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(广东专用)理基础知识总复习名师讲义:



第六节

数列的综合问题

在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用相 关知识解决相应的问题.

知识梳理 一、等差、等比数列的一些重要结论 1.等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 2.等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq. 3.等差数列{a

n}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm,S2m- Sm,S3m-S2m,S4m - S3m,……仍为等差数列. 4.等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm,S2m- Sm,S3m-S2m,S4m - S3m,……仍为等比数列(m 为偶数且公比为- 1 的情况除外). 5.两个等差数列{an}与{bn}的和、差构成的数列{an+bn}, {an-bn}仍为等差数列. 6 .两个等比数列 {an} 与 {bn} 的积、商、倒数构成的数列 ? ?an? ? ? ?1? ? ? ? {an·bn}, ,? ?仍为等比数列.
?bn? ? ? ?bn? ? ?

7.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数 列. 8.等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数 列. 9.若{an}为等差数列,则{can}(c>0)是等比数列. 10.若{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn}(c>0 且 c≠1)是等 差数列. 二、几个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设 法:a-3d,a-d,a+d,a+3d. 三个数成等比的设法: ,a,aq;四个数成等比的设法: 3,

a q

a q

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a 3 2 ,aq,aq (因为其公比为 q >0,对于公比为负的情况不能包括). q
三、用函数的观点理解等差数列、等比数列 1.对于等差数列 an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数,对应的点(n,an)是位于直线上的若 干个离散的点;当 d>0 时,函数是单调增函数,对应的数列是 单调递增数列;当 d=0 时,函数是常数函数,对应的数列是常 数列;当 d<0 时,函数是减函数,对应的数列是单调递减数列. 2 若等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn=pn +qn(p,q∈R).当 p=0 时,{an}为常数列;当 p≠0 时,可用二次函数的方法解决 等差数列问题. n-1 2.对于等比数列 an=a1q ,可用指数函数的性质来理解. 当 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列{an}是单调 递增数列; 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0,q>1 时,等比数列{an}是单调 递减数列; 当 q=1 时,是一个常数列; 当 q<0 时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列. 四、数列应用的常见模型 1.等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该 模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差. 2.等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的 数时,该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比. 3.递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系 不固定,随项的变化而变化时,应考虑是 an 与 an-1 的递推关系, 或前 n 项和 Sn 与 Sn-1 之间的递推关系. 基础自测 1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4 =b4=1,则下列结论正确的是( ) A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6 解析:设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,

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3 由题可得 d=-1, q= 答案:A

2 3 ,于是 a2=3>b2=2 2.故选 A. 2

2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),关于数列{an}有下 列三个命题: ①若数列{an}既是等差数列又是等比数列,则 an=an+1; 2 ②若 Sn=an +bn(a,b∈R),则数列{an}是等差数列; n ③若 Sn=1-(-1) ,则数列{an}是等比数列. 这些命题中,真命题的个数是( ) A .0 B.1 C.2 D.3 解析:①不妨设数列{an}的前三项为 a-d,a,a+d,则其 2 2 2 又成等比数列, 故 a =a -d , ∴d=0, 即 an=an+1, 为真命题. ② 由 Sn 的公式,可求出 an=(2n-1)a+b,故{an}是等差数列,为 n-1 真命题. ③由 Sn 可求出 an=2×(-1) , 故数列{an}是等比数列, 为真命题.故选 D. 答案:D 3.在数列{an}和{bn}中,bn 是 an 与 an+1 的等差中项,a1=2 * 且对任意 n∈N 都有 3an + 1 - an = 0 ,则数列 {bn} 的通项公式为 ____________. 答案:bn=4·3 (n∈N ) 4. 一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存 2KB, 然后每 3 分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的 2 倍,那 么开机后经过 ________ 分钟,该病毒占据 64MB 内存 (1MB = 10 2 KB). 解析:依题意可知:a0=2,a1=2 ,a2=2 ,…,an=2 , 10 16 n+1 16 64MB=64×2 =2 KB,令 2 =2 ,得 n=15.∴开机后 45 分钟 该病毒占据 64MB 内存. 答案:45
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2 3 -n *

*

n +1

1. (2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q, 记 bn=am(n -1) +1+ am(n- 1)+2 +…+ am(n-1)+m ,cn = am(n-1) +1·am(n-1)+ 2·…·am(n-1) + * ) m(m,n∈N ),则以下结论一定正确的是( m A.数列{bn}为等差数列,公差为 q 2m B.数列{bn}为等比数列,公比为 q 2 C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm n D.数列{cn}为等比数列,公比为 qm 解析:∵bn=am(n-1)(q+q +…+q ) bn+1 amn q+q2+…+qm amn m ∴ = = =q (常数).而 bn 2 m bn am n- q+q +…+q am n- +1-bn 不是常数. ? m+1? m 1+2+…+m ?m a q 又∵cn=(am(n-1)) q =? , m n - ? 2 ? ? ? ∴
2

m

amn cn+1 ? =? cn ? ?am n-

?m m m 2 ? ? = (q ) = qm ( 常数 ) .而 ?

cn + 1 - cn 不是常

数.故选 C. 答案:C 1 2 2.(2012·江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n + 2 * kn(其中 k∈N ),且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 an; ? ?9-2an? ? ?的前 n 项和 Tn. (2)求数列? n ? 2 ? ? ? 1 2 * 解析:(1)当 n=k∈N 时,Sn=- n +kn 取最大值,即 8= 2 1 2 1 2 9 2 - k +k = k ,故 k=4,从而 an=Sn-Sn-1= -n(n≥2).又 2 2 2

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a1=S1= 符合上式,∴an= -n(n∈N*).
(2)令 bn= +…+ 9-2an n 2 3 = n-1,则 Tn=b1+b2+…+bn=1+ + 2 n 2 2 2 2

7 2

9 2

n-1
2
n-2

+ n-1, 2

n

1 1 n 1 n ∴Tn=2Tn-Tn=2+1+ +…+ n-2- n-1=4- n-2- n-1=4 2 2 2 2 2 n+2 - n-1 . 2

1.(2013·广州二模)数列{an}的项是由 1 或 2 构成,且首 项为 1,在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 2,即数列 {an} 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列 {an}的前 n 项和为 Sn,则 S20=__________; S2 013=__________. 解析:设 f(k)=2k-1,则数列为 1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…, 所以前 20 项中共有 16 个 2,4 个 1,所以 S20=16×2+4×1 =36. 记第 k 个 1 与其后面的 k 个 2 组成第 k 组, 其组内元素个数 记为 bk,则 bk=2k, b1+b2+…+bn=2+4+…+2n=n(n+1)<2 013, 而 46×45=2 080<2 011,47×46=2 162>2 013, 故 n=45 即前 2 011 项中有 45 个 1 以及 1 968 个 2,所以 S2 013=45+1 968×2=3 981. 答案:36 3 981 2.已知数列{an},{bn}中,对任何正整数 n 都有 a1b1+a2b2 n +a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)·2 +1. (1)若数列{bn}是首项为 1 和公比为 2 的等比数列,求数列 {an}的通项公式. (2) 若数列 {an} 是等差数列,数列 {bn} 是否是等比数列?若 是,请求出通项公式;若不是,请说明理由.
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(3)求证:?
i=1

n

3 < . aibi 2
n-1

1

(1)解析:依题意,数列{bn}的通项公式为 bn=2 , n 由 a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)·2 +1, n-1 可 得 a1b1 + a2b2 + a3b3 + … + an - 1bn - 1 = (n - 2)·2 + 1(n≥2), n-1 两式相减,可得 an·bn=n·2 ,即 an=n. * 当 n=1 时,a1=1,从而对一切 n∈N ,都有 an=n. * 所以数列{an}的通项公式是 an=n(n∈N ). (2)解析:(法一)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. n-1 由(1)得 an·bn=n·2 , n·2n-1 (n≥2). 即 bn= a1+ n- d n-1 n·2n-1 2 ∴b n = = . a1-d +nd a1-d +d

n

bn+1 是一个与 n 无关的常数,当且仅当 a1=d≠0,即当 bn 等差数列{an}满足 a1=d≠0 时,数列{bn}是等比数列,其通项公
要使 2 式是 bn=
n-1

d



当等差数列{an}满足 a1≠d 时,数列{bn}不是等比数列. (法二)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+ (n-1)d. n-1 由(1)得 an·bn=n·2 , n·2n-1 (n≥2). 即 bn= a1+ n- d 若数列{bn}是等比数列,则 bn+1 2[dn2+a1n+ a1-d = , bn dn2+a1n 要使上述比值是一个与 n 无关的常数,需且只需 a1=d≠0, 即当等差数列{an}满足 a1=d≠0 时,数列{bn}是等比数列,其通
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2 项公式是 bn=

n-1

d



当等差数列{an}满足 a1≠d 时,数列{bn}不是等比数列. n-1 (3)证明:由(1)知 anbn=n·2 ,

? aibi=1×1+2×2+3×2 +4×2 +…+n×2n i
2 3 =1

n

1

1

1

1

1

1

-1



? aibi<1×1+2×2+2×2 +2×2 +…+2×2n i
2 3 =1

n

1

1

1

1

1

1

-1

1 1 1 = + + 1 4 8

?1?n-2 ? 1-? ?2? 1 1 1 3 ? ? × ≤ + + = (n≥3), 1 1 4 4 2 1- 2 1 3 当 n=1 时, =1< , a1b1 2 1 1 1 5 3 当 n=2 时, + =1+ = < , a1b1 a2b2 4 4 2

故?
i=1

n

3 < . aibi 2

1

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