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同角三角函数的基本关系及其应用方法


同角三角函数的基本关系应用方法
闫会林 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件, 随时可以拿来应用, 这就需要学 生们非常熟练的掌握这种关系, 能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。 我们已经知道了三角函数的定义:

任意角 ? 的终边上取点 P,设点 P 的坐标为(x,y) ,OP=r,我们定义

x x 叫做角?的余弦,记作 ?,即cos? ? ; cos r r y y 叫做角?的正弦,记作 ?,即sin? ? ; sin r r y y 叫做角?的正切,记作 ?,即tan? ? 。 tan x x
因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式: (1) 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,即同一个正角的正弦、余弦的平方和等 于 1. (2)商数关系:
sin ? ? tan ? ,即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的 cos ?

正切。 注意: 同角三角函数的基本关系式当且仅当 ? 的值使等式两边都有意义时才能成
“? 立。 在应用平方关系时, 常用到平方根, 算数平方根和绝对值的概念, 应注意 ”

的选取。

考查题型一 已知一个三角函数值,求两外两个三角函数值。
4 例 1:若 sin ? ? ? , 且?是第三象限角,求 cos ? , tan ?的值。 5 解析:

4 ? sin ? ? ? , ?是第三象限角, 5 3 ? 4? ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? , 5 ? 5?
2 2

tan? ?

sin ? 4 ? 5? 4 ? ? ??? ? ? cos? 5 ? 3? 3

分析:此类题型属于较易题型,在 ? 角象限确定的情况下,三角函数值得正负也 就确定了,若角所在象限不确定,则应分类讨论。
cos 题型二 已知 tan ? 的值,求关于 sin ?、 ? 的齐次分式时,可将求值式变为关
1

于的代数式,此方法可称为弦化切。 4 sin ? ? 2 cos ? 例题 2:已知 tan ? ? 2 ,则 = 5 cos ? ? 3 sin ? 4 sin ? ? 2 cos ? 解析:由题意可得, cos ? ? 0 ,把 上下同时除以 cos ? ,得到 5 cos ? ? 3 sin ? 4 tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 6 ? ? 。 5 ? 3 tan ? 5 ? 3 ? 2 11 例 3:已知 tan ? ? 2 ,求
2 sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? 4 sin 2 ? ? 3 cos2 ?

解析:将分子、分母同时除以 cos2 ? 得
原式 ? 2 tan2 ? ? tan? ? 1 2 ? 22 ? 2 ? 1 11 ? ? 。 4 tan2 ? ? 3 4 ? 22 ? 3 13

例 4:已知 tan? ? 3, 求sin 2 ? ? 3sin ? cos? ? 1 的值。 解析:? tan? ? 3, sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,

? 原式 ? sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos? ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) 2 sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 tan2 ? ? 3 tan? ? 1 ? 1 ? tan2 ? ?1
注:如果已知一个角的正切值,我们利用同角三角函数的基本关系式,可以联立 求出正弦、余弦的值,代入也可以解得此类题型的答案,但是相比之下不如用弦 化切的方法简单,所以,弦化切的方法是一个基本技巧,需要学生掌握。 题型三 三角函数的化简 在对三角函数化简时,在题设的条件下,首先应合理利用有关公式,还要明确化 简的基本要求是使结果尽可能地简单。对化简的一般要求是: (1)项数要最少; (2)次数要最低; (3)函数种类要最少; (4)分母不含根号; (5)能求值的要求值。 例 5:化简: 解析:原式=

cos360 ? 1 ? cos2 360 1 ? 2 sin 360 cos360
cos 36 0 ? sin 2 36 cos 36 0 ?sin 36 0 2

= cos 36 0 ?sin 36 0
2

cos 36 0 ?sin 36 0

=cos 36 0 ?sin 36 0 =1 注:此题中首先需要利用凑完全平方式,去根式。其次 一定要判断正余弦三角函数的大小。判断方法,我们只需根据三角函数线判断終 边在第一象限与第三象限时三角函数值的大小即可。 第二象限及第四象限的角的 0 正余弦值一正一负很容易判断。口诀:0 < < 45 ,余弦大;45 < < 900 , 正弦大;1800 < < 2250 ,正弦大,2250 < < 2700 ,余弦大。 例 6:化简: 1 ? 2sin4cos4 解析:原式= sin2 4 + cos2 4 ? 2sin4cos4 =
5

cos 36 0 ?sin 36 0

sin4 ? cos4
6

2

= sin4 ? cos4 因为4 π < 4 < 4 π 所以根据三角函数线知道: cos 4 > sin 4 所以原式=cos 4 ? sin 4 题型四 注意 1 的妙用,在同角三角函数关系中,sin2 α + cos 2 α = 1,可变形成 sin α + cosα 2 ? 2 sin α cosα = 1,期中sin α + cos α与sin α cos α很容易与一元二 次方程中的韦达定理产生联系。若以sin α、cos α为两根构造一元二次方程,则 可利用上述关系解决相关问题。 例题 7:已知:sin θ + cos θ = 5 ,θ ∈ 0,π ,求值: 1 tanθ; 2 sin θ ? cosθ. 解析:? sin θ + cos θ = 5,θ ∈ 0,π 。 ∴ sin θ + cos θ
2 1 1

= 25 ,即sin2 θ + cos2 θ + 2 sin θ cos θ=25

1

1

∴ sin θ cos θ=? 25 < 0 sin θ > 0, < 0,且sin θ , cos θ是方程x 2 ? 5 x ? 25 = 0的两根。 解方程得x1 = 5 , x2 = ? 5, ∴ sin θ = 5 , cosθ = ? 5. ∴ 1 tanθ = cos θ = ? 3. 2 sin θ ? cosθ = 5. 方法总结:同角三角函数的解题方法: (1)弦化切 (2)1 的妙用 (3)对于已知sin α ± cos α = 型的问题,将两边平方。 (4)利用韦达定理,将sin α , cos α看做一元二次方程的两根
3
7 sin θ 4 4 3 4 3 1 12

12

灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形能力,进一步掌握 化归思想方法。 练习:
1.若 sinα

4 = 5 ,且 α

是第二象限角,则 tanα 的值等于(



4 A.- 3
2.已知 sinα +cosα

3 B. 4 1 = 5 ,且 0≤α 3 B.- 4
4 4

3 C.± 4
<π ,那么 tanα 等于( )

4 D.± 3

4 A.- 3

3 C. 4
) D.±1

4 D. 3

3.若 sin α +cos α =1,则 sinα +cosα 等于( A.±

2

B.1

C.-1

二、填空题

cos ? ? 2 sin? 2 cos ? ? 3 sin? 的值为____________. 4.若 sinα +3cosα =0,则

5.已知 tanα 三 解答题

1 =2,则 sin ? cos ?

=____________.

6 已知 sinα=m(|m|<1) ,求 tanα,cosα.

7 已知 tanθ

+cotθ =2,
3 3

求:(1)sinθ ·cosθ 的值;(2)sinθ +cosθ 的值;(3)sin θ +cos θ 的值.

4

答案:一、1.A sin ? 4 从而 tanα = cos ? =- 3 .

3 根据 α 是第二象限角,由平方关系可得 cosα =- 5 ,

2.A

解方程组

1 ? ?sin ? ? cos ? ? 5 ? ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?

4 3 ? ? ?sin ? ? 5 ?sin ? ? ? 5 ? ? ? ? ?cos ? ? ? 3 ?cos ? ? 4 ? 5 或? 5 ? 得?

4 3 4 又因为 0≤α <π , 故取 sinα = 5 , 这时 cosα =- 5 , 求得 tanα =- 3 .

3.D

∵ ( sin α + cos α ) = sin α + cos α + 2sin α cos α = 1 +

2

2

2

4

4

2

2

2sin2α cos2α ,sin2α +cos2α =1 ∴sin2α cos2α =0sinα cosα =0 当 sinα =0 时,cosα =±1 当 cosα =0 时,sinα =±1. ∴所以 sinα +cosα =±1.
5 二、 - 11 4. 5 5. 2 5 1 ? 2 tan ? 1 ? 6 ? 由已知可得 tanα =-3, 于是原式= 2 ? 3 tan ? 2 ? 9 =- 11 .

sin 2 ? ? cos 2 ? 1 1 5 1 sin? ? cos ? = sin ? cos ? =tanα + tan ? =2+ 2 = 2 .

三、6 解:(1)当-1<m<1,且 m≠0 时,
2 2 若 α 在第一、四象限,则 cosα = 1 ? sin ? ? 1 ? m ,

m m 1 ? m2 sin ? 2 2 tanα = cos ? = 1 ? m = 1 ? m ;
2 若 α 在第二、三象限,则 cosα =- 1 ? m ,

sin ? ? m 1 ? m 2 ? 1 ? m2 tanα = cos ? .
(2)若 m=0,则 α =kπ (k∈Z), ∴tanα =0,cosα =±1. 点评:当已知角 α 的一个三角函数值为字母时,应对 α 分类讨论.

7.解:(1)∵tanθ +cotθ

sin ? =2,∴ cos ?

cos ? + sin ?

sin 2 ? ? cos 2 ? =2, sin ? ? cos ? =2

∴sinθ ·cosθ

1 =2;
5

(2)∵(sinθ +cosθ ) =sin θ +2sinθ ·cosθ +cos θ

2

2

2

1 =1+2× 2 =2
与 cosθ 同号,从而 sinθ +cosθ =

又 tanθ +cotθ =2>0,可得 sinθ ·cosθ

1 = 2 >0,故 sinθ

? 2 当?为第一象限角 ? ? ?? 2 当?为第三象限角 ? ;

(3) ∵sin θ +cos θ = (sinθ +cosθ ) (sin θ -sinθ ·cosθ +cos θ ) =

3

3

2

2

1 2

(sinθ +cosθ )

? 2 当?为第一象限角 ? ? 2 ? 2 ? ?? 2 当?为第三象限角 3 3 ∴sin θ +cos θ = ?

6


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