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2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(北京卷,含答案)



绝密★本科目考试启用前

2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷)

本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合 A={x|–2 x 1},B={x|x –1 或 x 3},则 A B= (A){x|–2 x –1} (C){x|–1 x 1} (B){x|–2 x 3} (D){x|1 x 3}

(2)若复数(1–i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是 (A)(–∞,1) (C)(1,+∞) (3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 (B)(–∞,–1) (D)(–1,+∞)

(A)2

(B)

3 2

(C)

5 3

(D)

8 5

? x ? 3, ? (4)若 x,y 满足 ? x ? y ? 2,则 x + 2y 的最大值为 ? y ? x, ?
(A)1 (C)5 (B)3 (D)9
1

x x (5)已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x )

1 3

(A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数

(B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数

(6)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ? ,使得 m ? ? n ”是“ m ? n < 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为

(A)3 2

(B)2 3

(C)2 2

(D)2

(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 10 .则下列各数中与
80

M N

最接近的是

(参考数据:lg3≈0.48) (A)1033 (C)1073 (B)1053 (D)1093

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若双曲线 x 2 ?

y2 ? 1的离心率为 3 ,则实数 m=_________. m
a2 =_______. b2
2

(10)若等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足 a1=b1=–1,a4=b4=8,则

(11)在极坐标系中,点 A 在圆 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 上,点 P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小 值为___________. (12)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 sin ? ? 则 cos(? ? ? ) =___________. (13)能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依 次为______________________________. (14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加 工的零件数,i=1,2,3. ①记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,Q3 中最大的是_________. ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p2,p3 中最大的是_________.

1 , 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题 13 分) 在△ABC 中, ? A =60°,c= (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)若 a=7,求△ABC 的面积.

3 a. 7

(16)(本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD,点 M 在线段 PB 上,PD//平 面 MAC,PA=PD= 6 ,AB=4. (I)求证:M 为 PB 的中点; (II)求二面角 B-PD-A 的大小;
3

(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.

(17)(本小题 13 分) 为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一 段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未 服药者.

(Ⅰ)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率; (Ⅱ)从图中 A,B,C,D 四人中随机.选出两人,记 ? 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求 ? 的 分布列和数学期望 E( ? ); (Ⅲ)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论)

(18) (本小题 14 分) 已知抛物线 C:y =2px 过点 P(1,1).过点(0,
2

1 )作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N,过点 2

M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
4

(Ⅱ)求证:A 为线段 BM 的中点.

(19) (本小题 13 分) 已知函数 f(x)=e cosx? x. (Ⅰ)求曲线 y= f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,
π ]上的最大值和最小值. 2
x

(20)(本小题 13 分) 设 {an } 和 {bn } 是两个等差数列,记

cn ? max{b1 ? a1n, b2 ? a2n, ???, bn ? ann} (n ? 1, 2,3, ???) ,
其中 max{x1 , x2 , ???, xs } 表示 x1 , x2 , ???, xs 这 s 个数中最大的数. (Ⅰ)若 an ? n , bn ? 2n ? 1,求 c1 , c2 , c3 的值,并证明 {cn } 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数 M ,存在正整数 m ,当 n ? m 时,

cn ? M ;或者存在正整数 m ,使得 n

cm , cm?1 , cm?2 , ??? 是等差数列.

5

2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 一、 (1)A (5)A 二、 (9)2 (11)1 (13) ?1, ?2, ?3 (答案不唯一) 三、 (15) (共 13 分) (10)1 (12) ? (14)Q1 (2)B (6)A (3)C (7)B (4)D (8)D 学(理)(北京卷)答案

7 9

p2

3 解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 ?A ? 60? , c ? a , 7
所以由正弦定理得 sin C ?
c sin A 3 3 3 3 ? ? ? . a 7 2 14

3 (Ⅱ)因为 a ? 7 ,所以 c ? ? 7 ? 3 . 7
由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 72 ? b2 ? 32 ? 2b ? 3 ? 解得 b ? 8 或 b ? ?5 (舍).
1 1 3 ? 6 3. 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 8 ? 3 ? 2 2 2

1 , 2

(16) (共 14 分) 解: (I)设 AC , BD 交点为 E ,连接 ME . 因为 PD∥ 平面 MAC ,平面 MAC ? 平面 PBD ? ME ,所以 PD∥ME . 因为 ABCD 是正方形,所以 E 为 BD 的中点,所以 M 为 PB 的中点.

(II)取 AD 的中点 O ,连接 OP , OE . 因为 PA ? PD ,所以 OP ? AD .

6

又因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 OP ? 平面 PAD ,所以 OP ? 平面 ABCD . 因为 OE ? 平面 ABCD ,所以 OP ? OE . 因为 ABCD 是正方形,所以 OE ? AD . 如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 P(0,0, 2) , D(2,0,0) , B(?2, 4, 0) ,

??? ? ??? ? BD ? (4, ?4,0) , PD ? (2,0, ? 2) .
??? ? ? ? ?n ? BD ? 0 ?4 x ? 4 y ? 0 设平面 BDP 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? . ? 2 x ? 2 z ? 0 ? n ? PD ? 0 ? ? ?
令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ?

2 .于是 n ? (1,1, 2) .
n? p 1 ? . | n || p | 2

平面 PAD 的法向量为 p ? (0,1,0) ,所以 cos<n, p> ? 由题知二面角 B ? PD ? A 为锐角,所以它的大小为

? . 3

(III)由题意知 M (?1, 2,

???? ? 2 2 ). ) , D(2, 4,0) , MC ? (3, 2, ? 2 2

???? ? ???? ? | n ? MC | 2 6 ???? ? ? 设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos<n, MC> |? . 9 | n || MC |
所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 (17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图知,在服药的 50 名患者中,指标 y 的值小于 60 的有 15 人, 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,此人指标 y 的值小于 60 的概率为 (Ⅱ)由图知,A,B,C,D 四人中,指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人:A 和 C. 所以 ? 的所有可能取值为 0,1,2.

2 6 . 9

15 ? 0.3 . 50

7

P(? ? 0) ?

1 C2 C1 C2 1 2 1 2 2 C2 2 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? . 2 2 2 C4 6 C4 3 C4 6

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

1 2 1 6 3 6 1 2 1 故 ? 的期望 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 6 3 6 (Ⅲ)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.

(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由抛物线 C: y 2 ? 2 px 过点 P(1,1) ,得 p ? 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . 抛物线 C 的焦点坐标为(

1 . 2

1 1 ,0) ,准线方程为 x ? ? . 4 4 1 (k ? 0) ,l 与抛物线 C 的交点为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 2

(Ⅱ)由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ?
1 ? ? y ? kx ? 由? 2 ,得 4k 2 x2 ? (4k ? 4) x ? 1 ? 0 . 2 ?y ? x ?

则 x1 ? x2 ?

1? k 1 , x1 x2 ? 2 . 2 k 4k

因为点 P 的坐标为(1,1) ,所以直线 OP 的方程为 y ? x ,点 A 的坐标为 ( x1 , y1 ) . 直线 ON 的方程为 y ? 因为
y1 ? y2 y1 y y ? y2 y1 ? 2 x1 x2 ? 2 x1 ? 1 2 x2 x2

y2 y y x ,点 B 的坐标为 ( x1 , 2 1 ) . x2 x2

1 1 (kx1 ? ) x2 ? (kx2 ? ) x1 ? 2 x1 x2 2 2 ? x2 1 (2k ? 2) x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? x2

8

?

(2k ? 2) ?

1 1? k ? 2 4k 2k 2 x2

? 0,

所以 y1 ?

y2 y1 ? 2 x1 . x2

故 A 为线段 BM 的中点.

(19)(共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ex cos x ? x ,所以 f ?( x) ? ex (cos x ? sin x) ?1, f ?(0) ? 0 . 又因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . (Ⅱ)设 h( x) ? e x (cos x ? sin x) ?1 ,则 h?( x) ? e x (cos x ? sin x ? sin x ? cos x) ? ?2e x sin x . 当 x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在区间 [0, ] 上单调递减. 所以对任意 x ? (0, ] 有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递减. 因此 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 f (0) ? 1 ,最小值为 f ( ) ? ?

π 2

π 2

π 2

π 2

π 2

π 2

π . 2

(20)(共 13 分) 解: (Ⅰ) c1 ? b1 ? a1 ? 1 ? 1 ? 0,

c2 ? max{b1 ? 2a1 , b2 ? 2a2} ? max{1 ? 2 ?1,3 ? 2 ? 2} ? ?1 , c3 ? max{b1 ? 3a1 , b2 ? 3a2 , b3 ? 3a3} ? max{1 ? 3?1,3 ? 3 ? 2,5 ? 3 ? 3} ? ?2 .
当 n ? 3 时, (bk ?1 ? nak ?1 ) ? (bk ? nak ) ? (bk ?1 ? bk ) ? n(ak ?1 ? ak ) ? 2 ? n ? 0 , 所以 bk ? nak 关于 k ? N* 单调递减. 所以 cn ? max{b1 ? a1n, b2 ? a2n,?, bn ? an n} ? b1 ? a1n ? 1 ? n . 所以对任意 n ? 1, cn ? 1 ? n ,于是 cn?1 ? cn ? ?1 ,

9

所以 {cn } 是等差数列. (Ⅱ)设数列 {an } 和 {bn } 的公差分别为 d1 , d 2 ,则

bk ? nak ? b1 ? (k ?1)d2 ? [a1 ? (k ?1)d1 ]n ? b1 ? a1n ? (d2 ? nd1 )(k ?1) .
所以 cn ? ?

?b1 ? a1n ? (n ? 1)(d 2 ? nd1 ), 当d 2 ? nd1时, ?b1 ? a1n, 当d 2 ? nd1时,
d2 ,则当 n ? m 时, nd1 ? d2 ,因此 cn ? b1 ? a1n . d1

①当 d1 ? 0 时,取正整数 m ?

此时, cm , cm?1 , cm?2 ,?是等差数列. ②当 d1 ? 0 时,对任意 n ? 1 ,

cn ? b1 ? a1n ? (n ?1) max{d2 ,0} ? b1 ? a1 ? (n ?1)(max{d2 ,0} ? a1 ).
此时, c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 是等差数列. ③当 d1 ? 0 时, 当n ?

d2 时,有 nd1 ? d2 . d1

所以

cn b1 ? a1n ? (n ? 1)(d 2 ? nd1 ) b ?d ? ? n(?d1 ) ? d1 ? a1 ? d 2 ? 1 2 n n n

? n(?d1 ) ? d1 ? a1 ? d2 ? | b1 ? d2 | .
对任意正数 M ,取正整数 m ? max{ 故当 n ? m 时,

M ? | b1 ? d 2 | ? a1 ? d1 ? d 2 d 2 , }, ?d1 d1

cn ?M . n

10



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