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3.1.1不等关系与不等式(1)


一、新课引入
现实世界和日常生活中 ,既有相等关系,又存 在 着大量的不等关系.如 :两点之间线段最短; 三 角形两边之和大于第三 边;两边之差小于第三 边 ;长与短、高与矮、轻 与重、大与小、不超过 或 不少于等,都描述了客 观事物在数量上存在的 不 等关系.

相等只是相对的,不等 才是绝对的!

二、新课讲解

40

实例1.限速40km / h的路标, 指示司机在前方路段行 驶时, 应使汽车的速度 不超过40km / h. v 实例2.某品牌酸奶的质量检查 规定, 酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量 应不少于2.3% p . 思考 :

(1)以上两个不等关系中的 不等词? 不超过, 小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、

不少于 (2)将以上两个不等关系用 不等式(组)表示? ? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%

不少于、不多于、至多、最多、至少、最少

v ? 40

二、新课讲解
例1.某市政府准备投资 1800 万元兴办一所中学经调 . 查, 班级数量以20至30个为宜, 每个初高中班硬件配 置分别为28万元与58万元, 该学校的规模(初高中班 级数量)所满足的条件是什么 ?

设该校有初中班x个,高中班y个,则有
?20 ? x ? y ? 30 ? ?28x ? 58y ? 1800

练1.用不等式表示下面的不 等关系:

(1)a与b的和是非负数 ;

(2)某公路立交桥对通过车 辆的高度h"限高4m";

二、新课讲解
(3)如图, 在一个面积为 m 的矩形地基上建造一 350 个仓库,四周是绿地仓库的长L大于宽W的4倍. .
2

问题 1: 某杂志以每本 2 元的价格发行时, 发 行量为 10 万册. 经过调查, 若价格每提高 0.2 元,发行量就减少 5000 册.要使杂志社的销 售收入大于 22.4 万元,每本杂志的价格应定 在怎样的范围内?

这个数学问题又怎么解决?
分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 x?2 ? ? ? 0.5 ? x 万元。那么不等关系“销售的 ?10 ? 0.2 ? ? 总收入 大于 22.4 万元”可以表示为不等式 x?2 ? ? ? 0.5 ? x >22.4 ?10 ? 0.2 ? ?

这是一个解不等式的问题

问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好?

分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根, 截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: ⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; ⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; ⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
?500 x ? 600 y ≤ 4000 ? 由以上不等关系,可得不等式组: ?3x ≥ y ? ?x ≥ 0 ?y≥0 ?

这是一个二元一次不等式组的问题

不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥(≦) 、≤(≧) 、≠. (2)解析式是指: 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R.

那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发, 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.

首先从实数大小比较说起……

对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a = b,a<b 三种关系中有且仅有一种成立.
判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 作差比较法 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:

作差

变形

判断

结论
因式分解、配方、 通分等手段

例 1.比较 ( x 2 ? 1) 2 与 x 4 ? x 2 ? 1 的大小.
解: ∵ ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1)
? x4 ? 2 x 2 ? 1 ? ( x 4 ? x 2 ? 1) ? x2

作差

变形

x ? R , ∴ x2 ? 0 ∵

定符号
确定大小



( x ? 1) ? ( x ? x ? 1)
2 2 4 2

(当x=0时取“=”)

!

对于" ? "或" ? "的问题, 既要防止" ? "的遗漏, 又 要说明何时取到" ? ".

课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 ? 2) 2 _____ 6 ? 2 6; < ⑵ ( 3 ? 2) 2 ____( 6 ? 1) 2 ; < 1 1 < ⑶ ______ ; 5?2 6? 5

> ⑷若0 ? a ? b , log 1 a ____ log 1 b.
2 2

小结:

不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥(≦) 、≤(≧) 、≠. (2)解析式是指: 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R.

判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

作业:P75-A组:2T、4T.



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