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1718最值问题



第三章

直线与方程

最值问题

最值问题

1. x ? y , x ? y , mx ? ny ,
2 2 2 2 2 2

?x ? a ? ? ? y ? b? 的最值问题
2 2

例 1.已知实数 x ,y 满足方程 x +

(y -1) = , 4 ①求 x 2 ? y 2 的取值范围.

2

1 2 第三章

直线与方程

① x 2 ? y 2 可以看成圆上的 点 P(x ,y)到原点(0, 0)的距离, 所以 x ? y 的取值范围是
2 2

O

?1 3? ?OC ? r, OC ? r ? ? ? , ? . ?2 2?

变式:求 x ? y 的取值范围.
2 2
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?1 3? 法一: ? x ? y 的取值范围是 ? , ? . ?2 2? 课时作业P125:6 ?1 9? 2 2 ? x ? y 的取值范围是 ? , ? . 课时作业P130:2 ? 4 4 ?
2 2

1 例 1.已知实数 x ,y 满足方程 x +( y-1) = , 4 2 2 变式:求 x ? y 的取值范围.
2
第三章 直线与方程

2



法二:?
2 2

1 2 2 x +(y-1) = ,

1 ?x ? y ? ?? 4

?1 3? 1 2 ? (y-1) , y ? ? , ?. = - 4 4 ? 2 2? 3 ?1 9? 2 2 y ?1 ? y ? 2 y ? ? ? 4 , 4 ? ? 4 ?

x2

?

资料P71:例3

课本P133:B2

栏目 导引

例 1.已知实数 x ,y 满足方程

1 第三章 2 2 x +(y -1) = , 4

直线与方程

资料P68:例5(2) ②求 (x -2)2+(y-3)2 的取值范围.
(2) (x -2) 2+(y-3)2 可以看成 圆上的点 P(x ,y)到 A (2,3)的距离, 圆心 C(0,1)到 A(2,3)的距离为 d= (0-2)2 +(1-3)2 =2 2. 由图可知,圆上的点 P(x ,y)到 A(2,3)的距离的范围是 1 1 [2 2- ,2 2+ ]. 2 2 所以 (x -2)2 +(y-3)2 的取值范围是 1 1 [2 2- ,2 2+ ]. 2 2 课时作业P126:2

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最值问题

y y ?b 2. , 的最值问题 x x?a
例 2.如果实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3, y 求 的最大值和最小值。 资料P68:例5(1) x

y?2 变式:求 的最值 . x ?1

例 2.如果实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,
? 42 42 ? y?2 ,1 ? 变式:求 的最值 . ?1 ? ? 6 6 ? x ?1 ? y?2 分析: 的几何意义是圆 A上的点 x ?1 与点B?- 1, - 2?连线的斜率 .

解法是求出过点 B?- 1, - 2?的 圆A的两条切线的斜率 .
·

O

最值问题
3.圆上的点到定点的距离 最值问题
(1).定点 A 在圆 O 外时, 最大值=|OA|+r,最小值=|OA|-r.
O

·

(2).定点 A 在圆 O 内时, 最大值=r+|OA|, 最小值=r-|OA|.
O

·

课时作业P130:4(2)

最值问题
(1).定直线与圆 O 相离时, 最大值=d+r,最小值=d-r.
O

4.圆上的点到定直线的距 离最值问题

(2).定直线与圆 O 相交时, 最大值=r+d,最小值=r-d.
O

课时作业P132:2

第三章

直线与方程

五.课堂小结
解决与直线、与圆有关的范围(或最值)问题 我们现在有两类基本方法: (1)数形结合的几何法:能化为完全平方式 的多项式转化为圆上动点 到圆外点的距离; 求圆上动点到定直线的距离最小值,利 用 圆心到直线的距离公式;分式的最值转化 为切线的斜率. (2)利用函数思想的代数法:通过整体代入, 最后化为关于x或y的函 数求解.但要注意 x、y的取值范围.
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第三章

直线与方程

四.作业布置

必做:课本P132-133 习题4.2A组
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