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南京市2011-2012学年度第一学期高一期末调研


南京市 2011-2012 学年度第一学期高一期末调研数学卷 (100 分) 1.已知集合 A={-1,0,1,2},B={-2,0,2,4},则 A∩B= 2.计算:sin210° 的值为 . . . .

2012.01

3.函数 f(x)=log2(x+1)的定义域为 4.计算:2lg 2+lg5 的值为

5.已知 a=30.2,b=0.32,c=log0.32,则 a,b,c 的大小关系为
?2-x,x<1, 6.已知函数 f(x)=? 2 则 f(f(0))的值为 ?x +x,x≥1,

.(用“<”连结)

. .(写出点的坐标)

7.对于任意的 a∈(1,+∞),函数 y=loga(x-2)+1 的图象恒过点

8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+?)(其中 A>0,ω>0,-π<?≤π)的部分图象如图所示, y 5π 7π 与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 , ,则函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴 24 8 之间的距离是 .
1 O -1 第 8 题图
5π 24 7π 8

x

→ → 9.在△ABC 中,已知 D 是 BC 上的点,且 CD=2BD.设 AB =a, AC =b, → 则 AD = .(用 a,b 表示)
B

A

π π 10.函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]的最小值为 3 2

. .

D 第 9 题图

C

11.若函数 y=|log2x|在区间(0,a]上单调递减,则实数 a 的取值范围是

1 12.将函数 y=sinx 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 ,得到函数 y=f(x)的图象,再将 2 π 函数 y=f(x)的图象沿着 x 轴的正方向平移 个单位长度, 得到函数 y=g(x)的图象, 则 g(x)的解析式 6




13.给出下列四个函数:①y=x+sinx;②y=x2-cosx;③y=2x-2 x;④y=ex+lnx,其中既是奇函数, 又在区间(0,1)上单调的函数是 .(写出所有满足条件的函数的序号)

14.设定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意的 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的 x∈(0,+∞), 都有 f(x)>0,且 f(1)=2.若对任意的 x∈[-3,3]都有 f(x)≤a,则实数 a 的取值范围为 .

15.设向量 a=(6,2),b=(-3,k).(1)当 a⊥b 时,求实数 k 的值;(2)当 a∥b 时,求实数 k 的值.

1

sinα+cosα 3π 16.已知 tanα=3.(1)求 的值;(2)若 π<α< ,求 cosα-sinα 的值. 2 sinα-cosα

17.已知向量 e1,e2 的夹角为 120o,且|e1|=2,|e2|=3.若 a=2e1+e2,b=e1-2e2, (1)求 a+2b;(用 e1,e2 表示);(2)求|a|的值.

18.已知函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3. (1)求 f(-1)的值;(2)求函数 f(x)的表达式;(3)求证:方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解.

19.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 0∶00 5.0 3∶00 8.0 6∶00 5.0 9∶00 2.0 12∶00 5.0 15∶00 8.0 18∶00 5.0 21∶00 2.0 24∶00 5.0

(1)若该港口的水深 y(m)和时刻 t(0≤t≤24)的关系可用函数 y=Asin(ωt)+b(其中 A>0,ω>0,b∈R) 来近似描述,求 A,ω,b 的值; (2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m, 安全条例规定至少要有 2.5m 的安全间隙(船底与 海底的距离),试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口?

20.设函数 f(x)=x2-2tx+2,其中 t∈R. (1)若 t=1,求函数 f(x)在区间[0,4]上的取值范围; (2)若 t=1,且对任意的 x∈[a,a+2],都有 f(x)≤5,求实数 a 的取值范围. (3)若对任意的 x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求 t 的取值范围.

2

南京市 2011-2012 学年度第一学期高一期末调研 数学参考答案及评分标准卷 2012.01 说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. 1.{0,2} 6.6 11.(0,1] 1 2.- 2 7.(3,1) π 12.g(x)=sin(2x- ) 3 3.(-1,+∞) 2π 8. 3 13.①③ 4.1 2 1 9. a+ b 3 3 5.c<b<a 1 10. 2

14.[6,+∞).

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解 因为 a=(6,2),b=(-3,k),所以 (1)当 a⊥b 时,a·b=0,即 6×(-3)+2k=0,解得 k=9. (2)当 a∥b 时,6k=2×(-3),解得 k=-1. ????????????4 分 ????????????8 分

16.解 因为 tanα=3,所以

sinα =3,即 sinα=3cosα,且 cosα≠0. ????????????2 分 cosα ????????????6 分

sinα+cosα 3cosα+cosα (1) = =2. sinα-cosα 3cosα-cosα 1 (2)因为 sin2α+cos2α=1,所以 9cos2α+cos2α=1,即 cos2α= . 10 3π 10 又 π<α< ,所以 cosα<0,从而 cosα=- , 2 10 所以 cosα-sinα=cosα-3cosα=-2cosα= 10 . 5

???????????10 分

17.解 (1)因为 a=2e1+e2,b=e1-2e2,所以 a+2b=2e1+e2+2(e1-2e2)=4e1-3e2. (2)因为向量 e1,e2 的夹角为 120o,且|e1|=2,|e2|=3,所以

????????????4 分

2 2 o 2 a2=(2e1+e2)2=4e2 1 +4e1·e2+e 2 =4×2 +4×2×3cos120 +3 =13, 所以 |a|= 13.

???8 分

???????????10 分

18.解 (1)因为函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数,所以对任意的 x∈R,都有 f(-x)=-f(x). 所以 f(-1)=-f(1). 因为当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3,所以 f(1)=log21+1-3=-2.
3

所以 f(-1)=-f(1)=2. ????????????3 分 (2)当 x=0 时,f(0)=f(-0)=-f(0),解得 f(0)=0; 当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3. 所以-f(x)=log2(-x)-x-3,从而 f(x)=-log2(-x)+x+3. 所以

? ?-log2(-x)+x+3,x<0, f(x)=?0,x=0, ? ?log2x+x-3,x>0.

????????????6 分

(3)因为 f(2)=log22+2-3=0,所以方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有解 x=2. 又方程 f(x)=0 可化为 log2x=3-x. 设函数 g(x)=log2x,h(x)=3-x. 由于 g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,h(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数, 所以,方程 g(x)=h(x) 在区间(0,+∞)上只有一个解. 所以,方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解. ??????10 分 说明:指出有解 2 分,指出单调性 2 分. 2π π 19.解 (1)由题知,A=3,b=5,T=12,所以 ω= = . T 6 π (2)由(1)得 y=3sin( t)+5(0≤x≤24) . 6 货船需要的安全水深为 4+2.5=6.5(m),所以当 y≥6.5 时,货船就可以进港. π π 1 方法一 由 3sin( t)+5≥6.5,得 sin( t)≥ . 6 6 2 π π π 5π 13π π 17π 因为 0≤ t≤4π,所以 ≤ t≤ ,或 ≤ t≤ , 6 6 6 6 6 6 6 解得 1≤t≤5,或 13≤t≤17. 答 该货船可以在 1∶00~5∶00 和 13∶00~17∶00 进入港口. ???????????10 分 π π 1 方法二 由 3sin( t)+5=6.5,得 sin( t)= . 6 6 2 如图,在区间[0,12]内,函数的图象与直线 y=6.5 有两个交点 A,B, y
8 6 4 2 O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 t π y=3sin( t)+5 6

???????????4 分

A

B

C

D

π π π π 因此 tA= 或 π- tB= ,解得 tA=1,tB=5. 6 6 6 6 在区间[12,24]内,设函数的图象与直线 y=6.5 有两个交点 C,D. 由函数的周期性,易得 tC=12+1=13,tD=12+5=17. 答 该货船可以在 1∶00~5∶00 和 13∶00~17∶00 进入港口. ??????????10 分 说明:缺答扣 1 分. 20.解 因为 f(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2,所以 f(x)在区间(-∞,t]上单调减,在区间[t,∞)上单调 增,且对任意的 x∈R,都有 f(t+x)=f(t-x), (1)若 t=1,则 f(x)=(x-1)2+1. ①当 x∈[0,1]时.f(x)单调减,从而最大值 f(0)=2,最小值 f(1)=1.
4

所以 f(x)的取值范围为[1,2]; ②当 x∈[1,4]时.f(x)单调增,从而最大值 f(4)=10,最小值 f(1)=1. 所以 f(x)的取值范围为[1,10]; 所以 f(x)在区间[0,4]上的取值范围为[1,10]. ???????????3 分 (2)“对任意的 x∈[a,a+2],都有 f(x)≤5”等价于“在区间[a,a+2]上,[f(x)]max≤5” . 2 若 t=1,则 f(x)=(x-1) +1, 所以 f(x)在区间(-∞,1]上单调减,在区间[1,∞)上单调增. 当 1≤a+1,即 a≥0 时, 由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5,得 -3≤a≤1, 从而 0≤a≤1. 当 1>a+1,即 a<0 时,由[f(x)]max=f(a)=(a-1)2+1≤5,得 -1≤a≤3, 从而 -1≤a<0. 综上,a 的取值范围为区间[-1,1]. ???????????6 分 (3)设函数 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 M,最小值为 m, 所以“对任意的 x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8”等价于“M-m≤8” . ①当 t≤0 时,M=f(4)=18-8t,m=f(0)=2. 由 M-m=18-8t-2=16-8t≤8,得 t≥1. 从而 t∈?. ②当 0<t≤2 时,M=f(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2. 由 M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8,得 4-2 2≤t≤4+2 2. 从而 4-2 2≤t≤2. ③当 2<t≤4 时,M=f(0)=2,m=f(t)=2-t2. 由 M-m=2-(2-t2)=t2≤8,得-2 2≤t≤2 2. 从而 2<t≤2 2. ④当 t>4 时,M=f(0)=2,m=f(4)=18-8t. 由 M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8,得 t≤3. 从而 t∈?. 综上,a 的取值范围为区间[4-2 2,2 2]. ???????????10 分

5

南京市 2011-2012 学年度第一学期高一期末调研 答卷纸 2012.01 题号 得分 1-14 15 16 17 18 19 20 总分 核分人 复核人

得分 评卷人

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答 卷 纸 相应位 . . . ... 置 上. .

1. 4. 7. 10. 13.

2. 5. 8. 11. 14.

3. 6. 9. 12.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答 卷纸 指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明过 . .. ..... 程或演算步骤. 得分 评卷人 15. (本小题满分 8 分)

得分 评卷人

16. (本小题满分 10 分)

6

7

得分 评卷人

17.(本小题满分 10 分)

8

得分 评卷人

18. (本小题满分 10 分)

9

得分 评卷人

19.(本小题满分 10 分)

10

得分 评卷人 20.(本小题满分 10 分)

11


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