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2014高三数学大一轮复习学案:3.7 正弦定理、余弦定理的应用



第七节

正弦定理、 余弦定理的应用

∠CAB=105°, 则 A, B 两点的距离为( A.50 2 m B.50 m C.25 m D.25 2 m

)

【考试要求】 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题. 【知识要点】 1.仰角和俯角:在视线和水平

线所成的角中,视线在水 平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(①).

3.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯 角分别是 30°,60°,如图所示则塔高 CB 为( A. C. 400 400 m B. 3 m 3 3 200 200 3 m D. m 3 3 )

4.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标 C,若∠CAB 2.方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平 角,如 B 点的方位角为 α ,(如图②). 3.方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) = 75 °,∠ CBA = 60 °,则 A , C 两点之间的距离是 ________千米. 5.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则 B,C 间的距离 是________海里. 【考点讲评】 考向一 测量距离问题 北偏东 a 即由指北方向顺时针旋转 a 到达目标方向; 北偏西 a 即由指北方向逆时针旋转 a 到达目标方向; 南偏西等其他方向角类似. 4.坡度 (1) 定义: 坡面与水平面所成的二面角的度数(如 图④,角 θ 为坡角). (2)坡比:坡面的垂直高度与水 平长度之比(如图④,i 为坡比). 5.解三角形应用题的一般步骤 (1)审题,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清 量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题化成三角形模型; (3)选择正弦定理或余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题, 注意实际问题中的单 位、近似计算要求. 【课前自测】 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°, 则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° ) B.北偏西 10°
0 0 0 0

例 1: 郑州市某广场有一块不规则的 绿地如图所示,城建部门欲在该地 上建造一个底座为三角形的环境标 志,小李、小王设计的底座形状分 别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用 最低(请说明理由).

C.南偏东 10° D.南偏西 10° 2.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同 侧选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,
1

变式训练 1. 如图, 为了计算河岸边 两景点 B 与 C 的距离,由于地形的 限制,需要在岸上选取 A 和 D 两个 测量点, 现测得 AD⊥CD, AD=100 m,

变式训练 2.某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前 进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最 大仰角为 30°,求塔高.

AB=140 m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点 B
与 C 之间的距离(假设 A,B,C,D 在同一平面内,测量 结果保留整数; 参考数据: 2=1.414, 3=1.732, 5 =2.236).

规律总结“ (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、 俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯 角)是一个关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时 研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一 个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. 规律总结:(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确 定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有 未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选 择更便于计算的定理. 考向二 测量高度问题 例 2 :某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射 型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于 同一水平面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点

A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地听到弹射
2 声音的时间比 B 地晚 秒.在 A 地测得该仪器至最高点 17

H 时的仰角为 30°, 求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音
的传播速度为 340 米/秒)

2

考向三 测量角度方向问题 例 3:已知岛 A 南偏西 38°方向,距岛 A 3 海里的 B 处 有一艘缉私艇. 岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/小时 的速度向岛北偏西 22°方向行驶, 问缉私艇朝何方向以 多大速度行驶,恰好用 0.5 小时能截住该走私船? 5 3 3 3? ? ?参考数据:sin 38°= ,sin 22°= ?. 14 14 ? ?

规律总结:1.测量角度,首先应明确方位角,方向角的 含义. 2.求角的大小,在三角形中先求出其函数值或者证明 某些线段的位置关系(平行、垂直)也可确定角度. 【课后检测】 1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50° , 且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70° ,且到 A 的距离 为 3,则 B、C 间的距离为( A. 16 C. 18 ) B. 17 D. 19

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测 量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的 变式训练 3.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方 向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里 /时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同 时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙, 刚好用 2 小时追上,此时到达 C 处. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B, 在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° , 则水柱的高度是( A.50 m C.120 m ) B.100 m D.150 m

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 C.± 25 )

7 B.- 25 24 D. 25

4.在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,其中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+ sin2C,则角 A 的取值范围为( π? A.? ?0,2? π π? C.? ?6,3?
3

) π π? B.? ?4,2? π π? D.? ?3,2?

5.一艘海轮从 A 处出发,以每小 时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方 向直线航行,30 分钟后到达 B 处, 在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东 偏南 20° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那 么 B、C 两点间的距离是( A.10 2 海里 C.20 2 海里 6 .如图,飞机的航线和山 顶在同一个铅垂面内,若飞 机的高度为海拔 18 km,速 度为 1 000 km/h,飞行员先 看到山顶的俯角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯 角为 75° ,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( A.11.4 C.6.5 B.6.6 D.5.6 ) ) B.10 3 海里 D.20 3 海里

11.如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的 一点,AD=10,AC=14,DC=6, 求 AB 的长.

12. 某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,测 量人员在相距 6 km 的 C,D 两地 测得∠ACD=45° ,∠ADC=75° , ∠BDC=15° ,∠BCD=30° (如图, 其中 A,B,C,D 在同一平面上),假如考虑到电线的 自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度大约应 该是 A,B 之间距离的 1.2 倍,问施工单位至少应该准 备多长的电线?

7. “温馨花园”为了美化小区,给居民 提供更好的生活环境,在小区内的一块 三角形空地上 (如图,单位: m)种植草皮,已知这种草 皮的价格是 120 元/m2, 则购买这种草皮需要_______元. 8 如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯 塔 S 在它的北偏东 30° 的方向,之后它继 续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到 达 B 处, 此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船 的航速是________n mile/h. 9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台 底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角, 则两条船 相距________m. 10.2012 年 10 月 29 日, 超级风暴“桑 迪”袭击美国东部,如图,在灾区的 搜救现场, 一条搜救狗从 A 处沿正北 方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命 迹象,然后向右转 105° ,行进 10 m 到达 C 处发现另一 生命迹象,这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点, 那么 x=________.

4

答案【课前自测】 :1.B 2.A 【考点讲评】

3.A

4. 6

5.5 6

9.解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), ON=AOtan 30° = 3 ×30=10 3(m), 3

例 1: (1) AB 长度 7 米. (2)小李的设计使建造费用最低. 变式训练 1. 80 2≈113(m) 例 2:140 3米.变式训练 2. 10 (3- 3)米. 3

在△MON 中,由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 ==10 3(m). 2

例 3: 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶, 恰好用 0.5 小时截住该走私船. 变式训练 3. (1)渔船甲的速度为 14(海里/时). 3 3 (2) sin α = . 14 【课后检测】1.选 D 2.解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则 在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB=100,BC= 3h, 根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° , 即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h= 50,故水柱的高度是 50 m. 3. 解析: 选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B, sin C c 4 由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= = = , 所以 cos 2 sin B 2b 5 4?2 7 C=cos 2B=2cos2 B-1=2×? ?5? -1=25. 4.解析:选 D 由题意得 sin A<sin B+sin C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. b2+c2-a2 π 则 cos A= >0,∵0<A<π,∴0<A< . 2bc 2 π π? π 又 a 为最大边, ∴A> .因此得角 A 的取值范围是? ?3,2?. 3 5.解析:选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB
2 2 2

10 6 10 。x= m. 3 11.解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由 余 弦 定 理 得 cos ∠ ADC =

AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 = =- , 2AD· DC 2 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∴∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AD· sin ∠ADB AB AD 由正弦定理得 = ,∴AB= sin B sin ∠ADB sin B 3 10× 2 10sin 60° = = =5 6. sin 45° 2 2 12.解:在△ACD 中,∠ACD=45° ,CD =6,∠ADC=75° ,所以∠CAD=60° . CD AD 因为 = , sin ∠CAD sin ∠ACD 2 6× 2 CD×sin ∠ACD 所以 AD= = 2 6. sin ∠CAD 3 2 在△BCD 中,∠BCD=30° ,CD=6,∠BDC=15° , 所以∠CBD=135° . CD BD 因为 = , sin ∠CBD sin ∠BCD CD×sin ∠BCD 所以 BD= = sin ∠CBD 1 6× 2 =3 2. 2 2

=30° , ∠ABC=105° , ∴∠BCA=45° . 1 又 AB=40× =20(海里), ∴由正弦定 2 1 20× 2 20 BC 理可得 = .∴BC= =10 2(海里). sin 45° sin 30° 2 2 1 50 000 6.解析:选 B ∵AB=1 000×1 000× = m, 60 3 ∴ BC = AB 50 000 · sin 30° = m. ∴航线离山顶 h = sin 45° 3 2

又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90° , 所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB= AD2+BD2= ?2 6?2+?3 2?2= 42. 6 42 所以电线长度至少为 l=1.2×AB= (单位:km) 5 6 42 答:施工单位至少应该准备长度为 km 的电线. 5

50 000 ×sin 75° ≈11.4 km.∴山高为 18-11.4=6.6 km. 3 2 7. 27 000;8. 32
5



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