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【精品推荐】球面几何-选修3-3-第五讲-球面三角形全等



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A?
A B

全等图形
B?
C?

C

形状、 大小完全相 同的图形是 全等图形.

新课导入
全等是图形的重要性质之一.在欧氏 几何中,我们对全等的研究是从平面三角 形开始的,先讲全等的定义,在讲判定三 角形全等的公理,最后运用三角

形全等证 明一些命题.我们对球面三角形的研究也 遵循同样的思路.

教学目标
知识与能力
? 感知球面全等三角形在现实中的应用. ? 掌握球面三角形全等的判定定理.

? 会利用判定定理研究球面三角形.

过程与方法
? 通过观察 ,了解球面三角形全等与平面三 角形全等的异同点.

? 进一步了解球面三角形在实际生活中的应用.

情感态度与价值观
? 让学生从类比中学习新的知识. ? 认识实际生活中大量存在的现象和规律. ? 培养合作交流意识.

教学重难点
? 认识球面全等三角形. ? 对球面三角形全等判定定理的理解. ? 对判定定理的应用.

类似于平面上研究全等的思路,首先
给出球面上全等的定义.

两个球面三角形全等:两个图形完全相
等,即球面三角形的六个要素——三条边、

三个角分别相等.

注意
由于球面的半径不同,球面的大小也不 一样,所以研究球面三角形的全等问题只能 在同一球面上或者是半径相等的球面上.

下面讨论两个球面三角形全等的判定 1、“边边边”(s.s.s)判定定理 我们知道,如果平面三角形的三条 边对应相等,那么这两个三角形全等.

类似地,我们可以得到:

如果两个球面三角形的 三对边对应相等,则两个球 面三角形全等.

证明:
分析: 由球面△ABC与三面角OABC的对应关系可知,由于球面三角 形的三条边对应相等,所以与球面三 角形对应的两个三面角相等.这时, 如果能够证明这两个三面角中每两个 面所成的二面角也相等,那么就证明 了球面三角形中的角对应相等,也即 两个球面三角形全等.

A

F E B

C

A?

F? E? B?

C?

D

D?

O 图 5-1

O

如图5-1,在两个三面角O-ABC和OA?B?C?中,连结AB,BC,CA,A?B?, B?C?,C?A?, 因为球面△ABC与球面△A?B?C? 的三条边对应相等,即

? ? ' ' ? ? ' A' , ' ' ? ? AB ? A B , BC ? B C , CA ? C
又因等弧上的弦相等, 所以AB=A?B?,BC=B?C?,CA=C?A?. 因为三对面角 ∠AOB=∠A?O?B?,∠BOC=∠B?O?C?, ∠COA=∠C?O?A?.

又因为OA=OB=OC=OA?=OB?=OC?,

所以△AOB≌△A?OB?,△BOC≌△B?OC?,

△COA≌△C?OA?.
所以∠OAB=∠OA?B?,∠OBC=∠OB?C?,

∠OCA=∠OC?A?.
又因为△AOB≌△A?OB?, 所以∠BAC=∠B?A?C?.

在OA和OA?上分别取点D和D?,使 AD=A?D?,再过点D在平面OAB和OAC 上作OA的垂线,分别交AB和AC于点E 和F;同样地,过点D?在平面OA?B?和 OA?C?上作OA?的垂线,分别交A?B?和 A?C?于点E?和F?,容易证明: ∠EDF=∠E?D?F?.

又因为EDF和E?D?F?分别是二面 角B-OA-C和B?-OA?-C?的平面角,所 以这两个二面角相等. 同理可证,另外两对二面角也相等.

由球面三角形的内角与三面角中二面 角的对应关系,可得: 球面△ABC的和球面△A?B?C?的三对 内角对应相等.

所以,球面△ABC≌球面△A?B?C?.

借助三面角这个“脚手架”,我们 还可以证明下面一些球面三角形全等的 判定定理. 2、“边角边”(s.a.s)判定定理 如果两个球面三角形的两对边对 应相等,且它们的夹角也相等,那么 这两个球面三角形全等.

3、“角边角”(a.s.a)判定定理
如果两个球面三角形的两对角对 应相等,且夹边相等,则两个球面三 角形全等.

4、“角角角”(a.a.a)判定定理 在平面上,我们知道,三对角对应 相等的两个三角形不一定全等.也就是 说,平面三角形全等的一个必要条件是 至少有一对边对应相等.在球面上,三 对角对应相等的两个球面三角形是否也 有类似的结论呢?

答案是否定的.我们知道,半径为r的球 面上,
球面△ABC的面积=(A+B+C-π)r2. 因此,若两个球面三角形的三对内角 相等,那么它们的面积一定相等.所以, 若两个球面三角形的三对内角相等(可以 理解为一样),则它们的面积必相等,形 状和大小一样的两个三角形当然全等.

所以,在球面上有两个球面三角 形全等的“角角角(a.a.a)”判定定 理.如果两个球面三角形的三对角对应 相等,则两个球面三角形全等. 下面我们给出它的证明.

分析:由于已经学过三个判定球面三角 形全等的判定定理,我们尝试把球面三角形 中角的关系转化为边的关系,由边的关系判 定球面三角形全等.由于球面三角形与它的 球极三角形之间存在定量的边角关系,因此 我们设法通过构造球面三角形的球极三角形, 实现球面三角形和球极三角形之间边角的转 换,进而证明结论.

证明:设球面△ABC和△DEF的极 对称三角形分别为球面△A?B?C?和 △D?E?F?,且这四个球面三角形的边 长分别为a,b,c;d,e,f;a?,b?, c?;d?,e?,f?.根据球面三角形和球 极三角形之间的边角关系,有:

a?=π-∠A,d?=π-∠D,

b?=π-∠B,e?=π-∠E,
c?=π-∠C,f?=π-∠F. 又因为∠A=∠D,∠B=∠E,∠ C=∠F, 所以a?=d?,b?=e?,c?=f?. 因此,球面△A?B?C?≌球面△D?E?F?.

所以∠A?=∠D?,∠B?=∠E?,∠C?=∠F?.

又根据球面三角形和球极三角形之 间的边角关系,有: a=π-∠A?,d=π-∠D?,

b=π-∠B?,e=π-∠E?,
c=π-∠C?,f=π-∠F?. 所以a=d,b=e,c=f. 因此,球面△ABC≌球面△DEF.

从第四个判定定理可以看出,平面几
何与球面几何有显著不同之处:

1.平面几何中,如果两个三角形的三
个角对应相等,那么两个三角形相似,不 一定全等.

2.球面几何中,在同一球面上,如果两 个球面三角形的三对角对应相等,那么它们 全等. 由1、2知道,在同一个球面上不存在相 似三角形.

课堂小结
球面三角形全等的判定定理:
边边边(s.s.s.)

边角边(s.a.s)
角边角(a.s.a)

角角角(a.a.a)



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