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4 三角函数、平面向量、解三角形



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三角函数、平面向量、解三角形)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.sin480° 的值为( ) 1 3 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 2.与向量 a=(3

,4)同方向的单位向量为 b,又向量 c=(-5,5),则 b· c=( ) A.(-3,4) B.(3,-4) C.1 D.-1 3. (2011 年四川)在△ABC 中, 2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC, A 的取值范围是( sin 则 ) π? π ? A.?0,6? B.?6,π? ? ? π? π C.?0,3? D.?3,π? ? ? ? 4.已知 tanθ=4,则 sinθcosθ-2cos2θ=( ) 1 7 1 2 A.- B. C.- D. 4 4 5 17 π? π 5.将函数 y=3sin ?2x+3? 的图象按向量 a= ?-6,-1? 平移后所得图象的解析式是 ? ? ? ) 2π A.y=3sin?2x+ 3 ?-1 ? ? ?2x+2π?+1 B.y=3sin? 3? C.y=3sin2x+1 π D.y=3sin?2x+2?-1 ? ? 6. 已知向量 a=(cosθ, sinθ), 向量 b=( 3, -1)则|2a-b|的最大值, 最小值分别是( ) A.4 2,0 B.4,4 2 C.16,0 D.4,0 7.在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 → → 8.在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则AB· 的值为( BC ) A.79 B.69 C.5 D.-5 π π 9.函数 y=sin?2x-3?在区间?-2,π?的简图是( ) ? ? ? ?

(

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? ?sinx 当sinx≥cosx时, 10.对于函数 f(x)=? 下列命题正确的是( ) ?cosx 当sinx<cosx时, ? A.该函数的值域是[-1,1] π B.当且仅当 x=2kπ+ (k∈Z)时,函数取得最大值 1 2 C.该函数是以 π 为周期的周期函数 3π D.当且仅当 2kπ+π<x<2kπ+ (k∈Z)时,f(x)<0 2 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. → → → → 11 . 已 知 OA = ( - 1,2) , OB = (3 , m) , 若 OA ⊥ AB , 则 m = ______________________________. π 1 12.(2011 年北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sinA= ,则 a=__________. 4 3 13.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60° ,b,c 分别是 2 方程 x -7x+11=0 的两个根,则 a 等于________. 14.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. sin2x-cos2x+1 15.(12 分)已知函数 f(x)= . 2sinx (1)求 f(x)的定义域; 4 (2)设 α 是锐角,且 tanα= ,求 f(α)的值. 3 π 16.(13 分)已知函数 f(x)=-2sin(-x)sin?2+x?. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ? 17.(13 分)如图 4-1,已知△ABC 中,∠ACB=90° ,AC=BC,D 为 AC 的中点,E 为 1 AB 上一点,且 AE= EB,试证:BD⊥CE. 2

图 4-1 18.(14 分)已知函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx+2cos2x,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 19.(14 分)半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一 点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC(如图 4-2).问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?

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图 4-2

20.(14 分)已知向量 m=( 3sinx,cosx),n=(cosx,cosx),p=(2 3,1). (1)若 m∥p,求 sinx· 的值; cosx (2)设△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角 θ 的取值集合为 M.当 x∈M 时,求函数 f(x)=m· 的值域. n

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答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12.__________

13.__________

14.__________

17.

19.

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复习检测卷(四)
1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D 5 2 11.4 12. 13.4 14.2 7 3 15.解:(1)由 2sinx≠0,得 x≠kπ(k∈Z). 所以 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. 4 4 3 (2)因为 α 是锐角,且 tanα= ,所以 sinα= ,cosα= . 3 5 5 2 sin2α-cos2α+1 2sinαcosα+2sin α f(α)= = =sinα+cosα, 2sinα 2sinα 7 所以 f(α)=sinα+cosα= . 5 π 16.解:(1)∵f(x)=-2sin(-x)sin?2+x?=2sinxcosx=sin2x,∴函数 f(x)的最小正周期为 ? ? π. π π π (2)由- ≤x≤ ?- ≤2x≤π. 6 2 3 π π 3 3 ∴- ≤sin2x≤1,∴f(x)在区间?-6,2?上的最大值为 1,最小值为- . ? ? 2 2 17. 证明: 如图 3, 以两直角边分别为 x 轴、 轴建立平面直角坐标系. C(0,0), y 设 A(1,0), 1 ? 2 1? B(0,1),则 D 为?2,0?,E 为?3,3?. ? ?

图3 1 2 1? → → 则BD=?2,-1?,CE=?3,3?. ? ? ? 2 1? 1 2 1 → → ?1 ? ∵BD· =?2,-1?·3,3?= × +(-1)× =0, CE ?? 2 3 3 ∴BD⊥CE. 1-cos2x 3 18.解:(1)f(x)= + sin2x+1+cos2x 2 2 3 1 3 π 3 = sin2x+ cos2x+ =sin(2x+ )+ , 2 2 2 6 2 则最小正周期 T=π. π π π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤2kπ+ 得 kπ- ≤x≤kπ+ , 2 6 2 3 6 π π? 故 f(x)的增区间为?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). ? π π (2)先把 y=sin2x 的图象向左平移 个单位得到 y=sin?2x+6?的图象, ? ? 12 π? π 3 3 再把 y=sin?2x+6?的图象向上平移 个单位,即得函数 y=sin?2x+6?+ 的图象. ? ? ? 2 2 19.解:设∠AOB=α.在△AOB 中,由余弦定理,得 AB2=12+22-2×1×2cosα=5- 4cosα. 于是,四边形 OACB 的面积为:
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1 3 S=S△AOB+S△ABC= OA· OBsinα+ AB2 2 4 1 3 = ×2×1×sinα+ (5-4cosα) 2 4 5 =sinα- 3cosα+ 3 4 π 5 =2sin?α-3?+ ? ? 4 3. π π 5 5 因为 0<α<π,所以当 α- = 时,α= π,即∠AOB= π 时,四边形 OACB 的面积最大. 3 2 6 6 20.解:(1)∵m∥p,∴ 3sinx=2 3cosx.∴tanx=2. sinx· cosx tanx 2 ∴sinx· cosx= 2 = = . sin x+cos2x 1+tan2x 5 (2)f(x)=m· n= 3sinxcosx+cos2x π 3 1 1 = sin2x+ (1+cos2x)= +sin?2x+6?. ? ? 2 2 2 a2+c2-b2 a2+c2-ac ac 1 在△ABC 中,cosθ= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 π? π ? ∴0<θ≤ .即 M=?θ|0<θ≤3?. 3 ? ? π π 5π ∴ <2x+ ≤ . 6 6 6 π 1 ∴ ≤sin?2x+6?≤1. ? ? 2 3 3 ∴1≤f(x)≤ ,故函数 f(x)的值域为?1,2?. ? ? 2

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