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浅谈二次函数在高中阶段的几个应用



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高校理科研究

浅谈二次函数在高巾盼段硇几个应用
苏州旅游与财经高等职业技术学校 庄春
[摘要]本文通过5个例题的分析,介绍了二次函数在函数概念、最值以及一元二次方程根中的一些应用。
[关键词]二次函数 高中 应用

二次函数作为一种简单而基本的函数类型,不论在初中还是高中都 非常重要,也是初高中具体数学内容中联系最密切的内容。在初中阶 段,学生研究的函数以二次函数为重点,师生重视,掌握得较好,但这部分 内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,二次

函数虽然不是作为独立的一个章节来单独讨论,但它在其他知识点中 却有着重要的应用,下面就它的几个应用做一下浅析。
一、二次函数与函数概念 图2 如图3所示,若顶点横坐标在区间It,t+1].E时,有t≤l≤t+1,即0≤ t≤1。当x=l时,函数取得最小值f(x)。=“1)=1。

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后重新学习了函数的
概念,主要是用映射观点来阐明函数的,这时就可以利用学生已经有

一定了解的二次函数为例,来更好地认识函数的概念。函数是从一个 集合A(定义域)到另一集合B(值域)上的映射f:A—B,使得集合B中
的元素y与集合A的元素x对应,记为y=f(x)。二次函数的解析式是 f(x)=ax2+bx+c,即对应法则是ax2+bx+c,而f(x)=ax2+bx+c也表示定义域中

的元素x在值域中的像,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认
识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题: 问题1:已知f(x)=x2-x,求f(x一1)。
图3

f(x—1)表示当自变量为x一1时的函数值,而题目已经给出自变量为
x时的函数值,所以只要将x替换成x一1,即得自变量是x一1的函数值, f(x一1)=(x一1)2-(x-1)=x2—3x+2

如图4所示,若顶点横坐标在区间It,t+11右侧时,有t+l<l,即t<O。

当x=t+l时,函数取得最小值“x)。。=f(t+1)=t2+1。 |
_l

问题2:设f(x+1)=x2_4x+1,求f(x)。 这个问题理解为,已知对应法则f下,定义域中的元素x+l的像是
x2—4x+1,求定义域中元素x的像,其本质是求对应法则。 一般有两种方法:


11




(1)把所给表达式表示成x+l的多项式。 f(x+1)=】(2—4x+1-(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+l得“x)=x2—6x+6 f2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+l,则x爿一1.’.f(t)=(t一1)2-4(t一1)+l=t2-6t+6从而f(x)=x乙6x+6 二、二次函数与最值

h/


tO t+l

图4

f(t一1)2+1,t>I

综上讨论,f(x)Ⅱin_{l,
It2+1.

o≤t≤1
t<0

求函数的最值是高中数学的一个重要知识点,是每年高考必考内 容之一。虽然求函数最值的方法有多种,但是利用二次函数求最值的方 法是最基本的方法之一,是每个考生所共识的基础知识。但学生在利用
这一方法解题时常常会出现忽略函数的定义域,对函数单调性的实质

认识、对复合函数的二次函数型忽视变量的取值范围,对含参数的二次 函数最值问题不会分类讨论等错误。
问题3:已知2x2≤3x,求函数ffx)=x2+x+l的最值。
^ o

首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上 或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最 小值的情况也随之变化,所以一定要根据函数的定义域来确定最值,如 果定义域是动区间,则只要将区间与对称轴的相对位置分类讨论即可。 三、二次函数与方程根的讨论 函数与方程的思想,是数学高考考查的热点,也最能反映学生的综

解:由已知2x2≤3x,可得o≤x≤÷,即函数f(x)是定义在区间}o,÷}

L 、2 1

合素质,有利于发展学生的创新思维能力,二次函数与方程的根帆寸论
也贯穿于函数问题考查的始终。
问题5:已知二次函数f(x)=“2+bx+l(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的 两个实数根为x。和X2。 《1)如果xt<2<Xz<4,设函数“x)的对称轴为X=Xo,求证:xo>一l;

二J

上的二次函数。将二次函数配方得“x)=fx+了1}+},其对称轴方程x=一
上, 斗
1 o

},顶点坐标(-},}),且图像开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 二 叶/ Z
o ,1

(2)如果}x,}也,lX2-x。l=2,求b的取值范围。 分析:本题主要考查函数与方程的思想,利用数形结合考查根的分
布等综合运用所学知识的能力。

Io,÷{内,如图1所示。函数f(x)的最小值为“o)=1,最大值为ff÷1_
L L J

\二/


4。 9

解:(1)设g(x)=“x)一x=ax2+(b一1)x+l(a>O)
由条件X1<2<x2<4得,g(2)<0,g(4)>0





R.r。4。6aa+竺:要o,解得:丁3—4a<b<}一2a

① ②

} 、.

————


0 1 3


显然必有}一4a<b<下1—2a,得a>}

①÷(-2嘏:4一蠢。>_等>l一寺,故)【0=一芸>1一古>-1,结论成立。
(2)由方程g(x)=ax2+(b一1)x+l=O可得x。?X2=上>O,t,.“xz同号
1)若0<x.<2,则x2-x。=2(负根舍去)
.‘.X2=xl+2>2



图1

问题4:如果函数f(x):(x一1)2+1定义在区间It,t+1]上,求f(x)的最小
值。 解:函数fOO=(x一1)2+l,其对称轴方程为x=l,顶点坐标为(1,1),图 象开口向上。 如图2所示,若顶点横坐标在区间It,t+1]左侧时,有l<t。当x=t时,

.’.g(2)<O,即4a+2b—l(O



又(X2--XI)z=尘弓竖一孚=4
.?.2a+l=、佰i砰;F(-a>O,负根舍去)

函数取得最小值“xk=《t)=(1-1)2+l。

代入③式可得,2、/面丽<3—2b

解得b<i1一。(下转第78贞)

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高校理科研究

活灵活用级数
广东工业大学华立学院公共基础部 邹雪霞 邹立萍
[摘要]本文运用例题的形式,从求极限、无穷项之和、定积分三个方面简单归纳总结了级数知识的活灵活用。 [关键词]级数极限无穷项之和定积分

级数是微积分的一个重要知识,它在微积分中不是孤立的一个枝 节,而是与其他各部分知识相互融会贯通。如何活灵活用级数知识来求 解微积分中的知识呢,本文就以例题的形式来简单归纳总结级数知识 的灵活巧用。 一、用级数求极限

由sinx=0,得x=0,±w,±2Ⅱ,-+31r,……,所以,x=±Ⅱ,_+2-tr,士3w,……时

1一署+酉X4一可X6+可X8…+(一1)“i互筹雨+..._。,x=t亿±2m’土3"…,。
令t=x2代如上式,得

如果级数艺u。收敛,贝t]lim un=O。故运用级数收敛的必要条件,可
以求解极限。

例1求极限!恶意暑铥塞暑勰,其中b>a>o。

t一奇+鲁一鲁+鲁…+(一驴面it丽n+..一。
此方程的根为t(+w)2,(±2竹)2,(+3竹)2,……,由韦达定理知,此方程根 的倒数NN--次NN数的负值,即

解考虑级数釜Un=萋器器黼,因为
f!±!l【呈!±!!…f!!±!)【(!±!)!±!]

了1+丽1+丽1+..‘+击+...-蚩
所以1+多+}”’+}+.-一丁,,fl-2。
7y法--运用傅立叶级数知识。

li。旦吐:li。坠!jf;鲢!)…幽±业堕地±!】

一un…

i!±!ji!!±!』…(!!±!j (b+1)(2b+1)…(nb+1)

=一lim篙}糌=}d
所以,级数∑n=l
=0。

设x2按余弦展成傅立叶级数为x2_争+圣ancosnx其中

un收敛,因此有!鲤un=O,即!现丧暑笼筹黼


ao=手n证手竹2
an-吾』?x‰n哦=“2_[x。2 sinnx+。2:xcosnx-5 sinnx]:

同样运用级数收敛的必要条件,可求lim羔:0。
函数级数在收敛域内可以求其和函数,故可以先求和函数,再求极 限的方法,来解决极限的一些题目。

=砉’砉nc。sn忙(-U“孑4
所以x毡丁1

w2+萋(一1)n}cosnx。

例2求极限牌(上a+了2a …\ a+.‘+争),其中a>l。
玎/

取x=叮r代人上式,得”2=}叮r2+蕃(一1)“≯4(一1)“,即圣丁1=詈。
x…,

解考虑级数萋}x¨,该级数收敛域为(-a,a)。令s(x)=蕃万n


三、用级数求定积分

e(氇a),两边同时对上式积分,得

例4求积分』:1ln+x。dx。
e(一l,1) 解因为-T}=1一x+x:一x3+…+(一1)抖…=∑(一1)Y,x 7:=、’
l+x
、 ’7

』:s(x)ax=1f 01争n=l旦an—xn一?ax=?n£=t f:}xn一-a。
=一1+—!一
a—X

。∑㈣

●一矿







。~a~。~。

』护 一x

两边同时对x求导,得s(x)一言戋}2丽a 即熙(}+}x"。+}x“)=萋争一=丽a。
于是,…lim(L。+L一+..。+号)=面寻。
二、用级数求无穷项之和

一熹培胁隆叫ax一扣,小hax
2委㈠r丽1

,xe(一a,a)。

p一六xn+1】。=萋嚣

一}+≥~F1+矿1一一瓦圭矿+蔷矿+..‘ 一善}+z委西≥=一丁1台≯1一争‘孚=鲁
参考文献

例3求和;≥。
方法一运用幂级数知识。 解sinx的幂级数展开式是

[1]吴赣昌.高等数学(理工类)下7啊-[M].北京:中国人民大学出版
社,2006 [2]王树禾.数学演义[M]科学出版社 [3]费定晖等.吉米多维奇数学分析习题题解(4)[M]济南:山东科 学技术出版社.2001

豳x=x一蔷十葺一鲁+蔷…+(-驴瓦X而2n+l i+..?,x e(一。。,+。。) 有啬生=1一署+蚤一簧+簧…+(一1)“瓦xi2丽n p?,x e(一。,+*)。
(上接第77页)
?’?X2=X1—2<一2

2)若一2<xt<0,则xz—xt=一2(正根舍去)

二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以 它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联 系,可以编出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知

?’?甙一2)<O,即4a一2b+3<0



又2a+l=、印iri盯代入④式得

识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数

恬耵<2b-l,解舢>47
一78一

学知兰褰詈袭畜麓雾荔字鬻戮谈至此,希望各位同仁在数学
教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入。

综上可得:当o<。。<2时,b<牟;当一2<Xl<0时'b>_『7。

万方数据

浅谈二次函数在高中阶段的几个应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 庄春 苏州旅游与财经高等职业技术学校 科技信息 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2009,""(24) 0次

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强化高中二次函数的教学,主要是把数学思想(数形结合的思想,分类讨论的思想,转化的思想)贯穿教学的始终.依此来讨论三个二次之间的内在联系 ,二次函数的性质.二次函数在闭区间上的最值等问题.

2.期刊论文 苏应高 浅析高中二次函数的常见题型及应用 -科海故事博览·科教创新2009,""(12)
函数是初等教学中最基本的概念之一,贯穿于整个初等数学体系之中,也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要 地位,它不仅是初中代数内容的引申,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础.二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想,对学生基本 数学思想和素养的形成起推动作用.二次函教与一元二次方程、一元二次不等式等知识的联系,能培养学生对所学知识融会贯通的能力,加强二次函数的应 用能力是学好高中函数部分的基础,现特对二次函数问题常见题型的解析进行归纳总结.

3.期刊论文 康宜建 浅谈二次函数在高中阶段的应用 -数学教学研究2004,""(4)
初中教材对二次函数作了较详细的研究,学生对二次函数也有了较深的认识.然而由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部分内容的学习 多是机械的,很难从本质上加以理解.进入高中以后,尤其高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图像以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对 二次函数还需再深入学习.

4.期刊论文 张九彦 高中阶段二次函数教学摭谈 -青海教育2006,""(4)
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5.期刊论文 罗忠 浅谈二次函数在高中阶段的应用 -世界华商经济年鉴·科学教育家2008,""(14)
在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解 .进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习.

6.期刊论文 朱从朴 浅谈二次函数在高中阶段的应用 -商情2009,""(33)
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7.期刊论文 董冰玲 浅谈二次函数在高中阶段的应用 -课程教材教学研究(教育研究)2007,""(2)
在初中教材中,对二次函数作了比较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习学生很难从本质上加以理解.进入 高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习.

8.期刊论文 张菊平.郑云初 充分认识差别,实现二次函数"升级"--浅谈二次函数的初高中教学衔接 -数学教学研究 2005,""(3)
二次函数作为一种简单而基本的函数类型,不论在初中还是高中都非常重要,也是初高中具体数学内容中联系最密切的内容.在初中阶段,学生研究的 函数以二次函数为重点,师生重视,掌握得较好;在高中阶段,二次函数除在二次不等式部分略有涉及外,已不再单列,更多的是穿插在其它内容中.在实际教 学中发现,对二次函数有关内容,学生从初中到高中,存在着脱节现象,即高中学生对二次函数的运用不顺手,有时甚至束手无策,即使到了高三复习阶段,许 多学生对二次函数的认识及运用水平、思维层次还停留在初中阶段,呈现较强的思维定势.为何会出现这种情况?究其原因,主要是初高中二次函数的学习 虽有共同点,但更多的是不同点,学生未及时适应变化,已形成的思维定势不能消除.本文拟从初高中二次函数的差别入手,谈如何实施衔接,发挥二次函数 的教学价值,培养学生的能力.

9.期刊论文 阮雪玉 高三总复习二次函数实践心得 -中国科教创新导刊2008,""(18)
二次函数是贯穿初高中数学教学的重点,也是历年高考的热点,更是学生学习中的一个难点.在初、高中阶段,教材对其处理方式是不同的.初中阶段 ,教材是在明处让学生在全体实数上感知二次函数的整体性态;而高中阶段,教材则在暗处用后继知识不断深化对二次函数的认识和运用.因此,在高中阶段 ,教师应引导学生打破思维定势,用后继知识不断充实对其新的认识和理解,化暗为明,让其丰富的内涵得到充分的展现和深化.

10.期刊论文 徐廷彬 浅谈初高中衔接课中二次函数的教学 -四川教育学院学报2005,21(z2)
函数是高中数学中极为重要的内容.函数的观点和方法贯穿整个高中代数的全过程,同时应用于几何问题的解决;因此函数知识掌握的好坏是学好高中 数学的一个关键.又特别是二次函数,它是学习函数的基础,生长点在初中,而发展点则在高中,是高、初中数学衔接的内容.怎样缩短高中数学的适应性,使 他们尽快顺应高中数学的教学活动是每一位高一教师急待解决的问题.在此就初高中衔接课中二次函数的教学,谈谈我的一些探索和思考.

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