??? ? ? C. 0 ? AB ? 0 ?

)

1? a 2

B. b ?

? 1? a 2

C. a ?

?

1? b 2

D. a ?

? 1? b 2 ?

【2.3】如左下图, ?ABC 中, AD ? DB , AE ? EC , CD 与 BE 交于 F ,设 AB ? a ,

???? ? ??? ? ? ? AC ? b , AF ? xa ? yb ,则 ( x, y ) 为( 1 1 3 3 1 1 C. ( , ) 2 2
A. ( , ) B. ( , )



2 2 3 3 2 1 第 2.4 题图 第 2.3 题图 D. ( , ) 3 2 ? ? ? ? BD ? 3DC , b 表示 AD , 【2.4】 如右上图, 已知 AB ? a ,AC ? b , 用a, 则 AD =_______.
【2.5】D 是△ABC 的边 AB 上的中点,若 CD ? x BA ? y BC ,则 x ? y ? _____________. 1 2 【 2.6 】 设 D , E 分 别 是 △ ABC 的 边 AB , BC 上 的 点 , AD = AB , BE = BC. 若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?1 AC (λ1,λ2 为实数),则λ1+λ2 的值为___________.
【2.7】若菱形 ABCD 的边长为 2,则 | AB ? CB ? CD |? ________. 【2.8】请化简下列各式: (1) AB ? DF ? CD ? BC ? FA ? ___________; (2) AB ? MB ? BO ? BC ? OM ? _____________.

? ? ? ? ? ? 【2.9】 已知 a 与 b 是两个不共线向量, 且向量 a ? ?b 与 ? (b ? 3a ) 共线, 则 ? =__________. ? ? ? ? ? ? 【2.10】已知向量 a 和向量 b 不共线,实数 x , y 满足 ( 2 x ? y ) a ? 4b ? 5a ? ( x ? 2 y )b , 则 x ? y ? ____________. ? ? ? ? CD ? 3(a ? ? ? ? ? b ) , BC ? 2a 设两非零向量 、 不共线,如果 , b AB ? a ? b ? 8b . a 【2.11】
求证:A、B、D 三点共线.

?

??

?

第 5 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 【2.12】如图所示,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 边中点,点 N 在 BD 上且

BN ?

1 BD ,求证: M 、 N 、 C 三点共线. 3

(二)向量的坐标运算

【2.13】已知点 A(6, 2) , B (1,14) ,则与 AB 共线的单位向量为( A. (?

??? ?



5 12 5 12 5 12 12 5 12 5 5 12 ( , ? ) C. ( ? , ) 或 ( , ? ) D. ( ,? ) 或 ( ? , ) , ) B. 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13


【2.14】已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为( A.( ? , )

3 4 5 5

B.( ,? )

3 5

4 5

C.( ? , ) 或 ( ,? )

3 4 5 5

3 5

4 5

D.( ,? ) 或 ( ?

4 5

3 5

4 3 , ) 5 5

【2.15】设点 P (3,?6) , Q ( ?5,2) , R 的纵坐标为 ? 9 ,且 P 、 Q 、 R 三点共线,则 R 点 的横坐标为( A. ? 9 ) B. ? 6 C. 9 D. 6 )

? ? ? ? ? ? 【2.16】已知平面向量 a ? (1,2) , b ? ( ?2, m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b ? (
A. ( ?5, ? 10) B. ( ?2, ? 4) C. ( ?3, ? 6)

D. ( ?4, ? 8) )

【2.17】已知向量 a ? (3,4) , b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 tan ? 等于( A.

?

?

?

?

3 4

B. ? 34

C.

【2.18】若向量 a ? ( 2,3) , b ? ( x,?6) ,且 a ∥ b ,则实数 x=__________. 【2.19】 已知向量 a ? ( 2,3) ,b ? ( ?1,2) , 若 ( ma ? nb ) ∥ ( a ? 2b ) , 则

?

?

4 3

D. ?

?

?

4 3 ? ? m 等于__________. n

?

?

?

?

【2.20】 在平面直角坐标系中, 已知向量 AB ? ( 2,1) , 则 BC 的坐标为________. AC ? (3,5) , 【2.21】平面内给定三个向量 a ? (3,2) , b ? ( ?1,2) , c ? ( 4,1) . (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 ( a ? kc ) ∥ ( 2b ? a ) ,求实数 k.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

第 6 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 (三)向量的数量积运算 【2.22】已知 a ? ( 2,3) , b ? ( ?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为(

?

?

?

?



A.

13 ?

B.

13 5 ?

C.

65 5 ? ?

D.

65


【2.23】已知向量 a ? (1,?2) , b ? ( x,2) ,若 a ? b ,则 b ? ( A.

?

5
?

B. 2 5

C. 5

D. 20

【2.24】 a , b 为平面向量,已知 a ? ( 4,3), a ? 2b ? ( 2,5) ,则 a ? b ? (

?

?

?

?

? ?



? ? ? ? 0 【2.25】若平面向量 a ? (1,?2) 与 b 的夹角是 180 ,且 b ? 3 5 ,则 b 等于( 15 15 D. (15,? ) ) 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 【2.26】已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为(
A. ( ?3,6) B. (3,?6) C. ( ?15, A.

A. ? 2

B. 2

C. ? 1

D. 1





? ? ? C. D. 4 3 2 ? ? ? ? ? ?2 0 【2.27】已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ,且 a ? 1 , b ? 2 ,那么 a ? b 的值为________.
B.

? 6

?

?

2 ? ? ? ,则 | a ? b |? ___________. 3 ? ? ? ? ? ? 0 【2.29】已知 a ? 4 , b ? 8 , a 与 b 的夹角为 120 ,则 | 2a ? b |? ______________.
【2.28】若向量 a 、b 满足 a ? 1 , b ? 2 ,且 a 与 b 夹角为

?

?

?

?

?

?

【2.30】 已知向量 a =(-3,2), 且λ a + b 与 a -2 b 垂直, 则实数λ的值为______. b =(-1,0), 【2.31】设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3) , 2b ? a ? ( ?1,1) ,求 cos ? 的值.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

【2.32】已知 | AB |? 3, | AC |? 4, AB 与 AC 的夹角为 60 ,求 AB 与 AB ? AC 的夹角余弦.

0

第 7 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 (四)平面向量与三角函数、解析几何等问题的综合 【2.33】已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1)若 c=5,求 sin∠A 的值; (2)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围.

【 2.34 】设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? ( m, cos 2 x), b ? (1 ? sin 2 x,1), x ? R ,且函数

? ?

?

?

?? ? y ? f ( x) 的图象经过点 ? ,2 ? . ?4 ?
(1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 的值的集合.(提示:本题需用到两角和正弦公式)

第 8 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 专项练习 3 三角恒等变换

三角恒等变换这部分内容比较具有挑战性, 不仅涉及的公式多, 而且变换的技巧性也很 高,往往需要很强的数学分析能力和较灵活的思维,因此要学好这部分内容,除了需要勤做 练习外, 平时还要注意总结相关知识和归纳相关规律。 这里只给出部分知识点及相关练习题, 旨在引导同学们思考,激发思维,进一步强化数学分析能力,望能抛砖引玉。 (一)给角求值 【3.1】请计算: (1) sin 15 ? cos 165
? ?

sin 43 cos13 ? cos 43 sin 13 (2)
? ? ?

?

(3) sin15 ? sin 30 ? sin 75
? ?

?

(4) cos 345

?

(二)利用三角函数求值 【3.2】已知 x ? ( ? A.
7 24

?
2

, 0) , cos x ?
7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
C.
24 7


24 7

B. ?

D. ? )

【3.3】设 sin( A. ?

?

1 ? ? ) ? ,则 sin 2? ? ( 4 3
B. ?

7 9

1 9

C.

1 9

D.

7 9

第 9 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 (三)通过角的重新组合求三角函数值 【3.4】若 0 ? ? ? A.

?

1 27

1 ? ? ? ? ,且 cos ? ? ? , sin(? ? ? ) ? 2 3 1 5 B. C. D. 3 27

7 ,则 sin ? 的值是( 9 23 27
) D.

)

【3.5】已知已知 tan(? ? ? ) ? 3 , tan(? ? ? ) ? 5 ,则 tan 2? ? ( A. ?

7 4

B.

7 4

C. -

4 7

4 7

【3.6】已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,求 tan(? ? ) 的值 5 5 4 5

(四)根据正弦、余弦函数前面的系数特点利用辅助角求值 【3.7】已知 sin( A. ?

?
6

??) ?

1 4

1 ,则 cos ? ? 3 sin ? 的值为( 4 1 B. C. 2 D. ? 1 2




【3.8】 2 cos x ? 6 sin x 等于( A. 2 2 cos(

?
6

? x)

B. 2 2 cos(

?
3

? x)

C. 2 2 cos(

?
6

? x)
) D.

D. 2 2 cos( x ?

?
3

)

【3.9】若 3 sin x ? cos x ? 4 ? m, 则实数 m 的取值范围是( A.

? 2,6?

B.

? ?6,6?

C.

? 2,6?

? 2, 4 ?

【3.10】若 3sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin( x ? y ), y ? ? ?? , ? ? ,求 y 的值.

第 10 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 【3.11】化简下列各式: (1) sin

?
12

? 3 cos

?
12



(2) sin ? ? cos ? ;

(3) 2 sin( ? ? ? ) ?

6

3

6 ? cos( ? ? ) ; 6 3

(4) cos 2 x ? 2 3 sin x cos x

(五)运用两角和与差公式 【3.12】已知 cos ? ?

3 3? ? , ? ? ( ,2? ) ,求 cos(? ? ) . 5 2 3

【3.13】已知 sin ? ? sin ? ?

3 4 , cos ? ? cos ? ? ,求 cos(? ? ? ) 5 5

(六)利用二倍角公式进行降幂或升幂 【3.14】函数 y ? cos x ? sin x cos x 的最大值是(
2

) D.1 ) 7 9

A.

2-1 2

B.

2+1 2

C.

3 2

【3.15】已知 sin( 7 A. - 9

?

1 2? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) 的值是( 6 3 3
1 B. - 3 C. 1 3 D.

第 11 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列 (七)三角恒等变换在解三角形及向量中的应用 【3.16】在 ?ABC 中, sin A ? A.

16 65

B.

56 65

3 5 , cos B ? ,则 cos C ? ( 5 13 16 56 C. 或 D. 无解 65 65



【3.17】在 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? A.

3 tan A tan B ,则 C 等于(
D.

)

?
3

B.

2? 3
0

C.

?
6

?
4

【3.18】在 Rt?ABC 中, C ? 90 ,求 sin A sin B 的最大值.

【3.19】 若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,求 sin A ? cos A 的值. 3

【3.20】已知向量 a ? ? 2sin x,cos x ? , b ? 求函数 f ( x) 的最小正周期.

?

?

?

? ? 3 cos x, 2 cos x ,定义函数 f ( x ) ? a ? b ? 1

?

第 12 页 共 12 页

数学必修四专项练习系列

数学必修四专项练习系列
专项练习 1 1.1.C 1.2. ?? ,1? ? 2 ? 1.3. x ? 0或

参考答案及解析

三角函数的图像和性质

? 1 ?

?
4
2

y?

2 2
2

1.4.解析:y=cos x-3sinx=-sin x-3sinx+1=-(sinx+ ∵-1≤sinx≤1, ∴当 sinx=-1 时,ymax=3

3 2 13 )+ 2 4

说明:解此题易忽视 sinx∈[-1,1]这一范围,认为 sinx=- 造成误解
王新敞
奎屯 新疆

3 13 时,y 有最大值 , 2 4

1.5.解:y=-sin x+sinx+1=-(sinx-

2

1 2 5 )+ 2 4

∵-

?
4

≤ x≤

?
4

∴-

2 2 ≤sinx≤ 2 2

∴当 sinx=-

2 时 2

ymin=-(-

2 1 2 5 1? 2 - )+ = 2 2 4 2

说明:解此题注意了条件|x|≤ 小值,产生误解
王新敞
奎屯 新疆

?
4

,使本题正确求解,否则认为 sinx=-1 时 y 有最

1.6.解:由已知:cosx=

2y ?1 2y ?1 |=|cosx|≤1 ?| 3? y 3? y

?(

2y ?1 2 ) ≤1 ? 3y2+2y-8≤0 3? y 4 3
∴ymax=

∴-2≤y≤

4 ,ymin=-2 3
2

y 1.7.(1) cos x ? 1? 2 y

? y ? ?? ?1? 2 y ? ? ?1 ? ?
-1-

数学必修四专项练习系列 即 ( y ? 1)(3 y ? 1) ? 0

1 ? y ? 或y ? 1 3

(2)

2 sin x ? cos 2 x 1 1 ? ?2(sin x ? ) 2 ? 1 ? sin x 2 2

? ?1 ? sin x ? 1 ,所以 ? 4 ? y ?

1 2

1.8.(1)要使 lgsinx 有意义,必须且只须 sinx>0,解得 2kπ<x<(2k+1)π,k ∈Z. 又∵0<sinx≤1, ∴-∞ <lgsinx≤0 ∴定义域为(2kπ,(2k+1) π)(k∈Z),值域为(-∞,0]. (2)答案: y ? [0,2] 1.9.(1)? ?1 ? cos x ? 1 当 cos x ? ?1 时, ymax ? ? ?

1 2

这时 x 的集合为 ?x | x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 当且仅当 cos x ? 1 时, ymin ? ? ?

1 2

这时 x 的集合为 ?x | x ? 2k? , k ? Z ?

1? 3 ? cos x ? cos x ? 1 ? ? cos x ? ? ? (2) 2 ? 4 ? ?1 ? cos x ? 1 所以 ?
2

2

当 cos x ? ? 时,ymin ? 这时 x 的集合为

1 2

3 4

2 ? ? ? x | x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ? ?
当 cos x ? 1时,ymax ? 3 这时 x 的集合为

?x | x ? 2k? , k ? Z ?
1.10.D 1.11. (1)T ? 2? (2)T ? 1.12.B 1.13. ? 1.14. [

?
2 ,

(3)T ? 4? (4)T ? 3?

(5)T ?

?
2

(6)

T ? 2?

?
3

5? ] 6

-2-

数学必修四专项练习系列

1.15.[

2 ? 2 7 k? ? , k? ? ? ]( k ? Z ) 3 4 3 12

1.16.2kπ-

?

3

<x<2kπ+

?

1.17.解析: (1)? x ?

?
8

4

(k∈Z)

是函数 y ? f ( x ) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 3? . 4

?
8

? ? ) ? ?1,

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z.

(2)由(1)知

? ??

3? 3? ,因此y ? sin( 2 x ? ). 4 4 2k? ?

由题意得

?
2

? 2x ?

3? ? ? 2k? ? , k ? Z . 4 2

所以函数

y ? sin( 2 x ?

3? ? 5? ) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 4 8 8

1.18.(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 1.19.B 1.20.①②③ 1.21.D 1.22.④

1.23.解析:以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,

点 M(

? ? 2 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ? ? ) ?
3

,0) 在图象上,由此求得 ? ? ? 3 sin( 2 x ? 2? ) 3

? 所求解析式为 y ?

2? 3

1.24.解析: (1)由题意可得: T ? 6? A ? 2 ,

1 ? f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) , 3 ? 函数图像过(0,1) , ? sin ? ? x ? ? f ( x) ? 2 sin( ? ) ; 3 6
(2) g ( x) ? 2 sin( x ?

1 ? ? , ? ? ? ,?? ? 2 2 6



?

6

)

1.25.

-3-

数学必修四专项练习系列

y 单调递增故递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z

y 单调递减故递减区间为[16k+2,16k+10],k∈Z

1.26.

注:得出函数 f(x)的最小正周期之后,研究 f(x)的其他性质,总是先在包含锐角在内的一个 周期中研究,再延伸到整个定义域中.

注:实际上 f(x)图象的对称轴方程为 x=x0,而其中 x0 使 f(x0)=1 或 f(x0)=-1

注:f(x)的图象的对称中心为(x0,0),其中 x0 使 f(x0)=0

-4-

数学必修四专项练习系列 专项练习 2 平面向量的运算

2.1.D(解析:起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB ? BA ;

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB ? BA ? 0 ) ? ???? 1 ??? ? 1 ??? 1 CD ? AD ? AB ? b ? a ) 2 2 2 1 1 1 3 2.3.A 2.4. a+ b 2.5. ? 2.6. 2.7.2 4 4 2 2 ? 1 2.8.(1) 0 (2) AC 2.9. ? 2.10.1 3
2.2.B(解析: BE ? BC ? CE ? AD ? 2.11.

??? ?

??? ? ??? ?

????

2.12.提示:可以证明 MC ? 3MN

????

???? ?

2.13.C

2.14.B

2.15.D

2.16.D

2.17.A

2.18. ? 4

2.19. ?

1 2

2.20. (1,4)

2.21.解析:(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 m= , 9 得 8 n= . 9

所以

-m+4n=3, 2m+n=2,

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0. ∴k=- 16 . 13

2.22.C

2.23.B

2.24.C 2.25.A 2.26.C

2.27.7

2.28. 3

2.29. 8 3

2.30. ?

1 7

-5-

数学必修四专项练习系列
? 2.31.解: 设 b ? ? x, y ? ,由2b ? a ? 2 ? x, y ? ? ? 3, 3 ? ? ? 2 x ? 3, 2 y ? 3 ? ? ? ?1,1? .
?2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 1, ? 得? ?? ? b ? ?1, 2 ? . ? 2y ?3 ?1 ? y ? 2.

?

?

? ? a ?b 3 ?1 ? 3 ? 2 3 10 ? ? cos a , b ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 10 a?b 3 ?3 ? 1 ?2

2.32.

13 13

??? ? ???? ???? (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ,若 c=5, 则 AC ? (2, ?4) , 2.33.解:
???? ??? ? ?6 ? 16 1 2 5 ? ∴ cos ?A ? cos ? AC , AB ?? ,∴sin∠A= ; 5 5? 2 5 5

(2)∠A 为钝角,则 ?

? ?3c ? 9 ? 16 ? 0, 25 25 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) c ? 0, 3 3 ?

(1) f ( x ) ? a ?b ? m (1 ? sin 2 x ) ? cos 2 x , 2.34.解: 由已知 f ?

π? π ?π? ? ? ? m ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(2)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1 时, f ( x ) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

? 3π ? π? ? ? ?1 ,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z ? 8 4? ? ?

-6-

数学必修四专项练习系列 专项练习 3 3.1.(1)- 3.2.D 2 2 (2) 三角恒等变换

1 2

(3)

1 8 4 7

(4) 3.6.

6? 2 4 3 22
3.7.B 3.8.D 3.9.A 3.10. ?

3.3.A 3.4.C

3.5. ?

?
6

3.11.(1) ? 2

(2) 2 sin(? ?

?
4

)

(3)

2 2? sin( ??) 3 3

(4) 2 cos(2 x ?

?
3

)

3.12.

3? 4 3 10

3.13. cos(? ? ? ) ? ?

1 2

3.14.B

3.15.A

3.16.A 3.17.A 3.18.最大值为 3.19.解析:

1 2

1 1 sin A sin B ? sin A cos A ? sin 2 A ? 2 2

2 ∵sin 2A=2sin Acos A= ,0<A<π, 3 2 15 1+ = . 3 3

∴sin A>0,cos A>0, ∴sin A+cos A= (sin A+cos A)2= 1+sin 2A=

2.20.解析:

f ( x) ? a ? b ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? cox 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2( 3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? 2(sin 2 x cos

?

? 2 sin( 2 x ? ) 6 2? ?T ? ?? 2

?

? cos 2 x sin ) 6 6

?

-7-



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