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正态分布



正态分布 (normal distribution)

一.概念
正态分布又称高斯(Gaussian distribution), 是统计学中一种最常见、最重要的连续型变量的对 称分布,医学资料中有许多指标如身高、体重、红 细胞数、血红蛋白、收缩压等频数分布都呈正态分 布。

四、正态分布 (Normal Distributi

on)(P 组段 频数 频率(%) 累计频数 累计频率(%) 69)
(1) 6~ 8~ (2) 1 3 (3) 0.83 2.50 (4) 1 4 (5) 0.83 3.33

表1 120名正常成年男子血清铁含量频率分布

10~
12~

6
8

5.00
6.67

10
18

8.33
15.00

14~
16~ 18~ 20~ 22~ 24~ 26~ 28~30 合计

12
20 27 18 12 8 4 1 120

10.00
16.67 22.50 15.00 10.00 6.67 3.33 0.83 100

30
50 77 95 107 115 119 120

25.00
41.67 64.17 79.17 89.17 95.83 99.17 100.00

12 10
频率密度( % )

8 6 4 2 0 7
图1

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
血清铁(μ mol/L)
120例健康成年男子血清铁含量(μmol/L)分布

正态曲线(Normal cure):是一条高峰位于中央,两侧逐渐下 降并完全对称,曲线两端永远不与横轴相交的钟形曲线。

二、正态曲线(normal curve ) f(X)
图形特点: 1. 钟型; 2. 中间高; 3. 两头低; 4. 左右对称; 5. 最高处对应于X轴的值为 均数; 6. 标准差决定曲线的形状; X 7. 曲线下面积为1(面积等 于概率); 8. 拐点 m ? ?

m

三、数学形式 正态分布密度函数:

1 f (X ) ? ? 2?

e

( x ? m ) ?
2

2

?

2

( ?? ? X ? ??)

其中是μ 均数,σ 是标准差。记N (μ ,σ 2)

正态分布的特殊形式:标准正态分布N (0 ,1);
即μ =0,σ =1时,z分布、u分布。

正态分布曲线的理论特征:
(1)在X=μ处曲线最高,f(X=μ)为最大值。

(2)以X= μ为中心,μ左右X值对称性减少。
(3)μ 、σ决定 正态分布曲线位置和形状

固定σ ,随μ 不同,曲线位置不同,称μ为位置参数。
固定μ ,σ越大,曲线形状不同, 称σ为形状参数。

图9 正态分布参数位置变化示意图

图10 正态分布变异度不同变化示意图

0.6 0.5

f (X )

N ( ?1,0.8 )
2

0.4 0.3

N (0,1 )
N (1,1.2 )
2

2

0.2 位置参数μ决定曲线的位置,形态参数 σ决定曲线的形态 0.1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

4

X

3四、正态曲线下面积(概率)的分布规律
横轴上、曲线下的面积为1。 横轴上、曲线下对称于μ的面积相等。

3.正态曲线下面积(概率)的分布规律

?
?

m ??

??

f ( x) ? 0.1587
f ( x) ? 0.025

P(m ? ? ? x ? m ? ? ) ? 0.68
P(m ? 1.96? ? x ? m ? 1.96? ) ? 0.95

m ?1.96?

??

?

m ? 2.58?

??

f ( x) ? 0.005 P(m ? 2.58? ? x ? m ? 2.58? ) ? 0.99

正态分布 μ±σ μ±1.96σ μ±2.58σ

面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%

标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution)的两个 参数为:μ =0,σ =1 记为 N(0,1)

一般正态分布为一个分布族 N (m , ?2) ;标准正态分布只 有一个 N (0,1) ;

标准正态曲线(u曲线)下面积 2 f(X) u ? X 1 2 ? ( u) ? e dX ? -∞ u 2? ??
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

-4

-3

-2

-1

0 X

1

2

3

4

附表(标准正态分布 左侧曲线下面积)就 是根据此公式和图形 制定的

曲线下面积分布规律
查附表
68.27%

? (?1.96) ? P ( u ? ?1.96) ? ?
1 1.96 2.58

95.00% 99.00%
-2.58 -1.96

-1

0

? (1.96) ? P ( u ? 1.96) ? ?
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%

标准正态分布 -1~ 1 -1.96~1.96 -2.58~2.58

曲线下面积分布规律
68.27% 68.27%

95.00% 99.00%
-2.58 -1.96

95.00% 99.00% 1 1.96 2.58 μ-2.58σ μ-1.96σ
μ-σ μ μ+σ μ+1.96σ μ+2.58σ

-1

0

标准正态分布 -1~ 1 -1.96~1.96 -2.58~2.58

正态分布 面积或概率 68.27% μ±σ 95.00% μ±1.96σ 99.00% μ±2.58σ

?

对一般的正态分布,即某指标X~N(μ,σ2), 则

N(μ, σ2)→u=

x?m

?

~ N(0,1)

经过标准化转换,就可以利用标准正太分布求出
原始变量X有关的概率值
?
?

μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
-1.96<u<1.96的面积为0.95

例如成年男子红细胞数近似服从正太分布,

x ~ N ( 4.78,0.38 ) , 现想知道在4x1012/L以下
所占的比例。

2

4 ? 4.78 u? ? ?2.05 0.38
查附表1得:

? ( ?2.05) ? 0.0202
表明成年男子的红细胞数低于4x1012/L的人约占总 体的2.02%.

五. 正态分布的应用 1.许多医学指标服从正态分布或近似正 态分布,如同性别、同年龄儿童的身高, 同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白量 等,及实验中的误差。

2. 估计医学参考值范围 医学正常值范围
定义:又称参考值范围,是指特定正常人群中, 大多数人某一项的解剖、生理、生化等各种数据 的波动范围。习惯上是确定包括95%的人的界值。

单双侧: 根据指标的实际用途,有的指 标有上下界值,过高过低均属异常;某

些指标过高为异常,只需确定上限;某
些指标过低为异常,只需确定下限。

估计的方法:
1、正态分布法(正态分布)

2、百分位数法(任何分布)

(1)正态分布法 x ? u ? ? s
?应用条件:正态分布或近似正态分布资料

?特点:结果稳定,所需样本量不大
计算 95% 正常值(医学参考值)范围公式:

( x ? 1.96 s, x ? 1.96 s ) 双侧:
单下: x ? 1.645 s

即 x ? 1.96 s

单上: x ? 1.645 s

例 120名健康成年男性农民舒张压的均数为

10.1kPa,标准差为0.93kPa,求舒张压的双侧95% 正常值范围。
10.1±1.96×0.93 即8.28~11.92 kPa

(2)百分位数法
?

?

应用条件 :任何分布,特别是偏态分布资料 所需样本量较大 计算公式: 双侧界值:P2.5 ~ P97.5 单侧上界:P95 单侧下界:P5 630名正常女性血清甘油三酯含量的资料

?

注意
95% 参考范围( reference range )或正常 范围( normal range )仅仅告知健康者中 95% 的人测定值在此范围之内,并非表示凡在此 范围之内皆健康,也并非表示凡在此范围之 外皆不健康,所以不可将之作为诊断标准。

3 .正态分布是许多统计方法的理论基础,如后

面要讲的t检验、方差分析、相关回归等,t分布
、二项分布、 Poisson 分布的极限分布也是正态

分布。

4.估计频数分布(理论频数)

出生体重低于2500克为低体重儿。若由某项研究 得某地婴儿出生体重均数为 3200 克,标准差为 350克,估计该地当年低体重儿所占的比例。

记 x 为当年该地婴儿出生体重,则 x 服从正态分布 N(3200,3502) P(x<2500) 2500 ? 3200 ? p( ) ? p(u ? ?2) ? ? (?2) 350 查标准正态分布界值表 Φ(-2)=0.0228 即估计该地当年低体重儿所占的比例为2.28% 如果当地每年婴儿出生人数约为……,那么……

注 意 事 项
1.均数与标准差结合能够完整地描述一个正态分布。对
任何参数的正态分布,都可以通过一个标准变换转化成标准 正态分布。通过标准正态分布,可以很容易地确定其数值出

现在任意指定范围内的概率。
2.医学参考值范围指“正常参照人群”的解剖、生理、 生化、免疫及组织代谢产物的含量等各种数据的波动范围。

主要用作判断某项指标正常与异常的参考,而非诊断疾病的
标准。 3.参考值范围估计的方法有多种,其中最基本的有正态 分布法和百分位数法。正态法的优点是结果较稳定,但对资 料要求严格;百分位数法可用于任何分布类型的资料,但要 求大样本。

4.医学参考值范围应结合专业知识、研究目的、指标

性质、数据分布等。实际中最好结合正常人和病人的数据
分布特点,权衡假阳性和假阴性的比例,选择一个适当的 百分数范围,最常用的界限是95%。

减少假阴性(用于初筛),范围取小(90%,80%)
减少假阳性(帮助确诊),范围取大(95%,99%)

End!



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