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1.1.2集合间的基本关系练习题



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1.1.2 集合间的基本关系
一、选择题 1.对于集合 A,B,“A?B”不成立的含义是( A.B 是 A 的子集 B.A 中的元素都不是 B 的元素 C.A 中至少有一个元素不属于 B D.B 中至少有一个元素不属于 A [答案] C [解析] “A?B”成立的含义是集合 A 中的任何一个元素都是 B 的元素.不成立的含 义是 A 中至少有一个元素不属于 B,故选 C. 2.集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0}那么( A.P ?M C.M=P [答案] C [解析] 由 xy>0 知 x 与 y 同号,又 x+y<0 ∴x 与 y 同为负数
? ?x<0 ?x+y<0 ∴? 等价于? ∴M=P. ?y<0 ? ?xy>0

)

)

B.M?P D.M P

3.设集合 A={x|x2=1},B={x|x 是不大于 3 的自然数},A?C,B?C,则集合 C 中元 素最少有( A.2 个 C.5 个 [答案] C [解析] A={-1,1},B={0,1,2,3}, ∵A?C,B?C, ∴集合 C 中必含有 A 与 B 的所有元素-1,0,1,2,3,故 C 中至少有 5 个元素. 4.若集合 A={1,3,x},B={x2,1}且 B?A,则满足条件的实数 x 的个数是( A.1 C.3 [答案] C [解析] ∵B?A,∴x2∈A,又 x2≠1 ∴x2=3 或 x2=x,∴x=± 3或 x=0.故选 C. 5.已知集合 M={x|y2=2x,y∈R}和集合 P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的 B.2 D.4 ) ) B.4 个 D.6 个

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关系是(

) B.P?M D.M、P 互不包含

A.M?P C.M=P [答案] D

[解析] 由于两集合代表元素不同,因此 M 与 P 互不包含,故选 D. 6.集合 B={a,b,c},C={a,b,d};集合 A 满足 A?B,A?C.则满足条件的集合 A 的个数是( A.8 C.4 [答案] C [解析] ∵A?B,A?C,∴集合 A 中的元素只能由 a 或 b 构成.∴这样的集合共有 22 =4 个. 即:A=?,或 A={a},或 A={b}或 A={a,b}. k 1 k 1 7.设集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x= + ,k∈Z},则( 2 4 4 2 A.M=N C.M?N [答案] B [解析] 解法 1:用列举法,令 k=-2,-1,0,1,2?可得 3 1 1 3 5 M={?- ,- , , , ?}, 4 4 4 4 4 1 1 3 N={?0, , , ,1?}, 4 2 4 ∴M?N,故选 B. k 1 2k+1 k 1 k+2 解法 2:集合 M 的元素为:x= + = (k∈Z),集合 N 的元素为:x= + = 2 4 4 4 2 4 (k∈Z),而 2k+1 为奇数,k+2 为整数,∴M?N,故选 B. [点评] 本题解法从分式的结构出发,运用整数的性质方便地获解.注意若 k 是任意整 数,则 k+m(m 是一个整数)也是任意整数,而 2k+1,2k-1 均为任意奇数,2k 为任意偶数. 8.集合 A={x|0≤x<3 且 x∈N}的真子集的个数是( A.16 C.7 [答案] C [解析] 因为 0≤x<3,x∈N,∴x=0,1,2,即 A={0,1,2},所以 A 的真子集个数为 23-1 =7. 9.(09· 广东文)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系
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) B.2 D.1

)

B.M?N D.M 与 N 的关系不确定

)

B.8 D.4

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的韦恩(Venn)图是(

)

[答案] B [解析] 由 N={x|x2+x=0}={-1,0}得,N?M,选 B. 10.如果集合 A 满足{0,2}?A?{-1,0,1,2},则这样的集合 A 个数为( A.5 C.3 [答案] C [解析] 集合 A 里必含有元素 0 和 2, 且至少含有-1 和 1 中的一个元素, A={0,2,1}, 故 {0,2,-1}或{0,2,1,-1}. 二、填空题 11.设 A={正方形},B={平行四边形},C={四边形},D={矩形},E={多边形}, 则 A、B、C、D、E 之间的关系是________. [答案] A?D?B?C?E [解析] 由各种图形的定义可得. 12.集合 M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},则集合 M 与集合 P 的关系为________. [答案] M?P [解析] P={x|x=a2-4a+5,a∈N*} ={x|x=(a-2)2+1,a∈N*} ∵a∈N* ∴a-2≥-1,且 a-2∈Z,即 a-2∈{-1,0,1,2,?},而 M={x|x=a2+1, a∈N*},∴M?P. 13.用适当的符号填空.(∈,?,?,?,?,?,=) a________{b,a};a________{(a,b)}; {a,b,c}________{a,b};{2,4}________{2,3,4}; ?________{a}. [答案] ∈,?,?,?,? 1 ? ? *14.已知集合 A=?x|x=a+6,a∈Z?,
? ?

)

B.4 D.2

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b 1 B={x|x= - ,b∈Z}, 2 3 c 1 C={x|x= + ,c∈Z}. 2 6 则集合 A,B,C 满足的关系是________(用?,?,=,∈,?,? C). [答案] A?B=C b 1 c 1 [解析] 由 - = + 得 b=c+1, 2 3 2 6 ∴对任意 c∈Z 有 b=c+1∈Z. 对任意 b∈Z,有 c=b-1∈Z, c 1 1 ∴B=C,又当 c=2a 时,有 + =a+ ,a∈Z. 2 6 6 ∴A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系. 15.(09· 北京文)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,那么 k 是 A 的一个“孤立元”. 给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}, S 的 3 个元素构成的所有集合中, 由 不含“孤 立元”的集合共有______个. [答案] 6 [解析] 由题意,要使 k 为非“孤立元”,则对 k∈A 有 k-1∈A.∴k 最小取 2. k-1∈A,k∈A,又 A 中共有三个元素,要使另一元素非“孤立元”,则其必为 k+1. 所以这三个元素为相邻的三个数.∴共有 6 个这样的集合. 三、解答题 16.已知 A={x∈R|x<-1 或 x>5},B={x∈R|a≤x<a+4},若 A 包含 B,求实数 a 的取值范围. [解析] 如图 中的符号连接 A,B,

∵A 包含 B,∴a+4≤-1 或者 a>5. 即 a≤-5 或 a>5. 17.已知 A={x|x<-1 或 x>2},B={x|4x+a<0},当 B?A 时,求实数 a 的取值范围. [解析] ∵A={x|x<-1 或 x>2}, a B={x|4x+a<0}={x|x<- }, 4 a ∵A?B,∴- ≤-1,即 a≥4, 4 所以 a 的取值范围是 a≥4. 18.A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1},a、x∈R,求:
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(1)使 A={2,3,4}的 x 的值; (2)使 2∈B,B?A 成立的 a、x 的值; (3)使 B=C 成立的 a、x 的值. [解析] (1)∵A={2,3,4} ∴x2-5x+9=3 解得 x=2 或 3 (2)若 2∈B,则 x2+ax+a=2 又 B?A,所以 x2-5x+9=3 得 x=2 或 3,将 x=2 或 3 分别代入 x2+ax+a=2 中得 a 2 7 =- 或- 3 4
?x2+ax+a=1① ? (3)若 B=C,则? 2 ? ?x +(a+1)x-3=3②

①-②得:x=a+5 代入①解得 a=-2 或-6 此时 x=3 或-1. *19.已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合 C 是这样一个集合:其各 元素都加 2 后,就变为 A 的一个子集,若各元素都减 2 后,则变为 B 的一个子集,求集合 C. [解析] 由题设条件知 C?{0,2,4,6,7},C?{3,4,5,7,10},∴C?{4,7},∵C≠?,∴C= {4},{7}或{4,7}.

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