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2015年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学学科分析报告



2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学学科分析报告
第一部分 命题背景分析
一、命题指导思想
1.2015 年是广东省实施《普通高中数学课程标准(实验) 》 (以下简称《课程标准》 )考试的第 九年,广州市普通高中毕业班综合测试(一) (以下简称“一测”)数学命题的主要依据是《2015 年普 通高等学校招生全国统一

考试数学(文、理科)考试大纲》 (以下简称《考试大纲》 )和《2015 年普 通高等学校招生全国统一考试(广东卷)考试大纲的说明-数学(文、理科) 》 (以下简称《考试说 明》 ) . 2. 研究 2007~2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学 (广东卷) 的命题特点, 是广州市“一 测”数学卷命题的另一依据. 近七年广东卷的命题思路: 加强对数学基本知识的考查, 深化能力考查, 体现应用意识和探究创新. 加强对数学基本知识的考查, 就是要结合实施新课程标准的教学实际和课程标准的基础性要求, 体现对数学基础知识和基本方法的考查 .在选择题和填空题设计中以中等难度和容易题为主考查数 学基础;在解答题设计中坚持知识的综合性,注重在知识网络的交汇处设计试题. 深化能力考查,就是在“能力立意”的基础上,在全面考查基本能力的同时,突出考查学科的空 间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等能力.“能力立意”应以 知识为载体、以数学思想方法为主要工具.对知识的考查,主要检测基本能力中的理解能力.数学学科 的抽象性和严密性,以及数形运算特点,决定了逻辑思维能力、空间想象能力和运算求解能力成为 其核心能力. 体现应用意识和探究创新,就是反映新课程特点,创设能反映或符合学生生活学习实际的试题, 考查学生解决简单数学问题的能力,以及创设体现考生发现问题、提出问题、创造性解决问题的能 力的试题.坚持对应用意识的考查必须贴近生活、背景公平、难度符合考生实际的试题. 3.命制试题时既注重基础知识的覆盖面又突出主干知识,既注重常规教学的诊断功能又突出高 考模拟功能.

二、考查内容分布
“一测”数学试卷考查的知识点涉及集合与常用逻辑用语,函数、导数与不等式(含指定选考内 容) ,数列、推理与证明,平面向量与三角函数,统计与概率,立体几何,解析几何,复数,计数原 理(理科)等必考知识板块,以及坐标系与参数方程、几何证明选讲等选考内容.具体分值分布与 得分情况见表 1、2. 表 1:广州市 2015 年“一测”文科数学试卷考点分布及得分情况
内容 集合与常用逻辑用语 题号 1 8 函数、导数与不等式 10 11 题型 选择题 选择题 选择题 填空题 分值 5 5 5 5
1

得分 4.89 3.52 1.4 3.88

知识点与交汇点 集合的运算 线性规划 函数的奇偶性 函数的定义域

12 21 7 数列、推理与证明 13 19 2 平面向量与三角函数 6 16 统计与概率 3 17 立体几何 9 18 5 解析几何 20 4 14 15

填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 解答题 选择题 解答题 选择题 解答题 选择题 填空题 填空题

5 14 5 5 14 5 5 12 5 12 5 14 5 14 5 5 150 分

2.75 0.69 3.74 0.26 4.81 4.07 2.36 8.52 4.75 10.82 3.7 7.84 3.8 2.62 3.56 3.28 0.29 79.4 得分 4.96 2.9 2.78 3.63 2.52 1.42 0.24 5.77 4.64 4.33 9.9 4.78 4.14 8.98 4.44
2

曲线的切线斜率 函数的零点、最值、导数的应用 等比数列的求值 数列求和 等差数列、等比数列、数列求通项 向量的运算 解三角形 三角函数的图象与性质、三角恒等变换 茎叶图、数据的中位数 分层抽样、古典概型 三视图、几何体的体积 线面垂直、几何体的体积 抛物线的性质 双曲线方程、椭圆的方程、动点轨迹、 三角形面积的最值问题 复数概念与运算 曲线的参数方程与点的极坐标 圆的切线性质

复数 坐标系与参数方程 几何证明选讲 合计

表 2:广州市 2015 年“一测”理科数学试卷考点分布及得分情况
内容 集合与常用逻辑用语 题号 1 7 5 函数、导数与不等式 10 12 21 数列、推理与证明 13 19 2 平面向量与三角函数 9 16 3 统计与概率 11 17 立体几何 6 题型 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 解答题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 解答题 5 5 5 9 5 14 5 5 12 5 5 12 5 分值 5 知识点与交汇点 集合的运算 充要条件 线性规划 曲线的切线斜率 幂函数 导数的应用、不等式的证明 推理与证明 递推数列、等差数列、数列求通项 向量的运算 正切的二倍角 三角函数的图象与性质、两角和公式 茎叶图、数据的中位数和平均数 正态分布 古典概型、 随机变量的分布列与均值(数学期望) 三视图、几何体的体积

18 4 解析几何 20 8 14 15

解答题 选择题 解答题 选择题 填空题 填空题

14 5 14 5 5 150 分

8.93 3.48 3.82 2.28 3.63 0.67 86.4

线面垂直、二面角的计算 直线与圆的位置关系 双曲线方程、椭圆方程、动点轨迹、 三角形面积的最值问题 复数的运算 曲线的参数方程与点的极坐标 圆的切线性质

复数 坐标系与参数方程 几何证明选讲 合计

表 1、表 2 的说明: ① 由于有些试题涵盖的知识点较多,一般以最主要的知识点统计. ② 从统计表可以看出,本次考查的覆盖面广,每个模块的内容都有涉及,且基本与教学课时的 比例相当. ③ 本分析报告中的数据为广州市所有区(县级市)考生的统计数据,其中文科人数为 23022 人, 理科人数为 32194 人. ④ 由以上两表可知,文科试卷的难度为 0.53,容易的题目(难度系数为 0.7~1.0)共 11 道,占 题量的 52.3%;中等难度的题目(难度系数为 0.31~0.69)共 5 道,占题量的 23.8%;偏难的题目 (难度系数为 0.0~0.30)共 5 道,占题量的 23.8%;理科试卷的难度为 0.58,容易的题目共 11 道, 占题量的 52.3%;中等难度的题目共 6 道,占题量的 28.6%;偏难的题目共 4 道,占题量的 19%.

第二部分 试卷分析
一、数据分析
表 3:广州市 2015 年“一测”数学考试基本数据
考生数 文科 理科 23022 32194 平均分 79.4 86.4 难度 0.53 0.58 标准差 26.59 23.66 区分度

表 3 的说明: ① 一测考试的难度基本介于 0.5~0.6 之间,与选拔性考试的难度要求相吻合. ② “一测”数学的标准差 ? 15 ,符合选拔性考试命题的基本要求. ③ 从考生数可以看出,广州报考理科考生数比文科考生数逐年增加,由 2102 年及以前的文科考 生数多于理科考生数, 到 2013 年理科考生数约比文科考生数多 3000 人, 到 2014 年理科考生数比文 科考生数多 7000 多人,到 2015 年理科考生数比文科考生数多 9000 多人,考生报考更加趋于理性. 表 4:广州市 2015 年“一测”各组文、理科数学成绩统计 文 组别 人数 选择题 平均分 科 全卷 平均分
3

理 人数 平均分 平均分

科 全卷 平均分

非选择题 平均分

选择题 非选择题

A 组 1818 B 组 3179 C 组 3216 D 组 3857 E 组 4005 F 组 6080 其他 863 全市 23022

44.2 42.2 39.1 36.7 34.7 28.8 32.7 35.8

62.7 58.6 51.4 45.4 40.8 26.7 34.8 43.6

107 100.8 90.5 82 75.5 55.4 67.5 79.4

6193 5981 5466 5500 3564 4259 1230 32194

33.3 31.7 30.2 29.3 28.6 26.7 29.9 30.3

70.7 65.2 58.7 51.6 46.2 33 55.8 56.1

104 96.8 88.9 80.9 74.8 59.6 85.7 86.4

表 5:广州市 2015 年“一测”数学前 10 名名单 理科前 10 名 姓名 学校 分数 姓名 文科前 10 名 学校 分数

蔡若瑾 李嘉俊 钟晓艺 周君泰 宋小牛 蔡懿韬 温一鸣 金志华 梁铸 章雨欣 韩舜杰 舒影 万卓霆 李捷 翁建彬 魏文瑞

广东实验中学 广东实验中学 广东实验中学 广东实验中学 广东广雅中学 广东实验中学 广东实验中学 广东广雅中学 华南师范大学附属中学 华南师范大学附属中学 广州市第二中学 广东实验中学 广东实验中学 广东实验中学 广东实验中学 广州市第十六中学

149 148 148 147 147 146 145 145 145 144 144 144 144 144 144 144

邓强

广州市第二中学

143 142 140 139 139 138 138 138 137 137 137 137 137 137

刘仁智 广州市第二中学 周小羚 广州市执信中学 李昱彤 广东实验中学 梁彦 广东实验中学 林润桐 华南师范大学附属中学 唐梦莹 华南师范大学附属中学 湛珏颖 广州市第二中学 何芷桐 广州市真光中学 郭薇 广东广雅中学 张弛斌 华南师范大学附属中学 苏沐阳 华南师范大学附属中学 谢明宇 广东实验中学 郭于晴 广州市第六中学

表 6:广州市 2015 年“一测”文科各分数段人数统计 指标 人数 指标 人数 140~150 130~139 130 50~59 1749 120~129 898 40~49 1541 110~119 1940 30~39 1254 100~109 2739 20~29 712 90~99 3474 10~19 230 80~89 3481 0~9 19 70~79 2763

3
60~69 2092

4

表 7:广州市 2015 年“一测”理科各分数段人数统计 指标 人数 指标 人数 140~150 130~139 35 60~69 2756 243 50~59 1860 120~129 1208 40~49 1202 110~119 3662 30~39 801 100~109 5448 20~29 473 90~99 5598 10~19 153 80~89 4894 0~9 15 70~79 3846

说明:从表 6、表 7 可以看出,这次测试文科分数段主要集中在 30~120 分之间,占 92.01%;理科 分数段主要集中在 40~120 分之间,占 91.5%.

二、试题特点
2015 年广州市“一测”数学试题考查的内容符合《课程标准》 、 《考试大纲》与《考试说明》的要 求.试卷主要突出下面五个特点:重视区分文理要求;加强考查基础知识,重点考查主干知识;深化 数学思想,突出核心能力;注重应用意识,考查数据处理能力;注重创新意识,适度数学探究. (一)重视区分文理要求 新课标的重要理念之一是“不同的人在数学上得到不同的发展”, 据统计, 广东高考数学卷从 2007 年到 2014 年文理两卷基本相同的题目逐年减少. 2015 年广州市“一测”数学试题在体现文理考生的区 分上下了一定的功夫,完全相同的必做试题共 3 道(分值为 29 分,占 19.3%) ,完全不同的试题为 12 道(分值为 87 分,占 58%) ,其他题目或者在设问上有所不同或者在难度上有所区别,如文科第
5

3 题、理科第 3 题,文科仅考查了数据的中位数,而理科则考查了数据的中位数和平均数;文科第 19 题、理科第 19 题的数列综合题,文科只涉及到数列前 n 项和的递推关系,而理科则涉及到数列 的通项与前 n 项和的递推关系,能力要求更高,这充分显示拉开文理差距的意图. (二)加强考查基础知识,重点考查主干知识 加强考查基础知识,主要体现在下面三个方面:一是加大了试题中基础知识内容的比重,并达 到必要的深度;二是在选择、填空题的必做部分主要考查课程标准的必修内容;三是合理调节选择、 填空题的难度,大部分试题均设置为容易或中等题. 加强对基础知识的考查还体现在对知识的考查既全面又突出重点.试题覆盖了主要知识点,对支 撑学科知识体系的主干知识综合地进行了重点考查。在 2015 年广州市的“一测”数学试题中,函数、 导数与不等式,数列、推理与证明,平面向量与三角函数,概率与统计,立体几何,解析几何等主 干知识仍然是考查的主要知识点,文科共 140 分,占全卷分值的 93.3%;理科共 140 分,占全卷分 值的 93.3%(详见表 1、表 2). 加强对基础知识的考查还体现在注重知识间的综合方面 .为了实现对基础知识的考查达到必要 的深度,除注重考查主干知识外,无论是选择、填空,还是解答题都注重在知识的交汇处设计试题, 强调知识之间的交叉、渗透和综合.如文科第 10 小题综合了直线与圆的位置关系和函数的性质、文 科第 11 小题综合了平面向量的定义与数列的求和、理科第 8 小题综合了复数的运算与映射的概念、 理科第 13 题综合了二项式系数的性质的应用与推广等. (三)深化数学思想,突出核心能力 2015 年广州市“一测”试题无论考查内容还是考查形式,都让学生觉得符合常规,所谓“似曾相识 不陌生,常规之中比根基”. 但常规题中仍然深入地考查了数学思想。在“一测”数学试题中,涉及到 的基本数学思想和方法主要有: 等价转化思想作为中学数学中的一种基本化归思想,在试卷中随处可见. 函数与方程的思想:如文科第 16 题的“三角函数”;文、理科第 19 题的“离散函数”; 文科第 20 题(理科第 20 题)的“直线与圆锥曲线的位置关系”;文科第 21 题(理科第 21 题)的“函数与导数” 等. 数形结合的思想:文科第 6 题的“解三角形”;如文科第 8 题(理科第 5 题)的“线性规划”;如 文科第 9 题(理科第 6 题)的“三视图”;文科第 10 题“直线与圆位置关系” ;文科第 13 题的“函数 与向量夹角”等. 分类讨论的思想:如文、理科第 19 题的“数列求通项”;文科第 21 题、理科第 21 题的“函数与 导数”等. 其中反映逻辑思维能力的推理论证能力和运算求解能力的考查贯穿全卷,突出反映在含字母的 算式推演运算上,体现了高中数学引入变量的重要特征.如理科第 21 题的函数、导数、不等式的综 合问题,着重以代数运算为主考查掌握算法和推理运算的情况,深入考查了考生对式子正确进行分 解和组合变形的能力. 试卷突出考查了空间想象能力, 如文科第 9 题(理科第 6 题)的三视图问题, 重点考查了考生识图、 想图以及对图形的分解与组合的能力,文、理科第 18 题的平面图形的折叠问题,重点考查了空间线 面位置关系,很好的考查了考生的空间想象能力; 抽象概括能力是重要的数学思维能力,试卷注重了对抽象概括能力的考查,如文 21 考查含参数 的函数的最值以及函数的零点问题,理科第 21 题考查含参数的不等式恒成立及不等式证明问题,对
6

思维的严谨性和概括能力要求较高,通过对参数的讨论和概括,深入地考查了考生的抽象概括能力. (四)注重应用意识,考查数据处理能力 考试大纲要求对能力的考查,要兼顾基础性、综合性和现实性.“一测”试卷中是反映考试大纲要 求和课程标准提出的“发展数学应用意识和创新意识”的课程目标,创设了贴近生活、背景公平、难 度适宜的应用背景试题,通过与数据处理能力的考查相结合. 文科 17 题背景是考生熟悉的日常实际 生活问题,考查的是学生熟悉的频率分布表; 理 17 题试题背景是考生熟悉的摸球问题,考查的内容 是考生熟悉的频率分布直方图和求分布列及数学期望,计算量不大,体现了对数据处理能力和概率 与统计中重点知识的考查. (五)注重创新意识,适度数学探究 《课程标准》要求“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验 数学发现和创造的过程,发展他们的创新意识”. 创新意识能较好地反映考生的数学能力与素养,是理性思维的高层次表现.“二模”试卷中注重了 对创新意识的考查,通过创设有一定深广度的数学问题,检测考生对数学知识的迁移和融会程度, 以及创造性解决问题的能力.创新意识主要通过结合数学探究的考查进行,通过创设适度开放需进行 探索讨论的问题,给学生创设进行数学探究的空间,进而检测考生素养.如文科第 9 题、理科第 6 题 设置了探究几何体的俯视图问题;文、理科 19 题设置的探究整数的存在性问题,探究的方向明确, 方法常规,对考生创造性的解决新背景问题的能力要求较高.

三、试题分析
(填空题与解答题中的主要别解、典型错误、复习建议由各区阅卷组提供,在此表示感谢!由 于交分析报告的时间太紧,无法详细审阅,报告中难免有误,敬请谅解。 ) 1.选择题(文科平均分:35.8 难度:0.72;理科平均分:30.3 难度:0.76) 表 8:文科选择题的考点分布及得分情况
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 考查知识点 集合运算 向量概念 数据的中位数 复数概念与运算 抛物线的性质 正弦定理 等比数列的性质 线性规划 三视图、几何体的体积 函数的性质 得分 难度 考生选项统计(%) A B C D 多选 留空

4.89 4.07 4.75 3.56 3.8 2.36 3.74 3.52 3.7 1.4
35.8

0.98 0.81 0.95 0.71 0.76 0.47 0.75 0.7 0.74 0.28
0.72

0.51 1.88 1.42 71.24 12.4 1.7 70.42 9.35 0.51

97.84 9.33 95.03 4.17 75.92 6.09 6.59 97.84

1 7.22 0.96 18.56 9.74

0.62 81.48 2.57 5.84 1.88

0.01 0.02 0.02 0.03 0.02 0.07 0.05 0.07 0.06 0.01

0.03 0.07 0.01 0.17 0.04 0.2 0.25 0.1 0.05 0.03

16.96 21.94 47.12 13.72 74.77 17.14 4.05 9.91 0.62 74.05 1 11.47 13.89

文科选择题

表 9:理科选择题的考点分布及得分情况
题 考查知识点 得分 难度
7

考生选项统计(%)

号 1 2 3 4 5 6 7 8 集合运算 向量概念 数据的中位数和平均数 直线与圆的位置关系 线性规划 三视图、几何体的体积 充要条件 复数运算及映射

A

B

C

D

多选

留空

4.96 4.64 4.78 3.48 2.78 4.44 2.9 2.28
30.3

0.99 0.93 0.96 0.7 0.56 0.89 0.58 0.46
0.76

0.18 0.39 1.85 69.57 3.85 23.7

99.11 4.74 0.14 3.58 3.4 58.02

0.46 2.08 95.61 2.97 2.66 88.89 10.8

0.2 92.71 2.33 23.74 4.84 3.75 7.34

0 0.02 0.01 0.01 0.03 0.01 0.04 0.04

0.05 0.07 0.06 0.13 0.13 0.1 0.1 0.51

55.55 36.79

18.43 45.61 18.94 16.47

理科选择题

说明: ① 从以上两表可以看出,本次测试文科选择题平均分达到 35.8 分,难度系数为 0.72,属于容易 题,与近几年广东高考得分情况类似;理科平均分为 30.3 分,难度系数为 0.76,整体属于容易题, 与近几年广东高考得分情况类似. ② 从统计数据中看到,文科选择题中有 1 道难题, 理科选择题中没有难题,难度系数在 0.6 以下 的文科有 2 道,理科有 3 道,学生得分与预测接近,尽管如此,还应坚持对解答选择题的训练. 2.填空题 (文科平均分: 8.3 【典型错误】 11. ①误认为真数大于或等于零对数函数有意义,出现错误答案: [2, ? ?) 或 ?x | x ? 2? 。 ② 将对数函数的底数不能为 1 误认为是真数不为能 1,出现错误答案: ?x | x ? 2且x ? 3? 。 ③表达不规范,将定义域表示成不等式: 12. ①不会求函数在点处的导数,得出错误答案:1 或 2 或 e 。 ②没有看清求什么,填了切线方程: 等。 难度:0.42 )

13. 本题得分率及低,许多学生无法将需求值的式子用 n 表示出来,从而无法得到正确答案。另外, 有一部分学生虽然能用 n 表示需求值的式子,但 n 的值取错,得到:

14. 得分:3.445,难度:0.69。 主要问题:①极径出错:错误答案主要有:1,2。 ②点的极坐标的极径与极角位置对调: 15. 得分:0.338,难度:0.07。 主要错误:学生对圆的知识掌握不好,不熟悉弦切角定理和切割线定理,同时不能对角的关系 进行转换。出现最多(约 50%)的情况是认为 D 为 BC 的中点得答案:2. 另外:①部分学生涂 15 题,填 15 题的题号, 但填的是第 14 题的答案。
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②选做题试卷总份数只有 12634 份,比试卷总份数 13473 份少 839 份,即有 839 位学生(含缺 考)没有涂选做题号。 【复习建议】 1、对一些基础题要多让学生自己去解决,少做提示。 2、对书写及表达规范进行训练。 3、选考内容应把复习重点放在极坐标与参数方程。 4、进行读题训练,提高学生的读题能力。 (理科平均分:17.28 难度:0.58 ) 【典型错误】 第 9 题,有的考生在将“负号”与“分数线”连写在一起,看上去没有负号. 第 10 题,没有仔细审题,求出切线方程: y ? 2ex ? e 的比较多. 第 11 题,少数考生错答为:0.159 或 0.15874. 第 12 题,错答为: “4 或 16”的比较多. 第 13 题,错答为: n ? n 2
2 n?2

,或 n ? n2
2

n?2

,漏写小括号的比较多.

第 14 题,答为等价形式: 【复习建议】

?

2 ,450 的比较多.

?

除第 13 题有点难度外,其它几个题都属于中低档题,主要考察基础知识与基本运算能力,较 多中等学生“会而不对,对而不全”,为解决这个老大难问题,平时要训练学生在推理、运算过程中, 养成对每一小步的推理、运算都“计算、检查、复核”的习惯,确保每一小步的推理与运算正确,避 免因注意力分配不足及笔误导致的无谓失误.在试卷评讲时,教师要帮助学生落实答填空题的基本 规范及要求,避免高考时无谓失分. 3.解答题 (文科平均分:35.3 难度:0.44 ;理科平均分: 33.68 难度:0.485 ) 文 16(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x . 6?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 ? 是第一象限角,且 f ? ? ?

? ?

??

4 ?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 3? 5 4? ?

【考查目标】本小题主要考查三角函数的性质、三角恒等变换等基础知识,考查化归与转化的数学 思想方法,以及运算求解能力. 【答卷分析】 【主要别解】 平均分: (1)3.96 (2)4.56 合计 8.52 难度:0.71

9

sin(? ? ) 2 ? 7 2 ? 4 ,代入 1. 先计算出 sin(? ? ) ? ? 的值,再根据 tan(? ? ) ? , cos(? ? ) ? ? 4 10 4 10 4 cos(? ? ) 4

?

?

求解。 2. 先展开 sin(? ?

?
4

)?

2 ? 2 (sin ? ? cos ? ), cos(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) , 2 4 2

通过约分去掉根号,并代入 sin ? , cos ? 的值,比较简洁. 【典型错误】 1. 第一问没有将函数 f ( x ) 化为最简形式,直接由题目中的单倍角,认为 ? ? 1 ,直接 写出函数的最小正周期为 2? 。 2. 公式记不清楚。突出错误有: (1)∵ sin(? ?

?
2

)? 4

(3) tan(? ?

?

4 5

∴ cos ? ? ?

4 ; 5

(2)∵ sin(? ?

?
2

)?

4 5

∴ sin ? ?

4 ; 5

) 的公式五花八门。主要错误有:

tan ?? tan 4 , tan ?( ? ?) ? 4 1? t a ? n tan 4

?

?

4 , tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 4

?

tan ? ? tan

?

tan ?? tan ? 4 , tan ?( ? ?) ? 4 1 ? 2 t a? n tan 4
3. 特殊角的三角函数值记错。如: tan 4. 书写不规范或运算出错。如:

?

? 4 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 4
2 3 1 ? , sin x ? cos x ? sin( x ? ) 等。 2 2 2 3

tan ? tan

?

?
4

?

3 ?1 4 ? 1 2 4 4 (1) sin ? ? 1 ? cos ? ? ? , (2) tan(? ? ) ? (漏掉符号); ? ? , 5 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 7 4 4 4 4 3 sin ? 5 4 (3)由 cos ? ? ,sin ? ? 求正切值时代入错误,得 tan ? ? ? ? 5 5 cos ? 3 3 5 tan ? ? tan
最后导致 tan(? ?

?

?
4

)?

4 ?1 ? 7 1 ? tan ? tan 4
10

tan ? ? tan

?

5. 步骤不完整,跳步严重。 (1)第一问化简函数式时跳步。如: ①∵ f ( x) ? sin( x ? ② f ( x) ? sin( x ?

?

) ? cos x , ∴ f ( x) ? sin( x ? ) ; 6 6

?

?
6

) ? cos x ? ... ?

3 1 ? sin x ? cos x ? cos x ? sin( x ? ) , 2 2 6

(2)写出公式后,不带入数值,直接得结果。 ∵ tan(? ?

?
4

)?

tan ? ? tan

?
4 ,

1 ? tan ? tan

?

∴ tan(? ?

?

1 )?? 。 4 7

(3)不对角( ? ? ∵ sin(? ? 【复习建议】

?
4

4

)的范围进行讨论,直接得结果。

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

??

2 ? 7 2 , ∴ cos(? ? ) ? . 10 4 10

“三角函数的图像与性质、 三角函数的化简求值” 经常作为解答题的第一题, 是学生的必拿分题, 尤其是文科生,更是不容有失。所以建议在今后的备考中: 1.加强公式,概念的复习,要强化记忆;加强特殊角三角函数值的记忆; 注重对公式的变形训练;对公式的记忆要让学生在理解的基础上进行, 切记不过于死板。如,在合一变换中出现以下作法:

3 1 3 1 sin x ? cos x ? ( )2 ? ( )2 sin( x ? ? ) ? sin( x ? ? ) , 2 2 2 2
再由 tan ? ?

b 确定 ? 值。如右图所示. a

2.加强该部分知识的当堂限时训练,以通过训练加强学生的运算能力。尤其是要加强对中下生的鼓 励,对三角的解答题必须要给予足够的时间认真计算,争取不丢分。 3. 培养学生规范解题的习惯;不跳步,不漏写条件,计算时应先写出相应公式,再代入数值进行计 算。 4. 优化解题方法。 理16(本小题满分12分)

?? ? 已知函数 f ( x) ? A sin ? ? x ? ? ? A ? 0, ? ? 0 ? 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的 6? ?
坐标分别为 ? x0 , 2? 和 ? x0 ?

? ?

?

? , ?2 ? . 2 ?

11

(1)求函数 f ( x) 的解析式;

(2)求 sin ? x0 ?

? ?

??

? 的值. 4?

【考查目标】本小题主要考查三角函数的性质、三角恒等变换等基础知识,考查化归与转化的数学 思想方法,以及运算求解能力. 【答卷分析】 平均分: (1)5.51 【典型错误】 1. 对函数图象理解不到位,最高点和最底点相差半个半个周期。有同学按一个周期来做,导致求出 的 ? ? 4 . 还有同学代入特殊点求值,但没有注意到两个点都在 y 轴右侧,导致 ? ? ?2 . 2. 特殊值求角,学生比较陌生,特殊角求不到,建议多练习由特殊值求角. 3. 审题不清,题目要求 sin ? x0 ? (2)4.39 合计 9.9 难度:0.82

? ?

??

?? ? ? , 同学求成 f ? x0 ? ? , 甚至有同学直接求 f ? x0 ? . 4? 4? ?

4. 跳步太多,有同学直接写由题意得 A=2,W=2,这样被扣 2 分。若同学先画出图象再来说 A=2, W=2 可以给满分。还有同学结论正确,过程跳步一般不扣分,但结论错误就扣分较多. 【复习建议】 1. 已知特殊角求值学生掌握的较好,但是本题有特殊值求角,很多同学不会,导致求不出结果。建 议多练习特殊值求特殊角. 2. 加强学生审题能力的训练. 3. 注意书写规范,尽量不要跳步. 文17(本小题满分12分) 从广州某高校男生中随机抽取 100 名学生,测得他们的身高(单位: cm)情况如表 1: 分组 频数 频率

?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180?
?180,185?
合计 表1

5

0.05

a
35

c
0.35

b
10 100

0.20
0.10 1.00

12

(1)求 a, b, c 的值; (2)按表 1 的身高组别进行分层抽样, 从这 100 名学生中抽取 20 名担任广州国际马拉松 志愿者, 再从身高不低于 175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作, 求这 2 名 担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180 cm 的概率. 【考查目标】本小题主要考查频率分布表、分层抽样、古典概型等知识,考查或然与必然的数学思 想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识. 【答卷分析】 平均分: (1)2.97 (2)7.85 合计 10.82 难度:0.90 【主要别解】 关于第(1)问与答案都大相径庭,对于第二问,其他解法有:
2 1 1 C2 ? C4 C2 9 3 (1)根据排列组合知识得到所求事件概率: P( M ) ? ? ? . 2 C6 15 5

(2)

记“这 2 名担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180 cm”为事件 M ,

则事件 M 表示“这 2 名担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高都低于 180 cm” 从身高不低于 175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作,共有 15 种不同取法:

{ A, B},{ A, C},{ A, D},{ A, E},{ A, F} , {B, C},{B, D},{B, E},{B, F} , {C, D},{C, E},{C, F} , {D, E},{D, F } , {E , F } .
事件 M 包含的基本事件有 6 种: {A, B},{A, C},{ A, D}, {B, C},{B, D},{C, D} . ∴ P ? M ? ? 1? P M ? 1?

? ?

6 3 ? 为所求. 15 5

(3)记“这 2 名担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180 cm”为事件 M , 从身高不低于 175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作(按照先后顺序选出),共有 30 种不同 取法:

( A, B),( B, A),( A, C),(C, A),( A, D),( D, A),( A, E),( E, A),( A, F ),( F, A), ( B, C ), (C, B), ( B, D),( D, B),( B, E),( E, B),( B, F ),( F , B) , (C, D),( D, C ),(C, E),( E, C),(C, F ),( F , C) , ( D, E),( E, D),( D, F ),( F , D),( E, F ),( F , E) .
事件 M 包含的基本事件有 18 种:

( A, E ),( E, A),( A, F ),( F , A), ( B, E ),( E, B),( B, F ),( F , B) , (C, E ),( E, C ),(C, F ),( F , C ) , ( D, E),( E, D),( D, F ),( F , D),( E, F ),( F , E) .
∴ P?M ? ?

18 3 ? 为所求. 30 5

【典型错误】
13

(1)计算错误. 比如计算 a ? 100 ? 0.30 ? 3 ,化简

9 2 ? . 15 5

( 2 ) 对 于 分 层 抽 样 理 解 不 清 晰 . 在 计 算 抽 取 的 20 名 志 愿 者 中 身 高 在 区 间 ?175,180 ? 和区间

? 上的人数出现严重错误. ?180,185
(3)列举列出基本事件中漏了情况多些. (4)对古典概型完全不了解 【复习建议】 1. 加强答题规范的训练. 2. 提高运算时的关注度,提高准确率. 希望后阶段着重强调基础题细作、稳做、规范做,强调书写的重要性 ,加强对上线术科生的简单题 规范答题的辅导。 (1)落实规范答题. 在该题的批阅中我们发现对该题的规范存在很大的问题,比 如在列举基本事件时列表打对勾,表述方面不是很清晰,另外基本事件列出来后,事件 M 中包含 9 个基本事件,而包含哪 9 个基本事件,部分学生并没有明确列出. (2)列举法为基础前提下,可以适当交给学生检验这类问题的基本事件是否列举完全的方法。前者 是生存之道,后者为得分保证。但是我们个别学生意味的追求“方便的方法” ,而由又对排列组合的 知识掌握不透彻而出现错误。所以我们觉得可以通过常规的一些数据比如 4 选 2,5 选 3, 的选法种 数的训练,一方面强化列举法,二来加强对验证法认识. (3)对于顺序问题的理解什么时候可以理解为有顺序,什么时候理解为不讲顺序,这点需要跟学生 强化。对本题而言,可以理解为一次选 2 个,也可以理解为选两次,一次选一个。但是基本事件 15 个和基本事件 30 个所花的时间成本应该是有差异的,所以在追求对的前提下“保本”也很重要。 总的说来,理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提,数学知识是数学技能的基础,一切技 能的训练都依托于陈述性知识的指引和支持。所以抓好“双基”对后期备考有着十分重要的意义。

理 17(本小题满分 12 分) 袋子中装有大小相同的白球和红球共 7 个,从袋子中任取 2 个球都是白球的概率为

1 ,每个球被取 7

到的机会均等. 现从袋子中每次取 1 个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出 的白球个数为 X . (1)求袋子中白球的个数; (2)求 X 的分布列和数学期望. 【考查目标】本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列与均值(数学期望)等知识,考查或然 与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识. 【答卷分析】 平均分: (1)3.27 (2)5.71 合计 8.98 难度:0.75 【主要别解】 1.第一问,个别学生用组合数的阶乘公式. 2.第一问,第二问都有,少数学生执意把所有情况罗列出来,逐个分析检验. 【典型错误】 1. 第一问错误以为

1 3 C7 ? 3 ,把抽出 2 个白球的事件总数与白球的个数混淆; 7
14

2. 第一问在列出式子

2 Cn 1 * (要指出 n ? N 或者得出 ? 后,没有说明得出 n ? 3 的过程,如: 2 C7 7

n(n ? 1) 1 2 ? ,才能得出 n ? 3 ). 7?6 7 2
3. 第一问、第二问没有结论性的语言,如“?白球的个数是3个 ” ,或者作答. 4. 没有写出 P(? ? 0) 、 P(? ? 1)、P(? ? 2)、P(? ? 3) 的计算过程,直接得出答案,或者接列出 表格,在表格上写过程,更有甚者,直接只有表格,什么步骤都没有. 5.第二问求数学期望时,没有写 0 的部分,或者没有写出公式. 6. 所有概率都分别算对,但是最后的期望值求错. 7. 少数学生没有搞清基本事件的概念,特别是没有注意基本事件要求等可能出现,导致搞错基本事 件的数目. 8. 部分学生没有高清概型,以为是二项分布. 9. 个别学生基本公式不过关. 【教学建议】 由于概率问题在高考中,在大题中排列较前,因此对步骤的扣分点比较多,建议在教学中注意以下 几点: 1. 注意答题规范,如:一个问题结束后,要有结论性的表述;注意分部作答分布得分; 2. 加强运算能力,如部分同学第二问所有概率都分别算对,但是最后的期望值求错; 3. 学生没有最后答案约分的习惯,虽然没有扣分,但也要引起重视。如学生算出的书许期望答案有

21 126 63 441 、 、 、 等等; 35 210 105 735
文18(本小题满分14分) 如图 4,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点,
?

AC

EF ? O . 沿 EF 将 △CEF 翻 折 到 △ PEF , 连接 PA,PB,PD , 得到 如图 5 的 五棱 锥
D E A C F B 图4

P ? ABFED ,且 PB ? 10 .
(1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求四棱锥 P ? BFED 的体积.

P

O

D A B 图5 F E O

【考查目标】本小题主要考查空间线面位置关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转 化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【答卷分析】 平均分: (1)4.63 (2)3.21
15

合计 7.84

难度:0.56

【主要别解】 第 1 小问: 证法 1:先运用勾股定理逆定理证得 PO⊥BO,进一步证得 PO⊥平面 ABFED,从而证得 PO⊥BD,又 BD ⊥AO,从而证得 BD⊥平面 POA。 证法 2:运用 EF 与 BD 的平行关系,证得 PO⊥BD,又 BD⊥AO,从而证得 BD⊥平面 POA。 证法 3:运用△POB≌△POD 证得 PB=PD,进一步证得 PH⊥BD,又 BD⊥AO,从而证得 BD⊥平面 POA。 第 2 小问:运用割补法计算四棱锥 P-BEFD 的体积。 【典型错误】 第(1)小问: 1. 由 PO⊥EF,PO⊥BD,错误推得 PO⊥平面 ABFED,再推出 PO⊥BD。 2. 由折叠错误得出平面 PEF⊥平面 ABFED,进一步推出 PO⊥BD。 第(2)小问: 1. 不加证明直接认为 PO 为四棱锥 P-BEFD 的高进行计算。 2. 没有用到勾股定理的逆定理就证出 PO⊥平面 ABFED。 3. 计算错误,比如错误计算得 PO=2,计算三角形或梯形面积时漏乘 【复习建议】 1.抓好审题:审题时要将图形与已知条件联系起来、对应起来,看清图形中哪些量是已知的,哪些 量是未知的。在折叠问题中,要分清图形中哪些位置关系是不变的,哪些位置关系是变化的。本题 中,有的考生由折叠直接得出平面 PEF⊥平面 ABFED,或由折叠直接得出 PD=PB,都反映出考生对折 叠前后图形中的“变与不变”把握不清。建议在教学中要加强对已知条件的分析与转化的训练。 2.抓好推理:在立体几何的计算与证明中,推理起着非常重要的作用,有一部分考生没有经过证明 就直接认为 PO 为四棱锥 P-BEFD 的高, 或没有用到已知条件 PB= 10 就证出 PO⊥平面 ABFED, 还有 个别考生仅仅根据 BD⊥AO 就推出 BD⊥平面 POA,这都是推理意识不强或缺乏正确推理的表现。建 议在立体几何证明题中加强步步有据的训练,在立体几何计算题中加强先推理再计算的训练。 3.抓好计算:在立体几何计算题中,一步出错,满题皆输。建议在教学中加强立体几何基本公式的 记忆,加强立体几何基本图形的计算,比如直角三角形的边角关系、勾股定理与逆定理的运用等。 4.抓好答题:要加强得分点的书写与作答,比如本题第 1 小问证明线面垂直时对两条直线相交条件 的交代,第 2 小问求四棱锥体积时对 PO 是高的证明,都是重要的得分点,不能省略,否则会造成失 分。有的优秀答卷在答题时将关键步骤用下划线画出,或编写序号,让阅卷老师一眼就看出得分点, 也便于自己进行检查,这种突出要点的书写习惯值得学习与推广。

1 1 ,计算锥体体积时漏乘 等。 2 3

理18(本小题满分14分) 如图 4,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,点 E , F 分别是边 CD , CB 的 中点, AC
?

EF ? O ,沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF ,连接 PA,PB,PD ,得到如图 5
D

的五棱锥 P ? ABFED ,且 PB ? 10 .
16
A

P
E C F

O

D A B 图5 F E O

B 图4

(1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求二面角 B ? AP ? O 的正切值.

【考查目标】本小题主要考查空间线面位置关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形 结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【答卷分析】 平均分: (1)3.64 【主要别解】 本题对空间线面关系的把握中,最关键的是“将△ CEF 翻折得到△PEF”后由题目给出的数据 PB= 10 得到 PO⊥底面 ABD 的位置关系。因此在题目的开头先由勾股定理逆定理证得 PO⊥底面 ABD 后,不论对第(1)问还是第(2)问解题思路的展开,都非常有用。 【典型错误】 1. 运算能力不足,主要体现有: (1)用向量方法解题时,空间点的坐标计错、法向量计算错误; (2)求出 sin ? 、 cos ? 值后计算 tan ? 错误; 2. 概念运用错误,主要体现有: (1)由面 ABD⊥面 PAO 去证明 PO⊥AO(面面垂直的性质定理运用错误) ; (2)用解法 1( “传统方法” )作出二面角的平面角后,未按定义进行证明,直接计算; (3)用向量法解题时,建系前未证明必要的垂直。如 PO⊥底面 ABD 是本题建立空间直角坐标系的 必要前提,但许多考生未考虑这一条件,就直接建立了坐标系; (4)用向量法解题时,混淆面面角与线面角的求法公式: sin ? ? cos n1 , n2 ; (5)第一问用向量法解题的错误。本题第一问求证命题 BD⊥平面 POA,许多学生用向量的方法解题 时,建系或写点的坐标时已经利用了 BD⊥平面 POA 的条件,犯了循环论证的错误。 3. 表达不规范,主要体现有: (1)不作答。第(2)问题目所求的是二面角 B-AP-O 的正切值,不管是传统方法还是向量法求解出 结果后,都应该回到原题所求的内容作答,许多考生未做到这一点; (2)写成:tan 二面角 B-AP-O=?的(如图) : 【复习建议】 针对评卷过程中学生出现的常见错误,以及高三数学下一阶段复习的要求,提出后阶段的部分 教学建议如下:
17

(2)5.29

合计 8.93

难度:0.64

1.重视计算能力的培养; 2.准确理解数学概念,尤其是对一些常用概念的准确性的把握。比如线面垂直、面面垂直的判定与 性质的内涵和外延;比如用向量法解题时,建立空间直角坐标系的前提条件。 3.重视规范表达的训练,避免因为表达不规范的不必要扣分,同时通过提高表达规范的要求来达到 后阶段训练学生思维条理性的目的。 文19(本小题满分14分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1 , nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? (1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ,使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列? 若存在,求 k 的值; 若不存 在,请说明理由. 【考查目标】本小题主要考查等差数列、数列求通项等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以 及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识. 【答卷分析】 平均分: (1)2.26 【主要别解】 第(1)问:无别解。 第(2)问: Q nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? (2)1.69 (3)0.86 合计 4.81 难度:0.34

n ? n ? 1? * , n ?N . 2

n ? n ? 1? 2 2

??①

? 当 n ? 2 时有: ? n ? 1? Sn ? ? n ? Sn?1 ?

? n ? 1? n ??②

①-②整理得 n ? Sn?1 ? Sn ? ? n ? Sn ? Sn?1 ? ? n

? an?1 ? an ? 1 ? n ? 2? , 又 Q a2 ? a1 ? 1
∴ 数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 , 公差为 1 的等差数列. ∴ an ? 1 ? ? n ?1? ?1 ? n . ∴ an ? n . 第(3)问:假设存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列,

? 2k ? 2k ? 1? ? 2 则 S ? ak ? a4k , 即 ? ? ? k ? 4k . ∴ ? 2k ? 1? ? 4 . 2 ? ?
2

2 2k

∵ k 为正整数, ∴ ?2k ? 1?min ? 2 ?1 ? 1 ? 3 , ∴ ? 2 k ? 1? ? 4 在 k 为正整数时不成立.
2

∴ ?2k ? 1?

?

2

?

min

? 9 ? 4,

18

∴ 不存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列. 【典型错误】 1.步骤不全,跳步漏步.如第(2)问:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ,漏掉 n ? 2 ; 当 n ? 2 时得到 an ? n ,不验证 a1 ? 1 也成立; 2.运算能力薄弱,运算错误频出.如第(1)问:由 S2 ? 3 ,得 a1 ? a2 ? 3 ,又由 a1 ? 1 得 a2 ? 3 ; 第(2)问:数列 ?

Sn S1 1 1 1 ? Sn ? ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? . ? 是首项为 ? 1 , 公差为 的等差数列.∴ 1 2 n 2 2 ?n?

第 (3) 问 , S 2 k 计 算 错 误 , S 2 k ?

2k ?1 ? 2k ? 2k ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 2k ; S 2 k ? ? ? k ? k2 等; 由 4 2 2

? 2k ? 1?

2

3 2 ? 4 得 2k ? 1 ? 2 ,漏写 2k ? 1 ? ?2 ,进而漏掉根 k ? ? ;上一步写 S2 k ? ak ? a4 k ,下一 2
2

? 2k ? 2k ? 1? ? 步就写成 4k ? k ?1 ? 2k ? ,式子右边没有平方;由 S ? ak ? a4k 得 ? ? ? k ? 4k ,个别学 2 ? ?
2
2 2k

生不能根据 k 是正整数两边消去 4 k 2 ,简化运算,而是两边直接平方,由于运算复杂而算错. 3. 公式错误.如,第(2)问:an ? Sn?1 ? Sn ;第(3)问:由 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列,得到 2 S 2 k =

ak ? a4 k 或 2 S 2 k = ak + a4 k .
4.概念不清晰甚至错误.第(2)问:当 n ? 2 时得到 an?1 ? an ? 1 ,. 学生做结论:数列 ?an ? 从第 1 项开始是以 a1 ? 1 为首项,公差为 1 的等差数列, ∴ an ? 1 ? ?n ? 1? ? 1 ? n .说明学生数列的概念不清晰,或者是思维不严谨所致. 第(3)问:把 0,

1 看为正整数,得到存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列的错误结论.说明 2

学生正整数的概念错误. 5. 题意理解错误.第(3)问由题意, ak , S 2 k , a4 k 成等比数列,所以分以下三种情况讨论: (1) S2k ? ak ? a4k ; (2) ak ? S 2k ? a4k ; (3) a4k ? S 2k ? ak .
2

2

2

6.归纳推理不科学,逻辑错误.如第(2)问:由 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3 不加证明的直接得到 an ? n , 或由 a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 1, a4 ? a3 ? 1得到数列 ?an ? 是首项为1公差为1的等差数列,进而得到

an ? n .这显然不是科学的归纳方法.
又如第(2)问: 假设数列 ?an ? 是等差数列, 由 (1) 得, 数列 ?an ? 的公差 d ? a2 ? a1 ? 1 , 首项 a1 ? 1 ,

? an ? 1 ? ?n ? 1? ?1 ? n .
19

?n ? 1??n ? 2? , n?n ? 1? , S n ?1 ? 2 2 ? n ? 1??n ? 2? n?n ? 1? n?n ? 1? ? nS n ?1 ? ?n ? 1?S n ? n ? ? ?n ? 1? ? ? , 2 2 2
? Sn ?

? nSn?1 ? ? n ? 1? Sn ?

n ? n ? 1? 成立, 这从逻辑上是错误的! 由 an ? n ? 由假设得到的 an ? n 成立. 2 ?n ? 1??n ? 2? ,但反之未必成立,即非充要的. n?n ? 1? , S n ?1 ? 可以得到 S n ? 2 2
2 7.说理欠严谨、明晰、充分.如第(3)问: 由 S2 k ? ak ? a4 k 得

? 2k

2

? k ? ? k ? 4k ? ? 2k ? ,因为不存在正整数 k 使得 2k 2 ? k ? 2k ,所以 ? 2k 2 ? k ? ? ? 2k ? ,
2 2 2 2

所以,不存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列.又如由 2k ? k
2

?

?

2

? k ? 4k ? ? 2k ? 得
2

4k 3 ? 4k 4 ? 3k 2 , 因 为 k 为 正 整 数 , 所 以 4k 3 ? 3k 2 , 4k 4 ? 3k 2 , 所 以 4k 3 ? 4k 4 ? 3k 2 , 所 以

? 2k

2

? k ? ? ? 2k ? ,即不存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列.这样的说理证明不严谨、
2 2

不明晰、也不够充分. 【复习建议】 纵观广东省近几年在数列模块的命题特点,数列小题基本为容易或中等难度题目,2012、2013 年文、理卷小题都不难,位置在 11 或 12 小题,2014 年在第 13 小题(也不算难) 。2007~2011 数列 解答题为难题, 位置在 20、 21 题, 其中 2010 年文、 理科数学都没有以解答题形式考查, 2012、 2013、 2014 文、理科数学解答题都放在了第 19 题,难度有所下降。中等以上的学生经过训练可以得到较 好的分数甚至满分。这些题目大都充分利用通项 an 与和 Sn 的关系求通项,求和(文科直接可裂项求 和,理科放缩后裂项求和)或与不等式结合。 基于以上的命题特点和本试卷 19 小题的答卷分析提出以下的复习建议: 1.重视数列中档题(位于大题前 4 题)的训练,拿小题基础分、大题中档分,争取让中等以上的 学生在数列的大题上拿高分甚至满分. 2.强化数列概念、公式、性质的理解、掌握和灵活应用。 3.强化运算能力的提高。运算不只是算,运算过程蕴含着一定的思维活动,既要注重运算的程 序化又要引导学生注意观察运算方向,调整运算思路,简化运算过程,使运算快而准,题目会做又 能做对。 4.重视学生逻辑思维能力的提高,训练学生思维严谨,条理清晰,言之有据的良好思维品质. 5.重视解题过程化归与转化、函数与方程等数学思想方法的渗透和应用,让学生能够在一定高 度把握解题方法。 6.重视典型题型的讲解和掌握,但也要注意典型题型的变化和迁移,防止思维的固化. 7.强化对学生考试细节和做题规范的指导,防止无畏失分. 8.强化审题意思,提高审题能力. 理19(本小题满分14分)
20

已知数列 ?an ? 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2 Sn ? 1, n ?N .
*

(1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k , 使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列? 若存在, 求 k 的值; 若不存在, 请说明理由. 【考查目标】本小题主要考查递推数列、等差数列、数列求通项等知识,考查化归与转化的数学思 想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识. 【答卷分析】 平均分: (1)0.94 【主要别解】 第(2)问: 1. 同解法一得 Sn ? n2 ,? an?1 ? 2 Sn ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2n ? 1(n ? 2) .
2

(2)3.5

(3)1.33

合计 5.77

难度:0.41

而 a1 ? 1 适合上式,故 an ? 2n ?1(n ? N * )
2 2 2 2 2. 同解法二得 an ?1 ? an ? 2an?1 ? 2an ? 0 ?(an?1 ?1) ? (an ? 1)

an ? 0, Sn ? 0 ,? an?1 ? 2 Sn ? 1 ? 1
第(3)问: 同答案方法得 4k ? 6k ? k ? 0 ,
3 2

?an?1 ?1 ? an ? 1 ,即 an?1 ? an ? 2

令 f ( x) ? 3 x3 ? 6 x 2 ? x( x ? 2) ,则 f ?( x ) ? 12 x ? 12 x ? 1 ? 12( x ? ) ? 4 ,
2 2

1 2

当 x ? 2 时 f ?( x ) 单增且 f ?(2) ? 0 ,故 f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 [2, ??) 上单增,而 f (2) ? 6 ? 0 ,且 f (1) ? ?3 ? 0 , 故函数 f ( x ) 没有正整数零点,
∴ 不存在正整数 k ,使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列. 【典型错误】 第(1)问 1. 解法一、解法二在化简得到正确的递推关系过程中没有写 an ? 0 或 Sn ? 0 的条件; 2. 使用 an ? Sn ? Sn ?1 时不写 n ? 2 的条件; 3. 解法二得到 an?1 ? an ? 2 之后直接认为数列 {an } 为等差数列求 an ; 4. 数学归纳法原理不清,格式混乱;
21

5. 解法三数学归纳法假设 n ? k 时 ak ? 2k ? 1之后错误地由等差求和公式得出

Sk ?
第(2)问

(a1 ? ak )k ? k 2 再证得 ak ?1 ? 2k ? 1。 2

1. S2 k ?1 不会计算; 2. 误把 S2k ?12 即 (2k ? 1)4 写成了 (2k ? 1)2 ; 3. (2k ?1)4 ? (2k ?1)(8k ?1) 没有约去 2k ? 1 而展开计算产生错误; 4. (2k ? 1)3 展开式不熟练。 文、理 20(本小题满分 14 分)

x2 ? y 2 ? 1 的顶点, 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点, 两焦点分别为双曲线 C2 : 直线 x ? 2 y ? 0 与 2
椭圆 C1 交于 A , B 两点,且点 A 的坐标为 (? 2, 1) ,点 P 是椭圆 C1 上异于点 A , B 的任意一点, 点 Q 满足 AQ ? AP ? 0 , BQ ? BP ? 0 ,且 A , B , Q 三点不共线. (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 求点 Q 的轨迹方程; (3) 求 ?ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标. 【考查目标】本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、动点轨迹及三角形面积的最值等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、抽象概括能力和运 算能力. 【答卷分析】 文科: 平均分: (1)2.23 理科: 平均分: (1)2.94 【典型错误】 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 审题不清,张冠李戴 ,把椭圆的焦点看成双曲线的焦点。 概念不清,误认为双曲线的顶点有 4 个。 运算能力较差,解方程组中的 a,b 错误率较高。 第(2)问的轨迹方程不会消去参数。误认为四点 APBQ 共圆后,AB 为圆的直径。 注重圆锥曲线概念教学,弄清圆锥曲线基本定义、标准方程,基本量 abc 之间的关系, 数形结合是解析几何的特点,建议教学中学生要作图,辅助解答。 加强运算能力的提高,特别是解二元二次方程组。 学生答题位置出现错位,一阅卷教师在第 20 题处,发现学生有解答第 18 题立体几何、第 19 题
22

(2)0.36 (2)0.82

(3)0.03 (3)0.06

合计 2.62 合计 3.82

难度:0.19 难度:0.27

【教学建议】

数列题、第 21 题函数题。说明学生在考试时紧张、大意,不够理智。 文21(本小题满分14分) 已知 t 为常数,且 0 ? t ? 1 ,函数 g ? x ? ?

1 ? 1? t ? ?x? ? ? x ? 0 ? 的最小值和函数 2? x ?

h ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ? t 的最小值都是函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx (a, b ? R ) 的零点.
(1)用含 a 的式子表示 b ,并求出 a 的取值范围; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上的最大值和最小值. 【考查目标】本小题主要考查函数的最值、函数的导数与函数的零点等知识,考查数形结合、化归 与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、推理论证能力与创新意识. 【答卷分析】平均分: (1)0.44 【主要别解】 第(2)题别解: 由(1)得 f ( x) ? ? x ? ax ? (1 ?
3 2

(2)0.26

合计 0.69

难度:0.05

1 2 1 a ) x , 令 f ?( x) ? ?3 x 2 ? 2ax ? 1 ? a 2 ? 0 2 2

1 2 a ) ? 12 ? 2a 2 , 由 a ? ( 2 ,2) 可得 ? ? 12 ? 2a 2 ? 0 2 1 2 2 故方程 f ?( x) ? ?3 x ? 2ax ? 1 ? a ? 0 有两根,分别为: 2 ? ? 4a 2 ? 12(1 ?

x1 ?

2a ? 12 ? 2a 2 2a ? 12 ? 2a 2 , 由 a ? ( 2 ,2) ,易证 x1 ? x2 ? 1 , x2 ? 6 6

故函数 f ( x) 在 [1,2] 上单调递减, 后略. 【典型错误】 1. 书写错误,如 h( x ) ?

( x ? 1) 2 ? 1 ? t 得 h(t ) min ? 1 ? t ,遗漏根号

2. 审题失误,如将题中“ g ( x) 与 h( x) 各自的最小值为 f ( x) 的零点”理解为“ g ( x) 与 h( x) 各自取 得最小值时 x 的值为 f ( x) 的零点” ;又如由 ?

? f ?( 1 ? t ) ? 0 得 a , b 关于 t 的表达式 ? f ?( 1 ? t ) ? 0

2 3. 运算能力不强,如由 a ? 1 ? 2b 解得 b ?

? f ( 1? t ) ? 0 1 2 a ? 1 ;又如由 ? 代入后解不出 a , b . 2 ? f ( 1? t ) ? 0

【复习建议】 1. 强化配方法、基本不等式法求函数最值 2. 强化问题转化训练,培养化归与转化能力 3. 强化运算求解训练,提高运算的准确性
23

理21: (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

a 2 x ? x ? a ? 0? . 2

(1)若 f ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立,求 a 的取值范围; (2)已知 e 为自然对数的底数,证明: ? n ?N , e ? ?1 ?
*

? ?

1 ?? 2? ? n? 1 ? 2 ? ??? ?1 ? 2 ? ? e . 2 ?? n ?? n ? ? n ?

【考查目标】本小题主要考查函数与导数、不等式证明等知识,考查数形结合、化归与转化、分类 与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、推理论证能力与创新意识. 【答卷分析】 平均分: (1)1.28 (2)0.15 【主要别解】 第(2)问: 合计 1.42 难度:0.1

x x ? ln(1 ? x) 证明:当 x ? 0 时,有 ln(1 ? x ) ? . 1? x 1? x k 2 k k k 令 x ? 2 , k ? 1,2,...,n 则有 ln(1 ? 2 ) ? n , 从而 ? 2 k n n n ?k 1? 2 n
不等式左边证明可以利用函数不等式

ln(1 ?

1 2 n 1 2 n ) ? ln(1 ? 2 ) ? ... ? ln(1 ? 2 ) ? 2 ? 2 ? ... ? 2 2 n n n n ?1 n ? 2 n ?n n(n ? 1) 1 2 n 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 22 ? . 即得证不等式左边。 2 n ?n n ?n n ?n n ?n

【典型错误】 1.计算错误:求导、通分等。 2.第(1)题中将 f ( x) ? 0 等价为 f ' ( x) ? 0 。 3.第(1)题中分类讨论不完整,还有缺少 a=0 的讨论,不看题目条件,把 a<0 也纳入讨论。 4.第(2)用数学归纳法不成功。 5.不等式放缩方向搞反。 【复习建议】 1.强化分类讨论的意识。 2.含参数函数求导,导数正负分析目的不清,需要将求导的原理、目标进一步讲解清楚。 3.综合题各小题之间的联系部分学生缺少经验,不会利用前面的结论,需要向学生强调。 4.数列不等式和函数的转化是一个重要能力,需要强化。 5.数学归纳法适用范围需要给学生讲解。

第三部分 后阶段的复习备考建议 以下几点要求,是对教师提出来的,因为在某种程度上,教师的指导,对学生的冲刺起着导向
24

性的作用. 1.针对学生.不同学校之间,学生的层次不一样,同一间学校的学生也存在不同的差异,备考时内容 的选择、要求的设计一定要结合自己学生的实际情况来定位,而且定位要准,应该思考以下问题: ① 内容的选择与设计要达到什么样的教学目标?② 以什么样的教学方式实现目标? (是学生练?还是 教师讲?还是教师引导学生看书?或是考试?……等等). 2.在选编给学生的练习中,要有选择性的进行取舍,套卷要作一些剪切编辑. 3.对学生所暴露的问题要尽快解决.现在训练和考试的目的在于暴露与发现学生存在的问题及不 足,以便在高考前帮助学生尽可能多地解决这些问题,使学生在高考中少犯错,多得分. 4.要求学生答题规范,教师要做一些示范,结合高考真题讲解得分要点. 5.结合学生实际情况,数列和解析几何应加强训练. 6.要帮助学生提高审题及解决综合题的能力,让学生参与揭示知识发生的全过程,让学生参与 例习题分析的全过程,让学生参与数学思想方法总结的全过程.

执笔人:陈镇民

曾辛金

25



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