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方程的根与函数的零点选用


方程的根与函数的零点
零点概念:对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 零点等价性: 方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y=f(x)有 零点 零点存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a).f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c ? (a,b),使得 f(c)=0,这 个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. “方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 X 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点” 1.函数 f(x)=x+lgx-3 的零点所在的大致区间是( A.(错误!未找到引用源。,2) 未找到引用源。,3) ) C.(错误!

B.(2,错误!未找到引用源。)

D.(3,错误!未找到引用源。) )

2. (10 天津理)函数 f ?x? ? 2 x ? 3x 的零点所在的一个区间是( A. ?? 2,?1? B. ?? 1,0? C. ?0,1? D. ?1,2?

3.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 1 x 4.已知 x0 是函数 f(x)=2 + 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

5.关于 x 的方程 lg(ax ? 1) ? lg( x ? 3) ? 1 有解,则 a 的取值范围是 。 6.已知 f(x)是 R 上的奇函数,函数 g(x)=f(x+2),若 f(x)有三个零点,则 g(x)的所有零 点之和为________. 7. (08 湖北文)方程 2
?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为



8. 已知函数 y ? f ( x) ( x? R) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1),且 x ∈ [ - 1,1] 时, f ( x) ? | x |,则
y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是

( C.5 D.6

)

A.3

B.4

9 .已知偶函数 f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ),且 x ? [0,1]时, f ( x) ? x ,则方程

f ( x) ? log3 | x | 根的个数是___
2

.

10.(10 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c,且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点; 1 (2)设 x1,x2∈R,x1<x2,且 f(x1)≠f(x2),若方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不等实 2 根,试证明必有一个实根属于区间(x1,x2).

?log2 x+1 x>0, ? 11.已知函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0, ?

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数

m 的取值范围是________.

答案: 解析 函数 f(x)的图象如图所示,函数 f(x)=-x -2x(x≤0)的最大值是 1, 故只要 0<m<1 即可使方程 f(x)=m 有三个相异的实数根, 即函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零 点. 答案 (0,1)

2

?2 x?2 ? , 12.(11 北京)已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
根,则数 k 的取值范围是_______ 13.试判断方程 | x2 ? 9 |? a ? 2 实根的个数. 【解析】 本题利用先去根号,在讨论一元二次方程的根的个数的方法也能做,但步骤较繁 复,而且容易出错,不如利用函数的图象简单明了.

令 y ?| x2 ? 9 | , y ? a ? 2 ,如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象: 由图可知: 当 a ? 2 ? 9 ,即 a ? 7 时,函数有两个交点,即方程有 2 个实根; 当 a ? 2 ? 9 ,即 a ? 7 时,函数有 3 个交点,即方程有 3 个实根; 当 0 ? a ? 2 ? 9 ,即 ?2 ? a ? 7 时,函数有 4 个交点,即方程有 4 个实根; 当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 时,函数有 2 个交点,即方程有 2 个实根; 当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 时,函数没有交点,即方程没有实数根; 综上所述: 当 ?2 ? a ? 7 时, 方程有 4 个实根; 当 a ? 7 时, 方程有 3 个实根; 当a ? 7 或 a ? ?2 时,方程有 2 个实根;当 a ? ?2 时,方程没有实根. 【答案】当 ?2 ? a ? 7 时,方程有 4 个实根;当 a ? 7 时,方程有 3 个实根;当 a ? 7 或 a ? ?2 时,方程有 2 个实根;当 a ? ?2 时,方程没有实根.
2 14. (10 全国 I 理) 直线 y =1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点, 则 a 的取值范围是



15.方程 f(x)=|x2-|x|-2|=k 有六个解,求 k 的范围。k 的范围为(2,9/4)

16.(2012〃福建)对于实数 a

?a -ab,a≤b, ? 和 b,定义运算“*” :a*b=? 2 ?b -ab,a>b. ?

2

设 f(x)=(2x

-1)*(x-1),且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则

x1x2x3 的取值范围是________.
解析 f(x)=(2x-1)*(x-1)
? ? =? ? ?

2x-1

2 2

2x-1 2x-1

x-1 x-1

x≤0, x>0,

x-1

? ?2x -x,x≤0, 即 f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. ?

2

如图所示,关于 x 的方程 f(x)=m 恰有三个互不相等的实根 x1,x2,x3,即函数 f(x)的 1 图象与直线 y=m 有三个不同的交点, 则 0<m< .不妨设从左到右的交点的横坐标分别为 x1, 4

x2,x3.当 x>0 时,-x2+x=m,即 x2-x+m=0,∴x2+x3=1,
∴0<x2x3<?

?x2+x3?2,即 0<x x <1; ? 2 3 4 ? 2 ?
1- 3 1- 3 3-1 得 x= ,∴ <x1<0,∴0<-x1< . 4 4 4

1 ? ?2x2-x= , 4 当 x<0 时,由? ? ?x<0, ∴0<-x1x2x3<

3-1 1- 3 ? 1- 3 ? ,∴ <x1x2x3<0.答案 ? ,0? 16 16 ? 16 ?

17.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根

③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 【答案】①③④

④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

18.函数 y ? ( x2 ? 2 x)2 ? 9 的图象与 x 轴交点的个数是( A.1 B.2
2 2



C.3

D.4

【解析】 令 y ? 0 , ( x ? 2x ? 3)( x ? 2x ? 3) ? 0 ∵ x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ∴ x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 即方程 f ( x) ? 0 只有两个实数根 19.关于 x 的方程 ( x2 ? 1)2 ? | x2 ? 1| ?k ? 0 ,给出下列四个命题: ① 当 k ? 0 时,方程恰有 2 个不同的实根; ② 当 k ? 0 时,方程恰有 5 个不同的实根; 1 ③ 当 k ? 时,方程恰有 4 个不同的实根; 4 1 ④ 当 0 ? k ? 时,方程恰有 8 个不同的实根. 4 其中错误的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 【解析】 记 | x 2 ? 1|? t ,则方程变为 t 2 ? t ? k ? 0 , ? ? 1 ? 4 k
k ? 0 时, t1 ? 0, t2 ? 1 ,原方程有 5 个解; k ? 0 时, t1 ? 0, t2 ? 1 ,原方程有 2 个解;

D.3

0?k ?

1 1 1 时, t1 ? (0, ), t2 ? ( , 1) ,原方程有 8 个解; 4 2 2 1 1 k ? 时, t1 ? t2 ? ,原方程有 4 个解; 2 4 1 k ? 时,关于 t 的方程无解,原方程有 0 个解. 4

? 1 ( x ? 1) ? 20.设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?| x ? 1 | ,若关于 x 的方程 ? ? 1( x ? 1) 2 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 三 个 不 同 的 实 数 解

x1 , x2 , x3





x ? x ? x ? _____5_______.
2 1 2 2 2 3

二次方程根的分布

14.若方程 (m ? 1) x2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 的根都为正数,求 m 的取值范围. 【解析】 (1)当此方程为一次方程时,即 m ? 1 时,方程的根为 x ?

1 ? 0 ,满足题意 4

? ?? ? 4(m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 ? ? 2(m ? 1) (2)当 m≠1 时,依题意有 ?? ,解得 0< m <1 ?0 ? m ?1 ? ?m ?0 ? ?m ?1

综上,m 的取值范围是(0,1]. 15.若关于 x 的方程 22 x ? 2 x a ? a ? 1 ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围. 【解析】 设 t ? 2x (t ? 0) ,则原方程可变为 t 2 ? at ? a ? 1 ? 0 原方程有实根,即方程①有正根. 令 f (t ) ? t 2 ? at ? a ? 1
?? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ? (1)方程①有两个正实根 t1 , t2 ,则 ?t1 ? t2 ? ?a ? 0 解得 ?t ? t ? a ? 1 ? 0 ?1 2
?1 ? a ? 2 ? 2 2 ;



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(2)方程①有一个正实根和一个负实根,则 f (0) ? a ? 1 ? 0 ,解得: a ? ?1 . 综上: a ? 2 ? 2 2 16.关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 x1 、 x 2 满足 x1 ?

3 ? x2 ,则实数 2

m 的取值范围



3 9 【解析】 设 f ( x) ? x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ,则 f ( ) ? ? 3(m ? 4) ? m2 ? 16 ? 0 , 2 16 1 7 即: 4m2 ? 12m ? 7 ? 0 ,解得: ? ? m ? . 2 2 2 17.已知关于 x 的二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 。
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的 范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.
0? 和 【解析】 (1)条件说明抛物线 f ? x ? ? x2 ? 2mx ? 2m ? 1 与 x 轴的交点分别在区间 ? ?1,
1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f (?1) ? 2 ? 0, ? m ? R, ? ? ?1,2? 内,画出示意图,得 ? 1 ? ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?

5 1 ∴? ?m?? . 6 2

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? ? ? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ? m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2, ? ? ?1 ? m ? 0.

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x ? ?m 应在区间(0,1)内通过)

1 得到 ? ? m ? 1 ? 2 2 5 1 【答案】(1) ? ? m ? ? 6 2

1 (2) ? ? m ? 1 ? 2 2

18.若关于 x 的方程 lg( x2 ? 20x) ? lg(8x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一的实根,求实数 a 的取值范围. 【解析】 法一
2 ? ……? ? ? x ? 20 x ? 0 ? x ? ?20或x ? 0 原方程等价于 ? 2 即? 2 ? ? x ? 12 x ? 6a ? 3 ? 0……? ? x ? 20 x ? 8x ? 6a ? 3 ?

y
-20 -6 O

x

令 f ( x) = x 2 +12 x +6 a +3 (1)若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相切, 有Δ=144-4(6 a +3)=0 即 a =

11 . 2

y
163 -20 -6 O 3

x

11 11 代入式 ? 有 x =-6 不满足式 ? ,∴ a ≠ . 2 2 (2)若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相交,
将a= 注意到其对称轴为 x =-6, 故交点的横坐标有且仅有一个满足式 ? 的充要条件是:
? f (?20) ? 0 ? ? f (0) ? 0

163 1 ≤a ? ? . 6 2 163 1 ∴当 ? ≤ a ? ? 时原方程有唯一解. 6 2 法二
解得 ? 原方程等价于 x2 ? 20x ? 8x ? 6a ? 3? x ? ?20或x ? 0? ③ 问题转化为:求实数 a 的取值范围, 使直线 y ? 8x ? 6a ? 3 与抛物线 y ? x2 ? 20x ? x ? ?20或x ? 0? 有且只有一个公共点. 虽然两个函数图象都明确,但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显, 可将③变形为 x 2 +12 x +3=-6 a ( x <-20 或 x >0), 再在同一坐标系中分别也作出抛物线 y = x 2 +12 x +3 和直线 y =-6 a ,

163 1 ? a ? ? 时, 6 2 直线 y =-6 a 与抛物线有且只有一个公共点.
如图,显然当 3<-6 a ≤163, ?

163 1 ≤a ? ? 6 2 2 19 .已知函数 f(x) = x + (1 - k)x - k 的一个零点在 (2,3) 内,则实数 k 的取值范围是
【答案】 ? ________. 20.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且 方程 f ( x) ? 2 x 有等根
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(1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n (m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和 [4m,4n] ,如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由
2
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【解析】 (1)∵方程 ax ? bx ? 2 x 有等根,∴ ? ? (b ? 2)2 ? 0 ,得 b=2 . 由 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 知此函数图象的对称轴方程为 x ? ? 故 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x . (2) f ( x) ? ?( x ? 1)2 ? 1 ? 1 ,∴4n ? 1,即 n ? 而抛物线 y ? ? x2 ? 2x 的对称轴为 x ? 1 数
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b ? 1 ,得 a ? ?1 , 2a

1 4

∴n?

1 时, f ( x) 在[m,n]上为增函 4

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? f ( m ) ? 4m 若满足题设条件的 m,n 存在,则 ? , ? f ( n) ? 4n

2 ? ??m ? 2m ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 即? 2 ?? ??n ? 2n ? 4n ?n ? 0或n ? ?2 ?

又m?n?

1 , ∴ m ? ?2, n ? 0 ,这时定义域为[–2,0] ,值域为[–8,0] 4

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由以上知满足条件的 m、n 存在, m ? ?2, n ? 0 . 【答案】 (1) f ( x) ? ? x2 ? 2 x (2) m ? ?2, n ? 0


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