9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷(理科)



上海市闵行区七宝中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) .把答案直接填写在答题卷的相 应位置上. 1. (4 分)已知集合 A={0,1,a},B={0,3,3a},若 A∩B={0,3},则 A∪B=. 2. (4 分)复数 在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数 a=.

3. (4 分)在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3?a5,则此数列前 n 项和为. 4. (4 分) 已知偶函数 ( f x) 在 (0, +∞) 上为减函数, 且( f 2) =0, 则不等式 的解集为. 5. (4 分)如图程序框图,若实数 a 的值为 5,则输出 k 的值为.

6. (4 分) 在极坐标系中, 圆 ρ=2 与直线 ρcosθ+ρsinθ=2 交于 A, B 两点, O 为极点, 则

?

=.

7. (4 分)如图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的体积为.

8. (4 分)若二项式(x+ ) 的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等,且第四项的系 数与第六项的系数之比为 1:4,则其常数项为. 9. (4 分)某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润为 8 元.每提 2014-2015 学年高一个档次, 每件利润增加 2 元. 用同样工时, 可以生产最低档产品 60 件, 每提 2014-2015 学年高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是. 10. (4 分)从甲、乙等五人中任选三人排成一排,则甲不在排头、乙不在排尾的概率为. 11. (4 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< )的图象如图所示,为了得到 g

n

(x)=sin2x 的图象,则需将 f(x)的图象向右最小平移个长度单位.

12. (4 分)过点(2 则实数 k 的值为.

,0)且方向向量为(k,1)的直线与双曲线



=1 仅有一个交点,

13. (4 分)某学校随机抽取 100 名学生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘 制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0, 20) ,[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100].则该校学生上学所需时间的均值估计为. (精 确到 1 分钟)

14. (4 分)已知全集为 U,P?U,定义集合 P 的特征函数为 A?U,B?U,给出下列四个结论: ①对?x∈U,有 ;

,对于

②对?x∈U,若 A?B,则 fA(x)≤fB(x) ; ③对?x∈U,有 fA∩B(x)=fA(x)?fB(x) ; ④对?x∈U,有 fA∪B(x)=fA(x)+fB(x) . 其中,正确结论的序号是.

二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) .每小题所给的四个选项中只有一 个是正确的,请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上. 15. (5 分)已知函数 f(x)=2x+1,对于任意正数 a,|x1﹣x2|<a 是|f(x1)﹣f(x2)|<a 成 立的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 16. (5 分)函数 f(x)=3 ﹣log2(﹣x)的零点所在区间是() A. B.(﹣2,﹣1) C.
2 2 x

D.(1,2)

17. (5 分)如果函数 y=|x|﹣1 的图象与方程 x +λy =1 的曲线恰好有两个不同的公共点,则实 数 λ 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1]∪[0,1) B.[﹣1,1) C. {﹣1,0} D. [﹣1, 0)∪(1,+∞) 18. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 ,则下列结论正确的是() A.S2012=2012,a2012<a7 C. S2012=﹣2012,a2012<a7 B. S2012=2012,a2012>a7 D.S2012=﹣2012,a2012>a7 ,

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.每题 解题过程写在该题的答题框内,否则不计分. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 的值; ,求△ ABC 面积的最大值. .

20. (13 分)已知向量 =(x ﹣3,1) , =(x,﹣y) , (其中实数 x 和 y 不同时为零) ,当|x| <2 时,有 ⊥ ,当|x|≥2 时, ∥ . (1)求函数关系式 y=f(x) ; (2)若对任意 x∈(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞) ,都有 m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. 21. (13 分) 如图所示, 在三棱锥 P﹣ABC 中, PD⊥平面 ABC, 且垂足 D 在棱 AC 上, AB=BC= AD=1,CD=3,PD= . (1)证明△ PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值. ,

2

22. (18 分)已知椭圆 x +

2

=1 的左、右两个顶点分别为 A,B,曲线 C 是以 A,B 两点为顶

点, 焦距为 2 的双曲线. 设点 P 在第一象限且在曲线 C 上, 直线 AP 与椭圆相交于另一点 T. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 P,T 两点的横坐标分别为 x1,x2,求证:x1?x2 为定值; (Ⅲ)设△ TAB 与△ POB(其中 o 为坐标原点)的面积分别为 s1 与 s2,且 ﹣s2 的取值范围. 23. (18 分)实数列 a0,a1,a2,a3,…,由下述等式定义:an+1=2 ﹣3an,n=0,1,2,3,… (1)若 a0 为常数,求 a1,a2,a3 的值; (2)令 bn= ,求数列{bn}(n∈N)的通项公式(用 a0、n 来表示) ;
n 2

≤15,求 s1

2

(3)是否存在实数 a0,使得数列{an}(n∈N)是单调递增数列?若存在,求出 a0 的值;若不 存在,说明理由.

上海市闵行区七宝中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) .把答案直接填写在答题卷的相 应位置上. 1. (4 分)已知集合 A={0,1,a},B={0,3,3a},若 A∩B={0,3},则 A∪B={0,1,3,9}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵A∩B={0,3}, ∴a=3, 则 B={0,3,9}, 则 A∪B={0,1,3,9}, 故答案为:{0,1,3,9}, 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (4 分)复数 在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数 a= .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部等于 0 且虚部吧等于 0 求得 a 的值. 解答: 解:∵ 又复数 = ,

在复平面内所对应的点在虚轴上,则 ,即 a= .

故答案为: . 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3. (4 分)在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3?a5,则此数列前 n 项和为 Sn=16(1﹣ ) .

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比中项的性质和已知等式求得 a4,进而求得 q,最后利用等比数列求和公式求 得答案. 解答: 解: ∴a4=1, q=
3

=a3?a5=a4,

= ,

q= ,

∴Sn=

=16(1﹣

) ,

故答案为:Sn=16(1﹣

) .

点评: 本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和公式.基础性很强.

4. (4 分) 已知偶函数 ( f x) 在 (0, +∞) 上为减函数, 且( f 2) =0, 则不等式 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,2) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题. 分析: 偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,所以函数 f(x)在(﹣∞,0) 上为增函数,且 f(﹣2)=0,故抽象不等式可转化为具体不等式,故可求. 解答: 解:由题意,不等式 等价于



等价于



∵偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数,且 f(﹣2)=0, ∴ 或

∴不等式

的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,2)

故答案为: (﹣∞,﹣2)∪(0,2) . 点评: 本题考查解不等式,考查单调性与奇偶性的结合,确定函数的单调性是解题的关键. 5. (4 分)如图程序框图,若实数 a 的值为 5,则输出 k 的值为 5.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 n,k 的值,当 n=1,k=5 时,满足条件 n=1,退 出循环,输出 k 的值为 5. 解答: 解:执行程序框图,有 n=5,k=0 不满足条件 n 为偶数,n=16,k=1 不满足条件 n=1,满足条件 n 为偶数,n=8,k=2 不满足条件 n=1,满足条件 n 为偶数,n=4,k=3 不满足条件 n=1,满足条件 n 为偶数,n=2,k=4 不满足条件 n=1,满足条件 n 为偶数,n=1,k=5 满足条件 n=1,退出循环,输出 k 的值为 5. 故答案为:5. 点评: 本题主要考察了循环结构的程序框图和算法,属于基本知识的考查.

6. (4 分) 在极坐标系中, 圆 ρ=2 与直线 ρcosθ+ρsinθ=2 交于 A, B 两点, O 为极点, 则

?

=0.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 化极坐标方程为直角坐标方程,联立方程组求得 A,B 的坐标,由数量积的坐标运算 得答案. 2 2 解答: 解:由圆 ρ=2,得 x +y =4, 由直线 ρcosθ+ρsinθ=2,得 x+y=2.

联立

,得







?

=(2,0)?(0,2)=2×0+0×2=0.

故答案为:0. 点评: 本题考查简单曲线的极坐标方程化直角坐标方程,考查了方程组的解法,训练了平 面向量数量积的坐标运算,是基础题. 7. (4 分)如图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的体积为 (2+ )π.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 分别计算圆锥和圆柱的体积,即可得出结论. 解答: 解:由题意,圆锥的高为 圆柱的体积为 π?1 ?2=2π, ∴该组合体的体积为(2+ 故答案为: (2+ )π. )π.
2

,体积为

=

π,

点评: 本题考查圆锥和圆柱的体积,考查学生的计算能力,比较基础.
n

8. (4 分)若二项式(x+ ) 的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等,且第四项的系 数与第六项的系数之比为 1:4,则其常数项为 1120. 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由题意可得 n,写出二项展开式的通项,求出第四项的系数与第六项的系数,由系数 比求得 a 值,再由 x 的指数为 0 求得 r 值,则常数项可求. 解答: 解:由二项式(x+ ) 的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等,可得二项展 开式有 9 项,则 n=8. 由 = ,
n

当 r=3 时,可得第四项的系数为

,当 r=5 时,可得第六项的系数为





,解得 a=±2.

由 8﹣2r=0,得 r=4. ∴常数项为: .

故答案为:1120. 点评: 本题考查二项式系数的性质,关键是对二项展开式通项的记忆与应用,是基础题. 9. (4 分)某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润为 8 元.每提 2014-2015 学年高一个档次, 每件利润增加 2 元. 用同样工时, 可以生产最低档产品 60 件, 每提 2014-2015 学年高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是 9 档次. 考点: 函数最值的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 档次提高时, 带来每件利润的提高, 产量下降, 第 k 档次时, 每件利润为[8+2 (k﹣1) ], 产量为[60﹣3(k﹣1)],根据:利润=每件利润×产量,列函数式,利用配方法求函数的最值, 即可得到结论. 解答: 解:由题意,第 k 档次时,每天可获利润为:y=[8+2(k﹣1)][60﹣3(k﹣1)]=﹣ 2 6k +108k+378(1≤x≤10) 2 配方可得 y=﹣6(k﹣9) +864, ∴k=9 时,获得利润最大 故答案为:9 档次 点评: 本题考查二次函数,考查利用数学知识解决实际问题,属于基础题.

10. (4 分)从甲、乙等五人中任选三人排成一排,则甲不在排头、乙不在排尾的概率为



考点: 计数原理的应用. 专题: 概率与统计;排列组合. 分析: 先根据排列组合求出没有限制条件的种数,再根据分类计数原理,求出甲不在排头、 乙不在排尾的种数,根据概率公式计算即可. 3 解答: 解:从甲、乙等五人中任选三人排成一排,故有 A5 =60, 甲不在排头、乙不在排尾,可以分 4 类, 1 1 1 有甲有乙时,若甲在排尾,则有 A2 A3 =6 种,若甲在中间,则有 A3 =3 种,故有 6+3=9 种, 1 2 有甲无乙时,有 A2 A3 =12 种, 1 2 无甲有乙时,有 A2 A3 =12 种, 3 无甲无乙时,有 A3 =6 种, 根据分类计数原理,共有 9+12+12+6=39, 根据概率公式, 故则甲不在排头、乙不在排尾的概率为 P= = .

故答案为:



点评: 本题考查了古典概型的概率问题,以及分类计数原理,关键是如何分类,属于中档 题.

11. (4 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< (x)=sin2x 的图象,则需将 f(x)的图象向右最小平移

)的图象如图所示,为了得到 g 个长度单位.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 首先根据函数的图象确定 A、ω、φ 的值,进一步确定解析式,然后利用函数图象的 平移变换求得结果. 解答: 解:根据函数的图象:A=1 T= 所以:ω=2 当 x= 由于|φ|< 解得: f(x)=sin(2x+ ) 个单位即可. )

要得到 g(x)=sin2x 的图象,则需将 f(x)的图象向右最小平移 故答案为:

点评: 本题考查的知识要点:函数图象解析式的求法,函数图象的平移变换,属于基础题 型.

12. (4 分)过点(2 则实数 k 的值为 0 或±

,0)且方向向量为(k,1)的直线与双曲线 .



=1 仅有一个交点,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据直线的方程可知直线恒过(2 ,0)点,进而可推断出要使直线与双曲只有 一个公共点,需直线与双曲线相切或与渐近线平行,进而根据双曲线方程求得其渐近线方程, 求得 k 的值. 解答: 解:依题意可知直线 l 恒过(2 ,0)点, 即双曲线的右顶点,双曲线的渐近线方程为 y=± x,

要使直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线相切, 即垂直于 x 轴,即有 k=0; 当直线与渐近线平行, 即有 =± ,即 k=± ,

此时直线与双曲线仅有一个交点. 故答案为:0 或± . 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个 公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题, 此时 要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 13. (4 分)某学校随机抽取 100 名学生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘 制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0, 20) , [20, 40) , [40, 60) , [60, 80) , [80, 100]. 则该校学生上学所需时间的均值估计为 33.6. (精 确到 1 分钟)

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,可由直方图中各个小矩形的面积和为 1 求出 x 值.根据直方图求平均值的 公式,各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值,将它们相加即可得到平均值 解答: 解:解:由直方图可得(x+0.025+0.0065+0.003×2)×20=1.所以 x=0.0125. 该校学生上学所需时间的均值估计为: 10×20×0.0125+30×20×0.025+50×20×0.0065+70×20×0.003+90×20×0.003=33.6 分钟. 故该校新生上学所需时间的平均值为 33.6 分 故答案:33.6.

点评: 本题考查频率分布直方图,解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及 各个小矩形的面积和为 1,本题考查了识图的能力

14. (4 分)已知全集为 U,P?U,定义集合 P 的特征函数为 A?U,B?U,给出下列四个结论: ①对?x∈U,有 ;

,对于

②对?x∈U,若 A?B,则 fA(x)≤fB(x) ; ③对?x∈U,有 fA∩B(x)=fA(x)?fB(x) ; ④对?x∈U,有 fA∪B(x)=fA(x)+fB(x) . 其中,正确结论的序号是①、②、③. 考点: 全称命题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用特殊值法,先设出特殊的集合 U,A,B,然后再验证判断四个命题的真假即可 得出答案. 解答: 解:利用特殊值法进行求解. 设 U={1,2,3},A={1},B={1,2}.那么: 对于①有 fA(1)=1,fA(2)=0,fA(3)=0,f =1.可知①正确; 对于②有 fA(1)=1=fB(1) ,fA(2)=0<fB(2)=1,fA(3)=fB(3)=0 可知②正确; 对于③有 fA(1)=1,fA(2)=0,fA(3)=0,fB(1)=1,fB(2)=1,fB(3)=0,fA∩B(1) =1,fA∩B(2)=0,fA∩B(3)=0.可知③正确; 对于④有 fA(1)=1,fA(2)=0,fA(3)=0,fB(1)=1,fB(2)=1,fB(3)=0,fA∪B(1) =1,fA∪B(2)=1,fA∪B(3)=0 可知.④不正确; 故答案为:①、②、③. 点评: 本题考查集合的基本运算,特值法判断选项的正误能够快速解答选择题,理解题意 是本题解答的关键. 二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) .每小题所给的四个选项中只有一 个是正确的,请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上. 15. (5 分)已知函数 f(x)=2x+1,对于任意正数 a,|x1﹣x2|<a 是|f(x1)﹣f(x2)|<a 成 立的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 (1)=0,f (2)=1,f (3)

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 综合题. 分析: 由|x1﹣x2|<a 不能推出|f(x1)﹣f(x2)|<a;而由|f(x1)﹣f(x2)|<a,能推出|x1 ﹣x2|<a,由简易逻辑的知识可得正确答案. 解答: 解:由|x1﹣x2|<a,得|f(x1)﹣f(x2)|=|(2x1+1)﹣(2x2+1)|=2|x1﹣x2|<2a, 不能推出|f(x1)﹣f(x2)|<a; 而由|f(x1)﹣f(x2)|<a 得,2|x1﹣x2|<a,即|x1﹣x2| ,当然能推出|x1﹣x2|<a

故|x1﹣x2|<a 是|f(x1)﹣f(x2)|<a 成立的必要非充分条件, 故选 B 点评: 本题考查充要条件,关键是看|x1﹣x2|<a 能否推出|f(x1)﹣f(x2)|<a;|f(x1)﹣ f(x2)|<a 能否推出|x1﹣x2|<a,属基础题. 16. (5 分)函数 f(x)=3 ﹣log2(﹣x)的零点所在区间是() A. B.(﹣2,﹣1) C. D.(1,2)
x

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. x 分析: 要判断函数 f(x)=3 ﹣log2(﹣x)的零点所在区间,我们可以利用零点存在定理, 即函数 f(x)在区间(a,b)上若 f(a)?(b)<0,则函数 f(x)在区间(a,b)上有零点, 分析四个区间,易得答案. 解答: 解:∵f(﹣2)=3 ﹣log22<0 f(﹣1)=3 ﹣log21= ﹣0= >0 ∴f(﹣2)?f(﹣1)<0 x ∴函数 f(x)=3 ﹣log2(﹣x)在区间(﹣2,﹣1)必有零点 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,牢固掌握零点存在定理,即函数 f (x)在区间(a,b)上若 f(a)?(b)<0,则函数 f(x)在区间(a,b)上有零点,是解答 本题的关键. 17. (5 分)如果函数 y=|x|﹣1 的图象与方程 x +λy =1 的曲线恰好有两个不同的公共点,则实 数 λ 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1]∪[0,1) B.[﹣1,1) C. {﹣1,0} D. [﹣1, 0)∪(1,+∞) 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用绝对值的几何意义,由 y=|x|﹣1 可得,x≥0 时,y=x﹣1;x<0 时,y=﹣x﹣1, 2 2 确定函数 y=|x|﹣1 的图象与方程 x +λy =1 的曲线必相交于(±1,0) ,为了使函数 y=|x|﹣1 的 2 2 图象与方程 x +λy =1 的曲线恰好有两个不同的公共点,则两曲线无其它交点.y=x﹣1 代入方
2 2
﹣1 ﹣2

程 x +λy =1,整理可得(1+λ)x ﹣2λx+λ﹣1=0,分类讨论,可得结论,根据对称性,同理可 得 x<0 时的情形. 解答: 解:由 y=|x|﹣1 可得,x≥0 时,y=x﹣1;x<0 时,y=﹣x﹣1, 2 2 ∴函数 y=|x|﹣1 的图象与方程 x +λy =1 的曲线必相交于(±1,0) 2 2 所以为了使函数 y=|x|﹣1 的图象与方程 x +λy =1 的曲线恰好有两个不同的公共点,则 2 2 2 y=x﹣1 代入方程 x +λy =1,整理可得(1+λ)x ﹣2λx+λ﹣1=0 当 λ=﹣1 时,x=1 满足题意, 由于△ >0,1 是方程的根,∴
2 2

2

2

2

0,即﹣1<λ<1 时,方程两根异号,满足题意;
2

y=﹣x﹣1 代入方程 x +λy =1,整理可得(1+λ)x +2λx+λ﹣1=0 当 λ=﹣1 时,x=﹣1 满足题意, 由于△ >0,﹣1 是方程的根,∴ 0,即﹣1<λ<1 时,方程两根异号,满足题意;

综上知,实数 λ 的取值范围是[﹣1,1) 故选 B. 点评: 本题考查曲线的交点,考查学生分析解决问题的能力,考查分类讨论的数学思想, 属于中档题.

18. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 ,则下列结论正确的是() A.S2012=2012,a2012<a7 C. S2012=﹣2012,a2012<a7 B. S2012=2012,a2012>a7 D.S2012=﹣2012,a2012>a7



考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先确定等差数列的公差 d<0,再将条件相加,结合等差数列的求和公式及等差数列 的性质,即可求得结论. 解答: 解:由 , 可得 a7﹣1>0,﹣1<a2006﹣1<0,即 a7>1,0<a2006<1,从而可得等差数列的公差 d<0 ∴a2012<a7, 3 3 把已知的两式相加可得(a7﹣1) +2012(a7﹣1)+(a2006﹣1) +2012(a2006﹣1)=0 2 2 整理可得(a7+a2006﹣2)?[(a7﹣1) +(a2006﹣1) ﹣(a7﹣1) (a2006﹣1)+2012]=0 2 2 结合上面的判断可知(a7﹣1) +(a2006﹣1) ﹣(a7﹣1) (a2006﹣1)+2012>0 所以 a7+a2006=2,而 s2012= (a1+a2012)= (a7+a2006)=2012 ,

故选 A. 点评: 本题考查了等差数列的性质的运用,灵活利用等差数列的性质是解决问题的关键, 属于中档题.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.每题 解题过程写在该题的答题框内,否则不计分. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 的值; ,求△ ABC 面积的最大值. .

考点: 余弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)通过 求出 ,利用二倍角以及三角形的内角和化简

,即可求出它的值; (Ⅱ)利用 ,结合余弦定理,求出 a,c 的关系,通过基本不等式求出 a,c,然后求出 三角形的面积最大值. 解答: (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 又 = + = .…(6 分) ,所以 .…(1 分) =

(II)由已知得 又因为 又因为 所以 ac≤6,当且仅当 此时 所以△ ABC 的面积的最大值为 ,所以 ,

,…(7 分) .…(8 分)

时,ac 取得最大值.…(11 分) . .…(13 分)

点评: 本题考查二倍角公式,余弦定理,基本不等式的应用,考查计算能力.
2

20. (13 分)已知向量 =(x ﹣3,1) , =(x,﹣y) , (其中实数 x 和 y 不同时为零) ,当|x| <2 时,有 ⊥ ,当|x|≥2 时, ∥ . (1)求函数关系式 y=f(x) ; (2)若对任意 x∈(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞) ,都有 m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;平面向量数量积的运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据向量垂直和向量平行的坐标公式即可求函数关系式 y=f(x) ; (2)根据不等式恒成立转化为求函数 f(x)的最大值即可得到结论. 解答: 解: (1)当|x|<2 时,由 ⊥ 可得: ? =(x ﹣3)x﹣y=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1’ ∴y=x ﹣3x(|x|<2 且 x≠0)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3’ 当|x|≥2 时,由 ∥ 可得:y=﹣ = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
3 2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’

∴f(x)=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6’ (2)由题意知 m≥f(x)= ,当 x∈(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞)恒成立,

∴m≥f(x)max,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣7’ 当 x∈(﹣∞,﹣2)时,f(x)= 而当当 x∈[2,+∞)时,f(x)<0 ∴f(x)= 的最大值必在(﹣∞,﹣2]上取到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ >0,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8’ 当 x1<x2≤﹣2 时,f(x1)﹣f(x2)= <0,

即函数 f(x)在(﹣∞,﹣2]上单调递增,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’ ∴f(x)max=f(﹣2)=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’ ∴实数 m 的取值范围为[2,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13’ 点评: 本题主要考查函数解析式的求解以及向量平行和垂直的坐标公式,将不等式恒成立 转化为求函数的最值是解决恒成立问题的基本策略. 21. (13 分) 如图所示, 在三棱锥 P﹣ABC 中, PD⊥平面 ABC, 且垂足 D 在棱 AC 上, AB=BC= AD=1,CD=3,PD= . (1)证明△ PBC 为直角三角形; ,

(2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (1)建立空间坐标系,利用向量法即可证明△ PBC 为直角三角形; (2)求出平面的法向量,利用向量法即可求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值. 解答: 解: (1)以点 E 为坐标原点,以 EB,EC 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立如图的空 间直角坐标系 E﹣xyz﹣﹣﹣﹣﹣1’ 则 B( ,0,0) ,C(0,2,0) ,P(0,﹣1, )﹣﹣﹣﹣2’ 于是 ∵ ∴ ? ⊥ =(﹣ =(﹣ , ,﹣1, ,﹣1, ) , =(﹣ ,2,0) , ,2,0)=2﹣2=0,

)?(﹣

即 BP⊥BC,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’ ∴△PBC 为直角三角形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6’ (2)由(1)可得,A(0,﹣2,0) 于是 =( =(0,1, ,1,﹣ ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’ ) , =(0,3,﹣ ) ,

设平面 PBC 的法向量为 =(x,y,z) 则 ,即 ,x= , ,1, )﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,

取 y=1,则 z=

∴平面 PBC 的一个法向量为 =(

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10’ 设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 θ, 则 sinθ=|cos< , >|= = = ,

则 θ=arcsin

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

则直线 AP 与平面 PBC 所成角的大小为 arcsin ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13’

点评: 本题主要考查空间向量的应用,建立空间坐标系,利用向量法是解决直线和平面所 成角的基本方法,考查学生的运算能力.

22. (18 分)已知椭圆 x +

2

=1 的左、右两个顶点分别为 A,B,曲线 C 是以 A,B 两点为顶

点, 焦距为 2 的双曲线. 设点 P 在第一象限且在曲线 C 上, 直线 AP 与椭圆相交于另一点 T. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 P,T 两点的横坐标分别为 x1,x2,求证:x1?x2 为定值; (Ⅲ)设△ TAB 与△ POB(其中 o 为坐标原点)的面积分别为 s1 与 s2,且 ﹣s2 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由椭圆性质求出 A(﹣1,0) ,B(1,0) .由题意知双曲线的焦距 2c= 实半轴 a=1,由此能求出双曲线 C 的方程.
2

≤15,求 s1

2



(Ⅱ)设点 P(x1,y1) ,T(x2,y2) (x1>0,x2>0) ,则直线 AP 的方程为 y=k(x+1) ,代入 ,得(4+k )x +2k x+k ﹣4=0,由此能证明为 x1?x2 为定值. (Ⅲ)由已知条件推导出 取值范围为[0,1]. 解答: (Ⅰ)解:∵椭圆 x +
2 2 2 2 2



,从而得到 1<x1≤2,由此能求出



=1 的左、右两个顶点分别为 A,B,

∴A(﹣1,0) ,B(1,0) . ∵曲线 C 是以 A,B 两点为顶点,焦距为 2 ∴双曲线的焦距 2c= ,实半轴 a=1, ∴ .

的双曲线,

∴双曲线 C 的方程为



(Ⅱ)证明:设点 P(x1,y1) ,T(x2,y2) (x1>0,x2>0) , 直线 AP 的斜率为 k(k>0) ,则直线 AP 的方程为 y=k(x+1) , 代入 ,
2 2 2 2

整理,得(4+k )x +2k x+k ﹣4=0, 解得 x=﹣1 或 ,

所以



同理将直线方程代入

,解得





为定值.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知, 又 ∴ , ,即 ,



∵点 P 在双曲线上,则 ∴ ,即

, ,

又点 P 是双曲线在第一象限内的点,∴1<x1≤2, ∵ 所以. 由(Ⅱ)知 x1?x2=1,即, 设 ∴ ,则 1<t≤4, , , ,



在(1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增, .

∴当 t=4,即 x1=2 时, 当 t=2,即 ∴ . 的取值范围为[0,1].

点评: 本题考查曲线方程的求法,考查两数乘积为定值的证明,考查两三角形面积的平方 差的取值范围的求法,解题时要注意函数与方程思想的合理运用. 23. (18 分)实数列 a0,a1,a2,a3,…,由下述等式定义:an+1=2 ﹣3an,n=0,1,2,3,… (1)若 a0 为常数,求 a1,a2,a3 的值; (2)令 bn= ,求数列{bn}(n∈N)的通项公式(用 a0、n 来表示) ;
n

(3)是否存在实数 a0,使得数列{an}(n∈N)是单调递增数列?若存在,求出 a0 的值;若不 存在,说明理由. 考点: 数列递推式;数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. n 分析: (1)由 an+1=2 ﹣3an,分别令 n=0,1,2 即可得出; (2)由 bn= ,an+1=2 ﹣3an,可得 bn+1﹣
n

bn= 可得出; (3) an=

=

,利用“累加求和”、等比数列的前 n 项和公式即

+

, 可得 an+1﹣an=﹣4
*

(﹣3) +

n



要使{an}为递增数列,则 an+1﹣an>0 对任意 n∈N 恒成立,对 a0 分类讨论即可得出. n 解答: 解: (1)∵an+1=2 ﹣3an, ∴a1=1﹣3a0,a2=2﹣3a1=﹣1+9a0,a3=7﹣27a0. (2)由 bn= ,an+1=2 ﹣3an,
n

∴bn+1﹣bn=

=



∴bn+(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1) +b1= + +…+ + +b1

=b1

=b1﹣ ×

=b1+



∴bn=﹣

+
n

=a0﹣ + = (﹣3) +
n

. + ,
*

(3)an=(﹣3) ∴an+1﹣an=﹣4



要使{an}为递增数列,则 an+1﹣an>0 对任意 n∈N 恒成立, 当 a0> 时,∵|﹣3|>2,∴当 n→+∞且 n 为偶数时,an+1﹣an<0; 当 a0> 时,∵|﹣3|>2,∴当 n→+∞且 n 为奇数时,an+1﹣an<0; 而当 时,则 an+1﹣an= >0 对任意 n∈N 恒成立,
*

∴存在实数 a0= ,使得数列{an}是单调递增数列. 点评: 本题考查了递推式的应用、等比数列的前 n 项和公式、数列的单调性、分类讨论思 想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.



更多相关文章:
上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷(理科) Word版含解析
上海市闵行区七宝中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) .把答案直接填写在答题卷的相 应位置上...
上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷(理科)
上海市闵行区七宝中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) .把答案直接填写在答题卷的相 应位置上...
上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷(理科)
上海市闵行区七宝中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) .把答案直接填写在答题卷的相 应位置上...
上海市七宝中学2015届高三下学期高考前冲刺模拟数学试题
上海市七宝中学2015届高三下学期高考前冲刺模拟数学试题_数学_高中教育_教育专区。高三数学最终模拟(理科) 2015.6 一. 填空题 1. 两数 2 和 4 的几何平均数...
上海市七宝中学高三模拟考试数学试题(理科)
上海市七宝中学高三模拟考试数学试题(理科)_数学_高中教育_教育专区。2011 年上海市七宝中学高三模拟考试数学试题(理答) 一、填空题(本大题满分 56 分) 1.函数...
上海市闵行区七宝中学2016届高三上学期10月月考数学试题
上海市闵行区七宝中学2016届高三上学期10月月考数学试题_数学_高中教育_教育专区。七宝中学高三月考数学试卷一、填空题: 1、设全集 U ? {1,3,5,7} ,集合 ...
七宝中学2014年5月高三数学理科模拟试题
七宝中学 2014 年5月高三数学模拟试题(理科) 一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空 格内直接填写结果,每个空格填对得 4...
2015年七宝中学高三第一学期期中考试数学试题 (2)
4 2015 年七宝中学高三第一学期期中考试 数学试题答案(理科) 4n ? 14 1 2 2 2 ;3、 ;4、 x ? ( ,1] ;5、 ; 5 2 3 3 1、 [0,1] ;2、 ...
2015年上海市七宝中学高一第一学期第一次月考数学试卷(含答案)
2015年上海市七宝中学高一第一学期第一次月考数学试卷(含答案)_数学_高中教育_教育专区。七宝中学高一月考试卷 2015.10 一. 填空题(每题 4 分,共 48 分) ...
更多相关标签:
上海市闵行区七宝老街    上海闵行区七宝镇    闵行区七宝镇    上海市闵行区七宝镇    上海闵行区七宝医院    闵行区七宝中心幼儿园    闵行区七宝    闵行区七宝镇人民政府    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图