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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(13)



备考 2011 高考数学基础知识训练(13) 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、化简复数
3?i 1? i ?

.

2、集合 A ? ?x ? 1 ? x ? 2 ?, B ? ? y 0 ? y ? 4 ? ,则 A ? B ?

r />
.

3、等差数列 ?a n ? 中, a 3 ? 2 ,则该数列的前 5 项的和为

.

4、已知正方形的边长为 2 , AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 a ? b ? c ?

.

?2 x ? y ? 5 ? 5、已知 x , y 满足约束条件 ? 3 x ? 4 y ? 9 ,则 u ? 5 x ? 4 y 的最小值是 ?x ? 0 ?

.

6、 要得到函数 y ? sin(

?
3

? 2 x ) 图像, 只需将函数 y ? cos 2 x 的图像向

平移

个单位.

7、命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题是
a b

.

8、如果实数 a , b ? R ,且 a ? b ,那么 b , ab ,

?

1 2

( a ? b ) 由大到小的顺序是

.

9、函数 y ? cos 2 x ? sin x cos x 的最小正周期为_

.

10、等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S 1 , 2 S 2 , 3 S 3 成等差数列,则 ?a n ? 的公比为_

.

11、过曲线 y ? x ? 2 x 上一点 ?1, 3 ? 的切线方程为
3

.

12、在 ? ABC 中, ? A ? 60 , b ? 1, ? ABC 的面积为
0

3 2

,则

a ?b?c sin A ? sin B ? sin C

?

.

13、 ? ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM = 2 ,则 OA ? ( OB ? OC ) 的最小值是

14、关于函数 f( x ) ? lg

x

2

?1 x

( x ? 0 ) ,有下列命题:

①其图像关于 y 轴对称; ②当 x ? 0 时, f ( x ) 是增函数;当 x ? 0 时, f ( x ) 是减函数; ③ f ( x ) 的最小值是 lg 2 ; ④当 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 2 时, f ( x ) 是增函数; ⑤ f ( x ) 无最大值,也无最小值; 其中所有正确结论的序号是_ .

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15、 (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n ,
bn ? 1 Sn

, (1)求数列 ?b n ? 的通项公式; (2)求证: b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 2 .

16、 (本小题满分 14 分)已知向量 a , b 满足 a ? | b |? 1 ,且 | k a ? b |? 3 | a ? k b | ( k ? 0) ,令
? ? ? ? (1)求 f ( k ) ? a ? b (用 k 表示) ; f (k ) ? a ? b ,

? ?

?

?

?

?

?

?

(2)当 k ? 0 时, f ( k ) ? x ? 2 tx ?
2

1 2

对任意的 t ? [ ? 1,1] 恒成立,求实数 x 取值范围.

17、 (本小题满分 14 分)已知 ta n (2)
6 s in ? ? c o s ? 3 s in ? ? 2 c o s ?

?
2

=2,求; (1) ta n (? ?
2

?
4

) 的值;
2

的值; (3) 3 sin ? ? 4 sin ? cos ? ? 5 cos ? 的值.

18、 (本小题满分 16 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投 入成本为 C ? x ? ,当年产量不足 80 千件时, C ? x ? ? 千件时, C ? x ? ? 5 1 x ?
10000 x 1 3 x ? 1 0 x (万元);当年产量不小于 80
2

? 1 4 5 0 (万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年

内生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

19、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x .
2

(1) 当 a ? ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值;

(2) 若 g ( x ) ? f ( x ) ?

2 x

在 [1 , ? ? ) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围.

20、 (本小题满分 16 分)设 F1 , F 2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ( 3 ,
3 2 ) 到 F1 , F 2

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(a ? b ? 0)

的左右焦点

两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 K F1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM , PN 的斜率都存在, 并记为 k P M , K P N 证明你的结论. 试探究 k P M ? K P N 的值是否与点 P 及直线 L 有关, 并

参考答案: 1、 2 ? i 2、 ?0 , 2 ? ; 3、10; 4、 4 5、9; 6、向左平移
?
12

个单位
a b

7、若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ; 8、
a ?b 2 ? ab ? b ;

9、 ? ; 10、
1 3



11、 5 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? 2 y ? 7 ? 0 ; 12、 2 ; 13、 ? 2 ; 14、 1, 3 , 4

16、解: (Ⅰ)由题设得 a

?

2

? ? ? 2 ? | b | ? 1 ,对 | k a ? b |?

? ? 3 | a ? k b | 两边平方得

?2 ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 2 2 k a ? 2 k a ? b ? b ? 3( a ? 2 k a ? b ? k b ) ??????????????????2 分
2 ? ? k ?1 ( k ? 0 ) ????????????????4 分 展开整理易得 f ( k ) ? a ? b ? 4k

(Ⅱ) f ( k ) ?

k ?1
2

?

k 4

?

1 4k

?

1 2

,当且仅当 k =1 时取得等号. ??????6 分
1 2 1 2

4k

欲使 f ( k ) ? x ? 2 tx ?
2
2

1 2

对任意的 t ? [ ? 1,1] 恒成立,等价于

? x ? 2 tx ?
2

?7 分

即 g ( t ) ? 2 xt ? x ? 1 ? 0 在 [ ? 1,1] 上恒成立,而 g ( t ) 在 [ ? 1,1] 上为单调函数或常函数,
? g (1) ? 2 x ? x ? 1 ? 0 ?
2

所以 ?

? g ( ? 1) ? ? 2 x ? x ? 1 ? 0 ?
2

????????????????????11 分

解得 1 ?

2 ? x?

2 ? 1 ????????????????????????13 分
2, 2 ? 1] ?????????????????14 分

故实数 x 的取值范围为 [1 ?

18、解:⑴当 0 ? x ? 80, x ? N * 时,
L ?x? ? 500 ? 1000 x 10000
*

?

1 3

x ? 10 x ? 250 ? ?
2

1 3

x ? 4 0 x ? 2 5 0 ????(2 分)
2

当 x ? 8 0 , x ? N 时,
L ?x? ? 500 ? 1000 x 10000 10000 x 10000 ? ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ? x ? ? x ? ?

? 51x ?

??(4 分)

? 1 2 * ? x ? 4 0 x ? 2 5 0, ? 0 ? x ? 8 0, x ? N ? ? 3 ? ? L ?x? ? ? 10000 ? * ?1 2 0 0 ? ? x ? ? ? , ? x ? 8 0, x ? N ? ? x ? ? ?

?????????(7 分)

⑵当 0 ? x ? 8 0, x ? N * 时, L ? x ? ? ?
?

1 3

? x ? 60 ?

2

? 950 ,

当 x ? 6 0 时, L ? x ? 取得最大值 L ? 6 0 ? ? 9 5 0 (万元)??????(10 分)
*

当 x ? 8 0 , x ? N 时,
10000 ? ? L ? x ? ? 1200 ? ? x ? ? ? 1200 ? 2 x ? ? 10000 x? ? 1 2 0 0 ? 2 0 0 ? 1 0 0 0 ???(14 分) x

?当x ?

10000 x

, 即 x ? 1 0 0 时, L ? x ? 取得最大值 1000 万元,即生产量为 100 千件时,该

厂在这一商品的生产中所获利润最大 ?????????????????(16 分) 19 、 当
f ?( x ) ? 2 x ? 2 x ? x





(1)











f (x)









为 ,

(0 , ? ? ) .

?????????????????1 分
a ? ?2



2 ( x ? 1)( x ? 1)

. ?????????????????2 分

当 x 变化时,f ? ( x ) 和 f ( x ) 的值的变化情况如下表: ?????????????? 4分 x
f ?( x )
f (x)

(0,1) 递减

1 0 极小值

(1, +∞) + 递增

由上表可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间是(0,1) 、单调递增区间是(1,+∞) 、极小值 是
f (1) ? 1 . ??????????????????????????????????

????8 分 (2) 由 g ( x ) ? x ? a ln x ?
2

2 x

,得 g ? ( x ) ? 2 x ?

a x

?

2 x
2

. ????????????

9分 又函数 g ( x ) ? x ? a ln x ?
2

2 x

为 [1, ? ? ) 上单调函数,

① 若函数 g ( x ) 为 [1, ? ? ) 上的单调增函数,则 g ? ( x ) ? 0 在 [1, ? ? ) 上恒成立,即不等 式2x ?
2 x
2

?

a x

? 0 在 [1, ? ? ) 上恒成立.也即 a ?

2 x

? 2 x 在 [1, ? ? ) 上恒成立. ???12 分
2

又? ( x ) ? 分

2 x

? 2 x 在 [1, ? ? ) 上为减函数,? ( x ) max ? ? (1) ? 0 .
2

????????13

所以 a ? 0 . ②若函数 g ( x ) 为 [1, ? ? ) 上的单调减函数,则 g ? ( x ) ? 0 在 [1, ? ? ) 上恒成立,这是不可 能 的. ???????????????????????????????????? ????????15 分 a 综 上 , 的 取 值 范 围 为
[ ?? 0 . , ) ???????????????????????????16 分

20、解: (1)由于点 ( 3 ,

3 2

) 在椭圆上,

( 3) a
2

2

( ?

3 2 2 b

)

2

?1

------1 分

2 a =4, 椭圆 C 的方程为
x
2

------2 分
? y
2

?1

--------3 分

4

3

焦点坐标分别为(-1,0) , (1,0)-----------4 分

(2)设 K F1 的中点为 B(x, y)则点 K ( 2 x ? 1, 2 y ) --------6 分 把 K 的坐标代入椭圆
x
2

?

y

2

?1

中得
1 2
2

( 2 x ? 1) 4

2

?

(2 y ) 3

2

?1

-----8 分

4

3

线段 K F1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ?

) ?

y

2

3 4

?1

----------10 分

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x 0 , y 0 ) N ( ? x 0 , ? y 0 ), p ( x , y )
M , N , P在 椭 圆 上 , 应 满 足 椭 圆 方 程

----11 分 ,得
x0 a
2 2

?

y0 b

2

2

?1

x y ,2 ? 2 ?1 a b

2

2

------12 分

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 x ? x0
2 2 2 2

-------------------13 分
2 2

k PM ? K PN =

y ? y0 x ? x0

?

y ? y0 x ? x0

?

y ? y0 x ? x0

=?

b a

-----------15 分

故 k P M ? K P N 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关,-----16 分



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