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2.3平面向量基本定理及坐标表示



2.3平面向量基本定 理

(1)小明从A到B,再从B到C,则他两次的位移之和是:

??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC

三角形法则 首尾相接,由首至尾
A

D

C

??? ? ??? ? ??? ? AB ? AD

? AC 平行四边形法则
共起点 (2)向量共线定理:

B

如果有一个实数 ?,使b ? ? a(a ? 0), 那么 b与a是共线向量;

2011 年 11 月 3 日 1 时 43 分,神舟八号与天宫一号第 一次交会对接圆满成功,中国成为世界第三个独 立掌握无人和 1 载人空间对接技术的国家。承担 “神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发 射任务的是“长征二号F”运载火箭 。

v

v

v2
v ? v1 ? v2

依照速度的分解,平面内任一向量a可 作怎样的分解呢?

给定平面内两个不共线的向量e1, e2,可 表示平面内任一向量a吗?

e2

a
e1

e2
平行四边形法则

a ? e1 ? e2

e1

给定平面内两个不共线的向量e1, e2, 可表示该平面内任一向量a吗?
M

? ? e1

? a

?? ? e2

?? e1
O

A

? a
?? ? e2
N

C

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

B

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

给定平面内两个不共线的向量e1, e2, 可表示该平面内任一向量a吗?
N A

? ? e1

?? ? e2

? a

? ? e1
O

B

?? ? e2

? a

C

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON M ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

? ? e1

? a

?? ? e2

? a

若 a ? 0, 取 ?1 ? ?2 ? 0, 使 0 ? ? e ? ? e 1 1 2 2



a

与 e1 使

(e2 )

共线,则 ?2 ? 0 (?1 ? 0),

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

(1)平面向量基本定理

唯 如果 e1 , e2 , 是同一平面内两个不共线向量, 存
那么对于这一平面的任意向量 a, 有且只有 存在 一对实数, ?1 , ?2 ,

在 一 性 性

使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

( 2 ) 基底:把不共线的向量 e1 , e2 叫做这一平面内 思考: 上述表达式中的 ?1, ?2 是否唯一? 所有向量的一组基底. ( 3 )正交分解: 一个平面向量用一组基底 e1 , e2 , 表示成: a ? ?1 e1 ? ?2 e2 称它为向量的分解. 当 e1 ,

e2 , 互相垂直时,称为向量的正交分解.

(1)一个平面内,可作为基底的向量有 无数

对。

(1)(3)

1、若e1, e2是表示平面内所有向量 的一组基底, 则下面的四组向量中不 能作为基底的是 (2)
(1)e1 ? e2和e1 ? e2; (3)e1 ? 3e2和e2 ? 3e1; (2)3e1 ? 2e2和4e2 ? 6e1; (4)e2和e1 ? e2;

2、已知?ABC中,D是BC的中点,则用AB, AC 表示向量AD ?
B A

D

C

向量的夹角

则?AOB ? ?

? ? ??? ? ? ??? ? ? 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OB ? b , ? ?

(0? ? ? ? 180? )
B

叫做向量 a 和

b

的夹角

b
O

? b
?

注意:两向量同起点的

a

? a

A

? O b B ?
? ?0

? a

? ? a 与 b 同向

? O A B b ? ? 180?

? a
A

? ? a 与 b 反向

? ? 记作 a ? b

B ? b ? ? a O ? A ? 90 ? ?? a 与 b 垂直,

平面向量的坐标表示

如图,在平面直角坐标系中 ,分别取与x轴、y轴正方向 ?? j 作基底. 同向的两个单位向量 i、

? 平面内的任一向量 a , ? ? ? 有且只有一对实数x,y,使 a ? xi ? y j ? 则称(x,y)是向量 a的坐标
? 记作: a ? ( x, y)

成立

? a

y

? a

? j
O

? i

x

平面向量的坐标表示 注意: ? (1)与 a 相等的向量的坐标均为(x, y)
? ? ? (2) i ? i ? 0 j ? (1, 0) ? 0 ? (0, 0) ? ? ? j ? 0i ? j ? (0,1)

y

? ? a
j
O

? a
A(x, y)

(3)两个向量

??? ? ? (4)如图以原点 O为起点作 OA ? a ,点A ? ? 的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 (5)区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同 ? (6) 2 2 a ? x ?y

? ? 相等的充要条件: a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

? ? a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 )

? i

x

平面向量的坐标表示 并求它们的坐标. 解:由图可知

? ? j 例1.如图,用基底 i ,

? ??? ? 分别表示向量a, b, c, d
y

? ?  a ? (2,3) 同理, ? ? ? b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3) ? ? ? c ? ?2i ? 3 j ? (?2, ?3)
? ? ? ? d ? 2i ? 3 j ? (2, ?3)

? ???? ???? ? ? ? a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j

? b
? j

A2

? a
A1 x

A 1

? c

? Oi

? ? d

例2.已 知i , j是 两 个 不 共 线 向 量 , 若 AB ? 2i ? 3 j , CB ? ? i ? j , CD ? 3i ? 2 j , 那 么 当 实 数 ?为 何 值 时 , A , B , D三 点 共 线 ?

1、平面向量基本定理 2、对基本定理的理解

(1)基底不唯一,关键是不共线 (2)实数对 ?1、?2 的存在性和唯一性 3、应用定理的关键是掌握向量的加 法法则和向量共线定理



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