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广西桂林市2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试卷



桂林市 2015—2016 学年度上学期期末质量检测

高二年级 理科数学
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.请在答题卷上答题(在本试卷上答题无效)

第Ⅰ卷
且只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点坐标是 A.

? ?2,0 ? B.
2

选择题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有

? ?1,0?

C. ? 0, ?1?

D.

? 0, ?2?

2.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0 ”的否命题是 D A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0
2

B.若 x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0
2

C.若 x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0
2

D.若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 1
2

o 3.在 ?ABC 中,若 AB ? 4 , BC ? 5 , B ? 60 ,则 AC=

A.

21

B.

31

C.

51

D. 61 )

4.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,则其渐近线方程为( a 2 b2 1 2 A. y ? ? x B. y ? ? 2 x Cy?? D. y ? ? x x 2 2

5.已知 a, b, c 为实数,则 a ? b 的一个充分不必要条件是 A. a ? c ? b ? c
2
2 2 B. ac ? bc

C. a ? b

D.

a ?1 b

6.已知 F 是抛物线 x =8 y 的焦点,若抛物线上的点 A 到 x 轴的距离为 5,则 AF ? A. 4 B. 5 C.6 D.7

7.已知数列 ?an ? 满足 an+1 =2an ? n ? N *? ,其前 n 项和为 Sn ,则

S5 = a5
D.

A.

15 16

B.

31 16

C.

15 32

31 32

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 形状为 A.直角三角形 C.等腰直角三角形

a ? 2 cos C ,则 ?ABC 的 b

B.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

9. 如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上, 在点 C 处测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D,测得 ∠BDC=45°,则塔 AB 的高是 A. 10 2m C. 10 3m B. 10 6m D. 10m

10.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,公比 0 ? q ? 1, 设P ?

a3 ? a9 , Q ? a5 ? a7 , 则 a3 、 a9 、 P 与 Q 的大小关系是 2
B. a3 ? Q ? P ? a9 D. P ? Q ? a3 ? a9

(第 9 题图)

A. a3 ? P ? Q ? a9 C. a9 ? P ? a3 ? Q
2

2 11. 设 M 是圆 P: ? x ? 5 ? ? y ? 36 上一动点, 点 Q 的坐标为 ? 5, 若线段 MQ 的垂直平 分 0? ,

线交直线 PM 于点 N,则点 N 的轨迹方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 25 9 x2 y 2 ? ?1 25 9
2 2

B.

x2 y 2 ? ?1 16 9

C.

D.

x2 y 2 ? ?1 9 16

12.若不等式 a ? b ? 2 ? ? ? a ? b? 对任意正数 a , b 恒成立,实数 ? 的取值范围是 A. ? ??, ?

? ?

1? 2?

B.

? ??,1?

C.

? ??,2?

D. ? ??,3?

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知△ABC 中, a ? 1 , C ? 45? , S?ABC ? 2 ,则 b ? . . .

14. “若 1 ? x ? 2 ,则 m ? 1 ? x ? m ? 1 ”的逆否命题为真命题,则 m 的取值范围是 15.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?9, S3 ? S7 ,则当前 n 项和 Sn 最小时,n = 16.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,若过右焦点 F 且倾斜角为 30°的直线与双曲线 a 2 b2
.

的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 ?an ? 为公比 q ? 1 的等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? n 项和 Sn 。

20 ,求 ?an ? 的通项式 an 及前 3

18. (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 3a ? 2c sin A . (1) 求角 C 的值; (2)若 c ?

7 ,且 S ?ABC ?

3 3 ,求 a+b 的值. 2
y
500 400

19. (本小题满分 12 分) 某公司计划 2016 年在当地甲、乙两个电视台做总时间不 超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 90000 元,甲、乙 电视台的广告收费标准分别为 500 元 / 分钟和 200 元 / 分钟, 预计甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告, 能给公司 带来的收益分别为 3000 元和 2000 元.问该公司如何分配在 甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大 收益是多少万元?
300 200 100

0

100

200 300

x

20. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : “不等式 x 2 ? mx ? m ? 3 ? 0 的解集为 R ” ;命题 q : “

x2 y2 ? ?1表 m ? 9 m ?1

示焦点在 y 轴上的双曲线” ,若 “ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)

设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)若数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn. ? ? ? ? n ? 1 ? n (n∈N ) a1 a2 an 2

22. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A , B 两 a 2 b2
?

点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60 . (1)求该椭圆的离心率; (2)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.记△

GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

桂林市 2015—2016 学年度上学期期末质量检测 高二年级理科数学参考答案及评分标准
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度. 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:每小题 5 分,本题满分共 60 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 B 6 D 7 B 8 B 9 B 10 A 11 D 12 C

二.填空题:每小题 5 分,满分 20 分. 13. 4 2 14. :[1,2] 15. 5 16.

? 2 3? ? ? 1, 3 ? ? ? ?

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) a3 2 .解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= q = q , a4=a3q=2q · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .2 分 2 20 1 2 所以 q + 2q= 3 , 即 3q ?10q ? 3 ? 0 解得 q1=3 , q2= 3, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .4 分 因为 q ? 1 ,所以 q ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .5 分
2 又因为 a3 ? 2,? a1q ? 2,? a1 ?

2 2 n ?1 ? . ? an ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .7 分 9 9

2 ? (1 ? 3n ) a1 (1 ? q n ) 9 1 Sn ? ? ? (3n ? 1) … · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 1? q 1? 3 9
18. (本小题满分 12 分) a 2sinA sinA 解 (1)由 3a=2csinA 及正弦定理,得 = = .. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 c sinC 3 ∵sinA≠0,∴sinC= 3 . 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

π 又∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3

π (2)方法一 c= 7,C= , 3 1 π 3 3 由面积公式,得 absin = ,即 ab=6.①. 2 3 2 π 由余弦定理,得 a2+b2-2abcos =7, 3 即 a2+b2-ab=7.②. 由②变形得(a+b) =3ab+7.③ 将①代入③得(a+b)2=25,故 a+b=5. 方法二 前同方法一,联立①②得
2 2 2 2 ? ? ?a +b -ab=7, ?a +b =13, ? ?? ?ab=6 ? ? ?ab=6, 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

消去 b 并整理得 a4-13a2+36=0, 解得 a2=4 或 a2=9,
?a=2, ?a=3, ? ? 即? 或? 故 a+b=5. ? ? ?b=3 ?b=2.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟, 总收益为 z 元,

? x ? y ≤ 300, ? 由题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, . ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?

y · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
500

目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?

300 l 200 100 M

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. · · · · · · · · · 7分 如图:作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时, 目标函数取得最大值. 联立 ?
0 100 200 300

x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 200) . · ? 点 M 的坐标为 (100,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元) · 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最 大收益是 70 万元.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20. (本小题满分 12 分)

2 解:命题 p 为真时,等价于 m ? 4 ? m ? 3? ? 0 ,即

?2 ? m ? 6 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
命题 q 为真时,等价于 ?

?m ? 1 ? 0, 即 ?1 ? m ? 9 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ?m ? 9 ? 0.

依题意, p, q 一真一假 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 当 p 真, q 假时, ?

??2 ? m ? 6 ,即 ?2 ? m ? ?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ?m ? ?1, 或m ? 9
? m ? ?2, 或m ? 6, ,即 6 ? m ? 9 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ?1 ? m ? 9

当 p 假, q 真时, ?

综上, m 的取值范围是 ? ?2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ?1? ? ?6,9? . · 21. (本小题满分 12 分) 解 (1)设等差数列 的首项为 ,公差为 . 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 解得 因此 (2)由已知 当 当 ∴ ∴ 又 时, .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (n∈N ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
*

bn 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? ?1 ? n?1 ? ? n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 an 2 ? 2 ? 2
,又∵ , .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 .

两式相减得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意,当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时,其倾斜角为 60 . 设 F (?c, 0) ,则
?

b ? tan 60? ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 c

2 2 2 将 b ? 3c 代入 a ? b ? c ,解得 a ? 2c . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

所以椭圆的离心率为 e ?

c 1 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 a 2

x2 y2 (2)由(1) ,椭圆的方程可设为 2 ? 2 ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 4c 3c
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直, 故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 将其代入 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .

6ck ?8ck 2 则 x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c ) ? , 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

G(

?4ck 2 3ck , 2 ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 4k ? 3 4 k ? 3

3ck 2 ?ck 2 4 k ? 3 G D ? A B x ? ∵ ,∴ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? k ? ?1, D 4k 2 ? 3 ?4ck 2 ? xD 4k 2 ? 3
∵ △ GFD ∽△ OED ,

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck ( 2 ? 2 ) ? ( 2 )2 S1 | GD |2 4k ? 3 ∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 ?ck 2 2 S2 | OD |2 ( 2 ) 4k ? 3
? (3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9? 2 ? 9. 2 2 2 4 (ck ) ck k



S1 的取值范围是 (9, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 S2



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