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高三大一轮1.1 集合的概念及其基本运算


第一章

集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念及其基本运算 基础知识 自主学习
要点梳理 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、 无序性 . 集合元素的三个特征: 集合元素的三个特征 (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系,用符号 元素与集合的关系是 关系, ∈ 表示. 或 ? 表示.

区间法 . 图示法 、 描述法 、 (3)集合的表示法: 集合的表示法: 集合的表示法 列举法 、

(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数 常用数集: 常用数集 ; 或 ; 集 Z;有理数集 Q;实数集 R. ; ; (5)集合的分类: 按集合中元素个数划分,集合可以分 集合的分类: 按集合中元素个数划分, 集合的分类 为 有限集 、 无限集 、 空集 .

2.集合间的基本关系 . (1)子集、真子集及其性质 子集、 子集 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). ∈ , ∈ , ? 或 ? . 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A, ? , ∈ , ? , 或 . 则 A ? B (或 B ? A ). ? ? ;A ? A;A?B,B?C?A ? C. ; ? , ? ? 个元素, 若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非 空子集有
2n-1 个,A 的非空真子集有 2n-2

个.

(2)集合相等 集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B . ? ? ,

3.集合的运算及其性质 . (1)集合的并、交、补运算 集合的并、 集合的并 并集: ∪ = 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; ∈ , ∈ ; 交集: ∩ = 交集:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B} ; 补集: 补集:?UA= {x|x∈U,且 x?A} = (2)集合的运算性质 集合的运算性质
并集的性质: 并集的性质:



U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. 为全集, 的补集.

A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. ? ?
交集的性质: 交集的性质:

A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. ? ?
补集的性质: 补集的性质:

A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. ? ? ?

[难点正本 疑点清源 难点正本 疑点清源] 1.正确理解集合的概念 . 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征, 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征,尤 其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用. 其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用.在解决含参数 问题时,要注意检验,否则很可能会因为不满足“互异性” 问题时,要注意检验,否则很可能会因为不满足“互异性”而 导致结论错误. 导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 . 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集. 若未明确说明集合非空时, 时 , 若未明确说明集合非空时 ,要考虑到集合为空集的可能 例如: ? , 性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的情况. = ≠ 两种可能的情况. 3.正确区分?,{0},{?} .正确区分? ,? 是含有一个元素 ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集 是不含任何元素的集合,即空集. 是含有一个 合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是 0.{?}是含有 它不是空集,因为它有一个元素, ? 是含有 一个元素?的集合.?? ,??{? , 一个元素?的集合.??{0},?? ?},?∈{?},{0}∩{?}=?. ?, ∩?=

基础自测 1. . 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, ={2,4,5}, ={1,3,5,7}, A= B= = , , , 则 A∩(?UB)=________. ∩ ? = {2,4}

解析 ?UB={2,4,6},A∩(?UB)={2,4}. = , ∩? = .

2. .(2010·江苏 设集合 A={-1,1,3}, ={a+2, 2+4}, 江苏)设集合 = - B= + ,a 江苏 , , A∩B={3},则实数 a 的值为 ∩ = , 的值为________. . 1
解析 义. 当 a+2=3,即 a=1 时,B={3,5},此时 A∩B={3}. + = , = = , ∩ = . 故 a=1. = =-1 因为 A∩B={3},当 a2+4=3 时,a2=- 无意 ∩ = , =

3.已知集合 A={-1,0,4},集合 B={x|x2 . =- , , = -2x-3≤0,x∈N},全集为 U,则图中 - ≤ , ∈ , , 阴影部分表示的集合是 A.{4} . C.{4,5} . ( B ) B.{4,- . ,- ,-1} D.{-1,0} .-

解析 由题可知集合 B={0,1,2,3}, = , 阴影部分表示由属于 集合 A 但不属于集合 B 的元素组成的集合, 的元素组成的集合, 则阴影部分 表示的集合为{- 表示的集合为 -1,4}.故选 B. .

点评 从图形中读懂集合间的关系是解决本题的关键.

4.已知 . 等于

? 2 ? ? ? ?x| <1?,N={y|y= M= x =? = = ? ? ?

x-1},则 N∩(?RM) - , ∩? ( B ) B.[0,2] . D.[1,2] .

A.(1,2) . C.? .
解析 因为 [0,2]. .
? 2 ? ? ? ?x| <1?={x|x>2 M= x =? ? ? ?

或 x<0},所以?RM= ,所以? =

[0,2],又 N={y|y= x-1}=[0,+ ,故 N∩(?RM)= , ,+∞), = = - = ,+ ? =

易误警示 求解集合 M、N 时易错.

题型分类
题型一 集合的基本概念 例 1

深度剖析

定义集合运算: ⊙ = = 定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A, + , ∈ ,

y∈B},设集合 A={0,1},B={2,3},则集合 A⊙B 的 ∈ , = , = , ⊙ 所有元素之和为________. . 所有元素之和为 思维启迪 集合 A⊙B 的元素:z=xy(x+y).求出 z 的 ⊙ 的元素: = + . 所有值,再求其和. 所有值,再求其和.
解析 这里给出了一个新的符号 A⊙B,实质上它就是 ⊙ ,

一个集合,其中的元素 z=xy(x+y),其中 x∈A={0,1}, 一个集合, = + , ∈ = , y∈B={2,3}.可利用集合描述法中元素 z 的性质,简单 ∈ = 的性质, . 的分类讨论, 的所有可能的取值即可求得答案. 的分类讨论,求出 z 的所有可能的取值即可求得答案.

当 x=0 时,z=0;当 x=1,y=2 时,z=6;当 x=1, = = ; = , = = ; = , y=3 时,z=12. = = 故集合 A⊙B 中的元素有如下 3 个:0,6,12. ⊙ 所有元素之和为 18.
答案 18
探究提高 理解集合和集合元素的特征属性, 是解决本 理解集合和集合元素的特征属性,

题的关键. 的值时, 题的关键.在确定 z 的值时,要根据 x,y 的不同取值分 类讨论,体现了分类讨论的思想方法. 类讨论,体现了分类讨论的思想方法.

变式训练 1 设

? b ? ? ? ?a, ,1?={a2, +b,0}, ,a a, ∈R, b∈ , a+ , 集合? , ? ? ?

的值为________. 则 a2 011+b2 012 的值为 -1 .
b 解析 由于 a≠0,则a=0,∴b=0. ≠ , , = =-1. , ≠ , =- ∴a2=1,又 a≠1,∴a=- 故 a2 011+b2 012=- =-1.

题型二 集合与集合的基本关系 例2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= = + ≤ , =
? ? 1 ? ? ?x|- <x≤2?. -2 ≤ ? ? ? ?

(1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; 若 ? , 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; 若 ? , 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试 、 能否相等?若能, 的值;若不能, 说明理由. 说明理由. 思维启迪 在确定集合 A 时,需对 x 的系数 a 进行讨
利用数轴分析,使问题得到解决. 论.利用数轴分析,使问题得到解决.



A 中不等式的解集应分三种情况讨论: 中不等式的解集应分三种情况讨论:

①若 a=0,则 A=R; = , = ; ②若 a<0,则 , ③若 a>0,则 ,
? 4 1? ? ? ?x| ≤x<- ?; A= a -a = ? ? ? ? ? 1 4? ? ? ?x|- <x≤ ?. A= -a ≤a = ? ? ? ?

(1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 = ? ,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图, ? ,如图,

1 ?4 - ?a>-2 则? ?-1≤2 ? a

- ?a<-8 ? , ∴? - 1 ,∴a<-8. ≤ ?a≤-2 ?

当 a>0 时,若 A?B,如图, ? ,如图,

1 ? 1 ?-a≥-2 则? ?4≤2 ?a

?a≥2 ?a≥ ,∴? ?a≥2 ? ≥

.∴a≥2. ∴ ≥

综上知, 综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2. ? - ≥

(2)当 a=0 时,显然 B?A;当 a<0 时,若 B?A,如图, 当 = ? ; ? ,如图,

1 ?4 ≥ ?a≥-8 ?a≤-2 ? 则? , ∴? 1 . 1 - ?a>-2 ?- >2 ? ? a 1 ; ? ,如图, ∴-2<a<0;当 a>0 时,若 B?A,如图,

1 ? 1 - a≤ - ? 2 则? ?4≥2 ?a

?a≤2 ? ≤ , ∴? ?a≤2 ? ≤

.∴0<a≤2. ∴ ≤

1 综上知, 综上知,当 B?A 时,-2<a≤2. ? ≤

(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 当且仅当 、 两个集合互相包含时, = 由(1)、(2)知,a=2. 、 知 =
探究提高 在解决两个数集关系问题时, 避免出错的一 在解决两个数集关系问题时,

个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外, 个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在 解含有参数的不等式( 或方程 ) 时 , 要对参数进行讨 解含有参数的不等式 ( 论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每 分类时要遵循“不重不漏”的分类原则, 一类情况都要给出问题的解答. 一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤: 确定标准; 恰当分类; 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐 类讨论;④归纳结论. 类讨论; 归纳结论.

变式训练 2 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x = = , = + +a2-1=0}, = , (1)若 B?A,求 a 的值; 若 ? , 的值; (2)若 A?B,求 a 的值. 若 ? , 的值.
解 (1)A={0,- , = ,- ,-4}, ①当 B=?时,?=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0, = = + = + , 解得 a<-1; - ; 为单元素集时, =- =-1, 符合题意; ②当 B 为单元素集时,a=- ,此时 B={0}符合题意; = 符合题意 由根与系数的关系得: ③当 B=A 时,由根与系数的关系得: = ?-2(a+1)=- ( + )=-4 ? ? 2 ,解得 a=1. = ?a -1=0 = ? 综上可知: ≤ 综上可知:a≤-1 或 a=1. = (2)若 A?B,必有 A=B,由(1)知 a=1. 若 ? , = , 知 =

题型三 集合的基本运算 例 3 若集合 A={x|x2-2x-8<0},B={x|x-m<0}. = - , = - . (1)若 m=3,全集 U=A∪B,试求 A∩(?UB); 若 = , = ∪ , ∩? ; (2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围; 若 ∩ = 的取值范围; (3)若 A∩B=A,求实数 m 的取值范围. 若 ∩ = , 的取值范围. 思维启迪


(1)分别求出集合 A、B,利用数轴分析. 分别求出集合 、 ,利用数轴分析.

(2)A∩B=A 转化为 A?B. ∩ = ?
(1)由 x2-2x-8<0,得-2<x<4, 由 - , , ∴A={x|-2<x<4}. = - . 当 m=3 时,由 x-m<0,得 x<3, = - , , ∴B={x|x<3}, = , = ≤ . ∴U=A∪B={x|x<4},?UB={x|3≤x<4}. = ∪ = , ∴A∩(?UB)={x|3≤x<4}. ∩? = ≤ .

(2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, ∵ = - , = , 又 A∩B=?,∴m≤-2. ∩ = ≤ (3)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, ∵ = - , = , 由 A∩B=A,得 A?B,∴m≥4. ∩ = , ? , ≥
探究提高 集合的基本运算包括交集、并集和补集.在 集合的基本运算包括交集、并集和补集.

图进行分析, 解题时要注意借助数轴或 Venn 图进行分析,并注意运 用补集的思想方法. 用补集的思想方法.

重庆)设 = 变式训练 3 (2010·重庆 设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2 重庆 , = ∈ +mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. = , = , = -3
解析 ∵?UA={1,2}, A={0,3},∴0,3 是方程 x2+mx = ,∴ = , 的两根, =-3. =0 的两根,∴m=- =-

易错警示 1.忽略空集致误 . 试题: 分)已知集合 A={-1,1}, ={x|ax+1=0}, 试题: (5 已知集合 = - , B= + = , 的所有可能取值的集合为____. 若 B?A,则实数 a 的所有可能取值的集合为 ? , .
学生答案展示

{-1,1}
(1)从集合的关系看,B?A,则 B=?或 B≠ 从集合的关系看, ? , 从集合的关系看 = ≠ 1 1 从集合的元素看, ≠ 中的元素为- ?.(2)从集合的元素看,B≠?时,B 中的元素为-a,-a 从集合的元素看 1 1 的元素, =-1. 必是 A 的元素,即-a=1 或-a=- 审题视角

解析 当 a=0 时,B=??A,符合要求. = =?? ,符合要求. ? 1? ? ? ?- ??A. 当 a≠0 时,B=? a? ≠ = 1 1 ? ? =-1, =-1 ∴-a=1 或-a=- ,即 a=- 或 a=1. =- = 的所有可能取值的集合为{- ∴实数 a 的所有可能取值的集合为 -1,0,1}. .
正确答案 {-1,0,1}
批阅笔记 本题考查的重点是集合的关系以及集合元素

的特征.在解答本题时,存在两个突出错误. 的特征.在解答本题时,存在两个突出错误.一是极易 1 的情况; 中的元素- 忽略集合 B 为?的情况; 二是忽视对 B 中的元素-a的值 的讨论.在解决类似问题时, 为 1 或-1 的讨论.在解决类似问题时,一定要注意分 类讨论,避免误解. 类讨论,避免误解.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.集合中的元素的三个性质,特别是无序性和互异性 .集合中的元素的三个性质, 在解题时经常用到.解题后要进行检验, 在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符 号语言与文字语言之间的相互转化. 号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合 .对连续数集间的运算,借助数轴的直观性, 理转化;对已知连续数集间的关系, 理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的 取值范围时,要注意单独考察等号. 取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可 .对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算, 这是数形结合思想的又一体现. 借助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.

失误与防范 1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集, .空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论, 是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止 漏解. 漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系; .解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系; 二是集合与集合的包含关系. 二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性 是点集、数集或其他 .解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集 是点集、 情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 情形 和化简集合是正确求解的两个先决条件. 和化简集合是正确求解的两个先决条件 4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常 .韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、 用方法, 用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是 空心. 空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、 UA??UB、A∩(?UB) . ? 、 ∩ = 、 ∪ = 、? ?? 、 ∩ ? 这五个关系式的等价性. =?这五个关系式的等价性.
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