第一章 计数原理 1．1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第一课时 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题 1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车有 2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？ （2）发
现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第 1 类方案中有 么完成这件事共有
m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那
N ?m?n
种不同的方法. （3）知识应用 例 1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此 符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中 有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，在第 3 类方 案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有 n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳： 完成一件事情， 有 n 类办法， 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法， 在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有
N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn
种不同的方法. 理解分类加法计数原理： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用 任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 例 2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 第三类, 条 第二类, 条 条 m2 = 1×2 = 2 条 m3 = 1×2 = 2
所以, 根据加法原理, 从顶点 A 到顶点 C1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6
练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来 完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线 有＿条． 第二课时 2 分步乘法计数原理 （1）提出问题 问题 2.1：用前 6 个大写英文字母和 1—9 九个阿拉伯数字，以 A1 , 多少个不同的号码？ 用列举法可以列出所有可能的号码：
A2 ,?， B1 , B2 ,?的方式给教室里的座位编号，总共能编出
1
我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同， 因此共有 6×9 = 54 个不同的号码． （2）发现新知 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有
那么完成这件事共有 种不同的方法. （3）知识应用 例 1.设某班有男生 30 名，女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第 2 步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同选择； 第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有 30×24 =720 种不同的选法． 一般归纳： 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法??做第 n 步有 mn 种不同的方 法.那么完成这件事共有
N ? m?n
m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法.
N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn
种不同的方法. 理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事， 只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独 立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要 分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜 色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成, 第一步, 第三步, m1 = 3 m3 = 1 种, 种, 第二步, 第四步, m2 = 2 m4 = 1 种, 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 3 第三课时 综合应用 例 1. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的体育书. 2
①从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本书” ，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第 1、2、3 层都取 后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理. ③要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各 1 本，再要考虑取 1 本计算机 书或取 1 本文艺书都只完成了这 件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解： (1) 从书架上任取 1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是
N ? m1 ? m2 ? m3 =4+3+2=9;
( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步 从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
N ? m1 ? m2 ? m3 =4×3×2=24 . （3） N ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 26 。
例 2. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=3×2=6 . 6 种挂法可以表示如下：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的 是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个 步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 例 3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法， 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字， 并且 3 个字母必须合成一组出现， 3 个数字也必须合成 一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 分析：按照新规定，牌照可以分为 2 类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分 6 个步骤． 解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字： 第 1 步，从 26 个字母中选 1 个，放在首位，有 26 种选法； 第 2 步，从剩下的 25 个字母中选 1 个，放在第 2 位，有 25 种选法； 第 3 步，从剩下的 24 个字母中选 1 个，放在第 3 位，有 24 种选法； 第 4 步，从 10 个数字中选 1 个，放在第 4 位，有 10 种选法； 第 5 步，从剩下的 9 个数字中选 1 个，放在第 5 位，有 9 种选法； 第 6 步，从剩下的 8 个字母中选 1 个，放在第 6 位，有 8 种选法． 根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） . 同理，字母组合在右的牌照也有 11232 000 个．所以，共能给 11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） .辆汽车上牌照． 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不 漏” ．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整” ― 完成了所有步骤，恰 好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘， 得到总数． 3
练习 1．乘积 （a1 ? a2
? a3 )(b1 ? b2 ? b3 )(c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ) 展开后共有多少项？
2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那 么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？ 4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？ 第四课时 例 1.给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后两个要求用数字 1～9．问最多可以给多少 个程序命名？ 分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第 2 步，选中间字符；第 3 步，选最后一个字符．而首字 符又可以分为两类． 解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有 7 + 6 = 13 种选法． 再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有 13×9×9 = = 1053 个不同的名称，即最多可以给 1053 个程序命名． 例 2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一 个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据． 总共有 4 种不同的碱基，分别用 A,C,G,U 表示．在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基 与其他位置上的碱基无关．假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？
分析：用图 1. 1 一 2 来表示由 100 个碱基组成的长链，这时我们共有 100 个位置，每个位置都可以从 A , C , G , U 中任选一 个来占据．
解：100 个碱基组成的长链共有 100 个位置，如图 1 . 1 一 2 所示．从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一 个填人，每个位置有 4 种填充方法．根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有
4 ? 4?? ??? ? 4 ? 4100 （个） ? ?
100
例 3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了 每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个 字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成．问： (1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了 6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个 字节表示？ 分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1 两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法 计数原理求解本题． 解：(1）用图 1.1 一 3 来表示一个字节．
4
图 1 . 1 一 3 一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 2 =256 个 不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用 2 个字节能够表示多少个字符．前一个字节 有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方法．根据分步乘法计数原理，2 个字节可以表示 256×256 = 65536 个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763．所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示． 例 4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路 线） ，以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图 1.1 一 4，它是一个具有许多执行路径的程 序模块．问：这个程序模块有多少条执行路径？ 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
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图 1.1 一 4 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第 1 步是从开始执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到结束．而第 1 步可 由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第 2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成．因此，分析一条指令在整个模块的执行路 径需要用到两个计数原理． 解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有 18 + 45 + 28 = 91 （条） ; 子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有 38 + 43 = 81 （条） . 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有 91×81 = 7 371（条）. 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块．这样， 他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常， 只需要测试程序第 1 步中的各个子模块和第 2 步中的各个子模块之间的信息交流是否 正常，需要的测试次数为 3×2=6 . 如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个模块的次 数就变为 172 + 6=178（次）. 显然，178 与 7371 的差距是非常大的． 5
巩固练习： 1.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲 地到丙地共有多少种不同的走法？ 2.书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书． （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ 3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种 ,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同 涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
王新敞
奎屯 新疆
② ① ③ 图一
④
① ③ ② 图二 ④ ②
① ③ ④
图三
若变为图二,图三呢? 5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性 有多少种？ 6． （2007 年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ C ） A．5 部分 教学反思： 课堂小结 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、 组合问题的基本思想. 2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原 理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事. 3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点： 分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是 不同的方法，即"不重不漏". 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这 n 个步骤，这件事才算完成. 分配问题 把一些元素分给另一些元�