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数学:1.2.3《解三角形应用举例》课件(新人教A版必修5)



新课标人教版课件系列

《高中数学》
必修5

1.2.3《解三角形应用举例》

教学目标
? 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关计算角度的实际问题 ? 2、通过综合训练强化学生的相应能力,让学生有 效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来, 逐步让学生自主发现规律,举一反三

。 ? 3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决 问题的能力,并激发学生的探索精神。 ? 二、教学重点、难点 ? 重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已 知条件和所求角的关系 ? 难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度 的问题

解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念: 在测量时,视线与水平线 所成的角中,视线在水平线 上方的角叫仰角,在水平线 下方的角叫做俯角。如图:

2、方向角:指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角,叫 方向角,如图

测量问题:
1、水平距离的测量

①两点间不能到达, 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小,由余弦定理,
AB2 ? CA2 ? CB2 ? 2CA? cos C 可求得AB的长。 CB

②两点能相互看到,但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小, 由三角形的内角和,求出角A然后 由正弦定理,
AB BC ? sin C sin A可求边AB的长。

③两点都不能到达 第一步:在△ACD中,测角∠DAC,

由正弦定理

AC DC ? sin ?ADC sin ?DAC

求出AC的长; 第二步:在△BCD中求出角∠DBC, 由正弦定理
BC DC ? sin ?BDC sin ?DBC

求出BC的长;

第三步:在△ABC中,由余弦定理
AB2 ? CA2 ? CB2 ? 2CA? cos C 求得AB的长。 CB

例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离,在岸边 选取相距 100 3 米的C、D两地,并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°,A、B、C、 D四点在同一平面上,求A、B两地的距离。
解:在△ACD中, ∠DAC=180°-(∠ACD+∠ADC) =180°-(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中, ∠CBD=180°-(∠BCD+∠BDC) =180°-(45°+45°+30°)=60°

BC DC 由正弦定理 sin ?BDC ? sin ?DBC , 得

DC sin ?BDC 100 3 sin 75? BC ? ? ? 200sin 75? sin ?DBC sin 60?

在△ABC中由余弦定理, AB2 ? CA2 ? CB2 ? 2CA? cos C CB ? (100 3) 2 ? (200sin 75?) 2

?2 ? 100 3 ? 200sin 75? cos 75? ? 5 ? 1002
∴ AB ? 100 5

所求A、B两地间的距离为100 5 米。

测量垂直高度 1、底部可以到达的;

测量出角C和BC的长度,解直 角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的 测量边CD,测量∠C和∠ADB,

CD AB ? cot C ? cot ?ADB

例题2:在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A 的俯 角 ? ? 60? ,在塔底 C 处测得点 A的俯角 ? ? 45?, 已知铁塔BC 部分高 32 米,求山高CD 。
解:在△ABC中,∠ABC=30°, ∠ACB =135°, ∴∠CAB =180°-(∠ACB+∠ABC) =180°-(135°+30°)=15° 又BC=32, BC AC ? 由正弦定理 ,
sin ?BAC sin ?ABC

BC sin ?ABC 32sin 30? 16 ? ? 得 AC ? sin ?BAC sin15? sin15?

在等腰Rt△ACD中,故

2 2 16 8 2 CD ? AC ? ? ? ? 16( 3 ? 1) 2 2 sin15? sin15?
∴山的高度为16( 3 ? 1) 米。

例3 杆OA、OB所受的 力(精确到0.1)。
700 500

例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测,台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处,并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域,半径为120km。问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到 0.1h)?

解应用题的一般步骤是:
1、分析:理解题意,画出示意图 2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这 些三子角形,求得数学模型的解。 4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而 得出实际问题的解。

实际问题→数学问题(三角形) →数学问题的解(解三角形)→实际问题的解



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