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上海市2016届高考数学模拟测试试题 理(新疆班)



上海市新疆班 2016 届高考模拟测试数学(理科)试题
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.方程 log 2 x ? ?

1 的解为 2

x?

2 2



2. 若线性方程组的增广矩阵为 ? 3.设全集为 U 实数集 R ,

? 2 3 c1 ? ?x ? 3 ,则 c1 ? c2 ? ? 、解为 ? y ? 5 0 1 c ? ? 2?

16



M ? {x || x |? 2} , N ? {x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0} , 则图中阴影部分

所表示的集合是 N ? {x |1 ? x ? 2} . 4. 若 sin ? : sin

?
2

? 5 : 3 ,则 cos ? ?

7 . 18

3
5. 把三阶行列式 x ? a

7 4

1

5 2 中元素 7 的代数余子式记为 f ?x ? ,若关于 x 的不等式 0 x
1 .

f ?x ? ? 0 的解集为 ?? 1, b? ,则实数 a ? b ?

6.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? (3cos ? ? 4sin ? ) ? 1 ,则 C 与极轴的交点

1 到极点的距离是 . 3
7. 执行如图 2 所示的程序框图,若输入数据 n ? 5 , a1 ? ?2 , a2 ? ?2.6 ,

开始 输入n, a1 , a2 ,? , an

S ? 0, i ? 1

a3 ? 3.2 , a4 ? 2.5 , a5 ? 1.4 ,则输出的结果为 0.5 。
8. 一个袋中装有 5 个球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 个,用 ? 表示 取出的 3 个球中最大编号,则 E? = 4.5 .
S?

? i ? 1? ? S ? ai
i
i ? i ?1


9. 在平面直角坐标系中, A( 3,1) , B 点是以原点 O 为圆心的单位圆上的动点,

i ? n?


??? ? ??? ? 则 | OA ? OB | 的最大值是

3 .

输出 S 结束

10.已知函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f

?1

1 ( x) ,若函数 y ? f ( x) ? 的图像 x

图2

1

经过点 (1, 2) ,则函数 y ?

1 4 ? f ?1 ( x) 的图像必过点 (3, ) . x 3

11.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成立, 若 f (1) ? 2 ,则 f (2015) 等于 ?2 . 12.在等比数列 {an } 中,a7 是 a8 , a9 的等差中项, 公比 q 满足如下条件:?OAB( O 为原点) 中, OA ? (1,1) , OB ? (2, q) , ? A 为锐角,则公比 q 等于-2. 13.已知点 Q 2 2, 0 及抛物线 y ?

??? ?

??? ?

?

?

x2 上一动点 P ? x0 , y0 ? , 则 y0 ?P Q 4

的最小值为

2 .

14.设函数 f ? x ? ? x? ? 1?? ? Q ? 的定义域为 ? ?b, ?a? ? ? a, b? , 其中 0 ? a ? b .若函数 f ? x ? 在区 间 ? a, b? 上的最大值为 6,最小值为 3,则 f ? x ? 在区间 ? ?b, ?a ? 上的最大值与最小值之和 为 ?5 或 9 . 二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.) 15.设 z1 ,z2 ? C , 则 “ z1 、z2 中至少有一个数是虚数” 是 “ z1 ? z2 是虚数” 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 16.将 y ? cos ? 2 x ? B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ( B )

? ?

??

? 则平移后图像的一个对称中心是 ( A ) ? 的图像向右平移 4 个单位, 4?
?? ? ,0? ?8 ?
C. ?

A. ?

? 3? ? ,0? ? 8 ?

B. ?

? 3? ? ,0? ? 4 ?

D. ?

?? ? ,0? ?4 ?

17.设 f ? x ? 与 g ? x ? 是定义在同一区间 ? a, b? 上的两个函数,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 则称 f ? x ? 和 g ? x ? 在 ? a, b? 上是 “关联函数” , 区间 ? a, b? x ? ? a, b? 上有两个不同的零点, 称为“关联区间”.若 f ? x ? ? x ? 3x ? 4 与 g ? x ? ? 2x ? m 在 ?0,3? 上是“关联函数”,
2

则 m 的取值范围为 A. ? ? , ?2?

( A ) B. ? ?1,0? C. ? ??, ?2?
2

? 9 ? 4

? ?
2

D. ? ?

? 9 ? , ?? ? ? 4 ?[

18.记方程①x +a1x+1=0, ②x +a2x+1=0,③x +a3x+1=0,其中 a1,a2,a3 是正实数,当 a1, a2,a3 成等比数列,下列选项中,正确的是( C )
2

2

A.若方程②③都有实根则方程①无实根 ; B.若方程②③都有实根则方程①有实根; C.若方程②无实根但方程③有实根时,则方程①无实根; D.若方程②无实根但方程③有实根时,则方程①有实根; 三、解答题:(本大题满分 74 分,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 .) 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小 题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 7 分.

CE 为圆 O 的直径, 如图, 正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD , 线段 CD
为圆 O 的弦, AE 垂直于圆 O 所在平面. (1)求证: CD ? 平面 AED ; (2)设异面直线 CB 与 DE 所成的角为

? 且 AE ? 1 ,将 ?ACD (及其内部)绕 AE 所 6

在 直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积. 解: (1) 证明: 因为 CE 为圆 O 的直径, 所以 ?CDE ? 即 CD ? ED ????2 分 又因为 AE 垂直于圆 O 所在平面, 所以 CD ? AE ? ?4 分 又 CD ? ED 所以 CD ? 平面 AED ?????5 分 (2)由题意知,将 ?ACD (及其内部)绕 AE 所在直线旋 转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差. 因为异面直线 CB 与 DE 所成的角为

?
2



B A C O D E

? ? ,且 CB // DA ,所以 ?ADE ? ,?????7 分 6 6

又因为 AE ? 1 ,所以,在 Rt ?AED 中, DE ? 3 , DA ? 2 ?????????9 分 在 Rt ?CDE 中, CD ? DA ? 2 , DE ? 3 ,所以 CE ? 7 ??????????10 分 所以该几何体的体积 V ?

1 1 4 ? ? CE 2 ? AE ? ? ? DE 2 ? AE ? ? ????????12 分 3 3 3

20. (本题满分 14 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? cos ? A ? B ? ,sin ? A ? B ? ,
? ? 3 n ? ? cos B, ? sin B ? ,且 m ? n ? ? . 5 (1)求 sin A 的值;

?

?

?

?

3

(2)若 a ? 4 2, b ? 5 ,求角 B 的大小及向量 解:(1)由 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? 0 ? sin A ?



方向上的投影. ?3 分

4 ?6 分 5

(2)由

a b b 2 ? 8分 ? ? sin B ? sin A ? sin A sin B a 2

又a ? b ? A ? B ? B ?

?
4

?10 分

2 2 2 由余弦定理,得 (4 2) ? 5 ? c ? 2 ? 5c ?

3 ? c ? 1 或 ?7 (舍) ?12 分 5
?14 分

则 BA 在 BC 方向上的投影为

?? ?

?? ?

21.(本题满分 14 分)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ,点 P 是抛物线上横坐 标为 3 的点,且 P 到抛物线焦点 F 的距离等于 4 . (1)求抛物线 的方程; (2)过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线 l1 , l 2 , l1 与抛物线交于 A 、 B 两点,

l2 与抛物线交于 C 、 D 两点, M 、 N 分别是线段 AB 、 CD 的中点,求△ FMN 面积的最
小值.

p (1)抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的准线为 x ? ? ,(1 分) 2 p 由题意, 3 ? ? 4 , p ? 2 . ??????(4 分) 2
2

B P C O F A N D

·

M

所以所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x .

???????(5 分)

(2) F (1 , 0) ,由题意,直线 l1 、 l 2 的斜率都存在且不为 0 ,(1 分) 设直线 l1 的方向向量为 (1 , k ) ( k ? 0 ),则 (1 , k ) 也是直线 l 2 的一个法向量,

x ?1 y ? ,即 y ? k ( x ? 1) , ???????(2 分) 1 k 1 直线 l 2 的方程为 ( x ? 1) ? ky ? 0 ,即 y ? ? ( x ? 1) . ????????(3 分) k
所以直线 l1 的方程为 由?

? y2 ? 4x , 2 2 2 2 得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 , ??????????(4 分) ? y ? k ( x ? 1)

4

则M? ?1 ?

? ?

2 2? , ?. k2 k ? ?

?????????????????????(5 分)

同理可得 N 1 ? 2k 2 , ? 2k .

?

?

??????????????????(6 分)
2 2

所以, S ?FMN

1 1 ? 2 ? ?2? 2 2 2 ? | FM | ? | FN |? ? ? ? ? ? ? (2k ) ? (?2k ) 2 2 ? k2 ? ? k ?
??????????????????????(8 分)

1? ? ? 2? k ? ? ? 4 . k? ?

所以,当且仅当 k ? 1 时,△ FMN 的面积取最小值 4 . ???????(9 分) 22.(16 分)已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x0 ,使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则 称 x0 为函数 f ( x) 的局部对称点. (1)若 a 、 b ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? a 必有局部对称点;(2)若函 数 f ( x) ? 2x ? c 在区间 [?1,2] 内有局部对称点 ,求实数 c 的取值范围; (3)若函数 f ( x) ? 4x ? m ? 2x?1 ? m ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围. 解: (1)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? a 得 f (? x) ? ax2 ? bx ? a ??1 分 代入 f (? x) ? f ( x) ? 0 得, ax2 ? bx ? a ? ax2 ? bx ? a ? 0 ,
2 得到关于 x 的方程 ax ? a ? 0 ( a ? 0 ),??2 分 2 其中 ? ? 4a ,由于 a ? R 且 a ? 0 ,所以 ? ? 0 恒成立??3 分

?

? ?

?

所以函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? a ( a ? 0 )必有局部对称点。??4 分
x ?x x ?x (2 )方程 2 ? 2 ? 2c ? 0 在区间 [?1,2] 上有解,于是 ? 2c ? 2 ? 2 ??5 分

x 设 t ? 2 ( ? 1 ? x ? 2 ),

1 ? 2c ? t ? ??7 分 t
10 分 (3) f (? x) ? 4
?x

1 ? t ? 4 ,??6 分 2 1 17 其中 2 ? t ? ? ??9 分 t 4

所以 ?

17 ? c ? ?1 ?? 8

? m ? 2? x?1 ? m ? 3 ,??11 分
?x

由于 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,所以 4 分

? m ? 2? x?1 ? m ? 3 ? ?(4x ? m ? 2x?1 ? m ? 3) ??12

5

于是 (4x ? 4? x ) ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2(m ? 3) ? 0 ??(*)在 R 上有解??13 分 令 2 x ? 2 ? x ? t ( t ? 2 ),则 4 x ? 4 ? x ? t 2 ? 2 ,??14 分 所以方程(*)变为 t 2 ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在区间 [2,??) 内有解,需满足条件:

2m(t ?1) ? t 2 ? 8


所以 2m ?

t 2 ? 8 (t ? 1)2 ? 2(t ? 1) ? 7 7 ? ? (t ? 1) ? ? 2 ??15 t ?1 t ?1 t ?1

即 2m ? ?4 ? m ? ?2 ,??16 分

23.已知有穷数列 {an } 各项均不相等 ,将 {an } 的项从大到小重新排序后相应的项数 构成新 .... ..... 数列 { pn } ,称 { pn } 为 {an } 的“序数列”.例如数列: a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a3 ? a2 ,则其序 数列 { pn } 为 1,3,2 . (1)写出公差为 d (d ? 0) 的等差数列 a1 , a2 ,L , an 的序数列 { pn } ;
n (2)若项数不少于 5 项的有穷数 列 {bn } 、{cn } 的通项公式分别是 bn ? n ? ( ) ( n ? N * ),

3 5

cn ? ?n 2 ? tn ( n ? N * ),且 {bn } 的序数列与 {cn } 的序数列相同,试求数列 {bn } 的
最大项并求实数 t 的取值范围;
n * (3)若有穷数列 {d n } 满足 d1 ? 1 , | d n ?1 ? d n |? ( ) (n ? N ) ,且 {d 2 n ?1} 的序数列单调

1 2

递减, {d 2 n } 的序数列单调递增,求数列 {d n } 的通项公式. 解:(1)当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 n, n ? 1,L , 2,1 ;????????..2’ 当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 1, 2,L , n ? 1, n ????????..4’
n (2)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) ?

3 5

3 ? 2n ,????????..5’ 5

当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn?1 ? bn , 又因 b1 ?

3 3 3 3 4 , b3 ? 3 ? ( ) , b4 ? 4 ? ( ) , b4 ? b1 ? b3 , 5 5 5

即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ? L ? bn , 故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4,L , n ,?? ??????..8’

6

所以对于数列 {cn } 有 2 ?

t 5 ? , 2 2

解 得: 4 ? t ? 5 ????????..10’ (3)由于 {d 2 n ?1} 的序数列单调递减,因此 {d 2 n ?1} 是递增数列,故 d 2 n?1 ? d 2n?1 ? 0 ,于是

(d 2n?1 ? d 2n ) ? (d 2n ? d 2n?1 ) ? 0 ,
2n 2 n ?1 而( ) ? ( ) ,所以 | d 2n?1 ? d 2n |?| d 2n ? d 2n?1 | ,从而 d 2n ? d 2n?1 ? 0 ,

1 2

1 2

1 ( ?1) 2 n d 2 n ? d 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?1 ? 2 n ?1 2 2

(1) ????????..12’

因为 {d 2 n } 的序数列单调递增,所以 {d 2 n } 是递减数列,同理可得 d 2n?1 ? d 2n ? 0 ,故

1 (?1) 2 n ?1 d 2 n ?1 ? d 2 n ? ?( )2 n ? 2 22 n
由(1) (2)得: d n ?1 ? d n ? 于是

(2) ????????..14’

( ?1) n ?1 ????????..15’ 2n

d n ? d1 ? (d 2 ? d1 ) ? (d 3 ? d 2 ) ? ? ? (d n ? d n?1 ) ? ???????..16’
1 1 ( ?1) n 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 ? ? 2 2 2 2 4 1 ( ?1) n ? ? 3 3 2 n ?1 4 1 ( ?1) n ? ? n ?1 ( n ? N * )????????.18’ 3 3 2

1 1 ? ( ? ) n ?1 2 ????????.17’ 1 1? 2

?

即数列 {d n } 的通项公式为 d n ?

7



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