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2014-2015学年安徽省六安市寿县一中高一(下)期中数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年安徽省六安市寿县一中高一(下)期中数学试卷
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (2012 秋?马鞍山期末)若将钟表拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是( A. B. ﹣ C. ) D. ﹣

考点:弧度制的应用. 专题:计算题. 分析:利用分针转一周为 60 分钟,转过的角度为 2π,得到 5 分针是一周的十二

分之一,进 而可得答案. 解答: 解:∵分针转一周为 60 分钟,转过的角度为 2π 将分针拨快是逆时针旋转 ∴钟表拨慢 5 分钟,则分针所转过的弧度数为 故选 C. 点评:本题考查弧度的定义:一周对的角是 2π 弧度.考查逆时针旋转得到的角是正角. 2. (2015 春?寿县校级期中) 空间中, 异面直线 a, b 所成的角为 α, 且 ( ) A. D. B. C. 或 =

考点:同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析:由异面直线所成角的范围,得到 sinα 大于 0,利用 cosα 的值,根据同角三角函数间 的基本关系即可求出 sinα 的值. 解答: 解:∵在空间,异面直线 a,b 所成的角为 α, ∴α∈(0,90°],又 sinα= , 则 cosα= = .

故选 A 点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

3. (2015 春?寿县校级期中)已知 cos(π﹣α)=﹣

且 α 是第四象限角,则 sinα=(



A.

B.

C.

±

D. ﹣

考点:运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:由诱导公式及已知可求 cosα, 由同角三角函数间的基本关系结合角的范围即可求 sinα 的值. 解答: 解:∵cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣ ∴sinα=﹣ =﹣ ,可得:cosα= =﹣ . 且 α 是第四象限角,

故选:D. 点评:本题主要考查了诱导公式及同角三角函数间的基本关系的应用,属于基本知识的考 查.
2

4. (2015 春?寿县校级期中)已知函数 y=sin x+cosx+ 域为( A. D. ) B.[1,2]

,则函数的值

C.

考点:三角函数的最值. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用余弦函数的定义域和值域可得 cosx∈[﹣ ,1],再利用二次函数的性质求 得 y=﹣ +2 的值域.
2 2

解答: 解: ∵函数 y=sin x+cosx+ =1﹣cos x+cosx+ =﹣

+2, x∈[0,

],

∴cosx∈[﹣ ,1],故当 cosx= 时,函数取得最大值为 2;当 cosx=﹣ 时,函数取得最小值 为 1, 故函数的值域为[1,2], 故选:B. 点评:本题主要考查余弦函数的定义域和值域,二次函数的性质,属于基础题.

5.(2015 春?寿县校级期中) 若 A. D.不等腰梯形

=3 , =﹣5 , 且|

|=|

|, 则四边形 ABCD 是 ( C. 等腰梯形



平行四边形

B.菱形

考点:向量在几何中的应用. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:证明 ∥ ,利用| =3 , |=| |,即可证明四边形 ABCD 是等腰梯形.

解答: 解:∵ ∴ ∵| ∥ |=| , |,

=﹣5 ,

∴四边形 ABCD 是等腰梯形. 故选:C. 点评:本题考查向量的平行,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

6. (2015 春?寿县校级期中) 在△ ABC 中, ( ) A. ﹣2 B.

= (1, 1) , = (1, ﹣1) , ? 2 C. 0

=2, 则 ?

=

D. ﹣2 或 2

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:运用向量的运算得出 ? 可. 解答: 解:∵ ∴ ∴ ? = , =(1,1) , =(1,﹣1) , ? =2, = ? ﹣ ,再结合向量的数量积的坐标形式求解即

=1×1﹣1×1=0, = ? ﹣ =2﹣0=2

故选:B. 点评:本题考察了平面向量的运算,数量积的运用,属于基础题,难度不大.

7. (2015 春?寿县校级期中)AD、BE 分别为△ ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 = ,那么 A. ﹣ + 为( ) + B. ﹣ C. ﹣

= ,

D.

考点:平面向量的基本定理及其意义.

专题:平面向量及应用. 分析:如图所示, 解答: 解:如图所示, , ∴ 化为 = = + + . = , = , , , , = , = , ,即可得出.

故选:A.

点评:本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 8. (2015 春?寿县校级期中)在平面直角坐标系中,i,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的 单位向量,平面内三点 A、B、C 满足, 角三角形时,实数 k 的可能值的个数为( A. 1 B. 考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:利用已知可得 解答: 解: 当 AB⊥BC 时, 当 AB⊥AC 时, 当 AC⊥BC 时, . 综上可得:当 A、B、C 三点构成直角三角形时,实数 k 的可能值的个数为 4. 故选:D. 点评:本题考查了向量的坐标运算、 向量垂直与数量积的关系, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. ? = = = ,利用向量垂直与数量积的关系即可得出. ﹣(4,3)= . , =4 +3 , ) 2 C. 3 D. 4 =k ﹣ 当 A、B、C 三点构成直

=4(k﹣4)﹣ ×3=0,解得 k= = = =0,解得 k= .

=0,化为 4k ﹣16k+7=0,解得 k= 或

2

9. (2015 春?寿县校级期中)如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,点 P 是 MD 中点,若| |=2,| |=1,且∠BAD=60°,则 的值为( )

A. ﹣



B.﹣

C. ﹣

D.

考点:向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题:综合题;平面向量及应用. 分析:通过图形,分别表示 解答: 解:由题意,求得 则 =﹣ . = ( + ) ? (﹣ ﹣ , ,然后进行向量数量积的运算即可. = ) =﹣ (3 +
2

, +3
2

= ?

=﹣





+10

) =﹣ (15+20× )

故选:C. 点评:本题考查平面向量的数量积的运算,用已知向量表示未知向量,是中档题.

10. (2009?东营一模)已知 与 为互相垂直的单位向量, 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是( A. C. (﹣2, ) (﹣∞,﹣2) D. )



且 与

B. ( ,+∞) (﹣ )

考点:平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 分析:本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,由 与 为互相垂直的单位向量,我们 易得 , ,代入 , 可求出 ? ,又由 与 的夹角为锐

角,故 ? >0,由此得到一个关于 λ 的不等式,解不等式即可得到实数 λ 的取值范围,但 要注意, 与 同向的排除.

解答: 解:∵ 与 为互相垂直的单位向量 ∴ 又∵ , , ,

且 与 的夹角为锐角, ∴ 但当 λ=﹣2 时, , ,不满足要求

故满足条件的实数 λ 的取值范围是(﹣∞,﹣2) 故选 A 点评: 两个向量夹角为锐角,则两个向量的数量积为正; 两个向量夹角为钝角,则两个向量的数量积为负; 两个向量夹角为直角,则两个向量的数量积为零; 11. (2012?岳阳二模)定义在 R 上的偶函数 f(x) ,满足 f(x+2)=f(x) ,且 f(x)在[﹣ 3,﹣2]上是减函数,又 α,β 是锐角三角形的两个内角,则( ) A. f(sinα)<f(sinβ) B.f(cosα)<f(cosβ) C. f(sinα) >f(cosβ) D. f(sinα)<(cosβ) 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x+2)=f(x)得函数的周期为 2,然后利用函数的周期和奇偶性进行转化,确 定函数 f(x)在区间[0,1]上的单调性,即可判断得到答案. 解答: 解:∵f(x+2)=f(x) , ∴函数 f(x)为周期函数,周期 T=2, ∵f(x)在[﹣3,﹣2]上为减函数, ∴f(x)在[﹣1,0]上为减函数, ∵f(x)为偶函数,根据偶函数在对称区间上单调性相反, ∴f(x)在[0,1]上为单调增函数. ∵在锐角三角形中,则 π﹣α﹣β< ∴α+β> ∴ >α> , ﹣β>0, ﹣β)=cosβ, ,

∴sinα>sin(

∵f(x)在[0,1]上为单调增函数. ∴f(sinα)>f(cosβ) .

故选 C. 点评:本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用, 三角函数的图象和性质, 综合考查了 函数的奇偶性、周期性和单调性的应用,综合性较强,涉及的知识点较多.属于中档题.

12. (2012?宜宾一模) 设向量| |= ?( ﹣λ )≤ A. [5,+∞) (λ﹣1)x 在区间[ [0,+∞)

x,| |= ,

,且 与 的夹角为

,若 f (x) =( + ) )

]上恒成立,则实数 λ 的取值范围是( B.[ ,+∞)

C. [ ,5] D.

考点:平面向量的综合题. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:利用向量的数量积公式,再利用分离参数法,确定相应函数的最值,即可求实数 λ 的取值范围. 解答: 解:由题意,∵| |= x,| |=
2

,且 与 的夹角为 x× ≤ ×cos



∴f(x)=( + )?( ﹣λ )=5x ﹣2λ+(1﹣λ)× ∴不等式等价于 5x ﹣2λ+(1﹣λ)× 恒成立, ∴5x ﹣2λ≤0 在区间[ ∴ ∵函数 ∴λ≥5 在区间[ 在区间[
2 2



×cos

(λ﹣1)x 在区间[



]上

, , ,

]上恒成立, ]上恒成立 ]上的最大值为 5

故选 D. 点评:本题考查向量的数量积,考查恒成立问题,解题的关键是分离参数,确定相应函数的 最值,属于中档题. 二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分) (2015 春?寿县校级期中)已知向量 与 的夹角为 30°, = 2 . , ,则

考点:向量的模. 专题:计算题.

分析:由题意可得: = =

,再由向量模的计算公式可得 ,进而求出答案. , ,

解答: 解:因为向量 与 的夹角为 30°, 所以 又因为 所以 故答案为:2. . = =2. =



点评:解决此类问题的关键是熟练掌握向量求模的公式即

,以及向量的数

量积运算,此题属于基础题,在计算时认真计算即可得到全分,此类型的题常以选择或者填 空的形式出现. 14. (4 分) (2015 春?寿县校级期中) 一物体在力 =

(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移动到点 B(0,5) .在这个过程中三个力的合力所 做的功等于 ﹣40 . 考点:向量在物理中的应用;导数的几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:先求合力大小,然后利用向量求位移,结合导数的物理应用进行求解即可. 解答: 解:∵ ∴合力 = =(8,﹣8) , =(3,1) ,

=(1+0,1+5)=(1,6) , 则 =1×8﹣8×6=﹣40,

即三个力的合力所做的功等于为﹣40; 故答案为:﹣40 点评:本题主要考查向量数量积的计算,根据向量的加法和数量积公式是解决本题的关键. 15. (4 分) (2015 春?寿县校级期中)已知直线 x+y=a(a>0)与圆 x +y =4 交于 A,B 两点, 且| + |=| ﹣ |(其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 是 2 .
2 2

考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆.

分析:以 OA、OB 为邻边作□AOBC,由已知得□AOBC 为正方形,由此能求出 a=2. 解答: 解:以 OA、OB 为邻边作□AOBC, 则| |=| |,

∴□AOBC 为矩形, 又| |=| |,∴四边形 AOBC 为正方形,

∵a>0,∴直线 x+y=a 经过点(0,2) , ∴a=2. 故答案为:2. 点评:本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用. 16. (4 分) (2015 春?寿县校级期中)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f (x﹣4)=f(x)且 x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 + ,则 f(log220)= ﹣1 .
x

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x﹣4)=f(x) ,得 f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2 (x) ,得 f(log2 )=﹣f(﹣log2 ) ,代入已知表达式可求得答案. ) ,由 f(﹣x)=﹣f

解答: 解:∵f(x﹣4)=f(x) , ∴f(log220)=f(log220﹣4)=f( 又 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(log2 )=﹣f(﹣log2 )=﹣f( )=﹣(2 )=﹣( )=﹣1; ) ,

故答案为:﹣1. 点评:本题考查抽象函数及其应用、函数的求值,对数恒等式的运用,考查学生分析解决问 题的能力. 三.解答题(写出必要的过程,共 74 分) 17. (2015 春?寿县校级期中)平面内给定三个向量

(1)求 (2)若 ,求实数 k 的值.

考点:向量的模;平行向量与共线向量. 专题:平面向量及应用.

分析: (1)首先求出运算后的坐标,然后求模; (2)用 k 表示两个向量的坐标,利用向量平行的性质解答. 解答: 解: (1)∵ (2)由 而 ∴6+8k=12+6k, ∴k=3… 点评:本题考查了平面向量的坐标运算、向量平行的性质;属于基础题. , …(6 分)

18. (2015 春?寿县校级期中)已知向量 ≠ ,| |=1. (1)若| |=2,| + |=2| ﹣ |,求向量 与 的夹角的余弦; (2)对任意实数 t,恒有| ﹣t |≥| ﹣ |,求证: ( ﹣ )⊥ . 考点:数量积表示两个向量的夹角;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析: (1)只要将等式平方,展开整理得到数量积,利用数量积公式可求夹角的余弦值; (2)对已知不等式平方化简得到关于 t 的二次不等式恒成立,借助于判别式得到证明. 解答: 解: (1)将| + |=2| ﹣ |两边平方,得,| + | =4| ﹣ | ,展开得 , 所以 = ,
2 2

所以向量 与 的夹角的余弦为: (2)将| ﹣t |≥| ﹣ |平方展开得 所以 ∴ ∴ , …

…. (6 分) 恒成立,

点评:本题考查了平面向量的数量积公式的运用、 由模的关系判断向量的关系; 关键是明确 向量的平方与模的平方相等的运用.

19. (2010?浦东新区校级模拟)某港口水深 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函 数,记作 y=f(t) ,下面是某日水深的数据: t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察:y=f(t)的曲线可近似看成函数 y=Asinωt+b 的图象(A>0,ω>0) . (1)求函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的.某 船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问: 它至多能在港内停留多长时间? 考点:在实际问题中建立三角函数模型;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:应用题. 分析: (1)由表格得到三角函数的周期,利用周期公式求出 ω;利用 A 等于最大值减去 最小值和的一半;b 等于最大值加上最小值的差的一半,求出 f(t) . (2)将实际问题转化为不等式,列出不等式,结合三角函数的图象求出不等式的解集. 解答: 解: (1)由题知:周期 T=12,故 ω= 又 b=10,A=3,∴ (2)由题知:y=3sin t+10. t+10≥5+6.5,∴ ,∴1≤t≤5 或 13≤t≤17, 如图: , ,

当该船 1 时入港,5 时出港,停留时间最长,为 4 小时. 点评:本题考查据三角函数的性质求三角函数的解析式、结合三角函数的图象求三角不等 式.
2

20. (2015 春?寿县校级期中)已知函数 f(x)=sin x+acosx﹣ (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值;

,x∈R.

(2)对于任意 x

,不等式 f(x)

﹣ 都成立,求实数 a 的范围.

考点:二次函数在闭区间上的最值;正弦函数的定义域和值域. 专题:转化思想;函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=1 时,对 f(x)进行配方,根据二次函数的性质即可求得其最小值; (2)令 t=cosx,t∈[ ,1],则 f(x)可转化为关于 t 的二次函数,根据二次函数的性质按 a 的取值范围进行讨论求得该二次函数的最小值,令最小值大于等于 ﹣ 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=sin x+cosx﹣2=﹣cos x+cosx﹣1=﹣ , 因为﹣1≤cosx≤1, 所以当 cosx=﹣1 时 f(x)取得最小值,为﹣3. (2)f(x)=sin x+acosx﹣ , 令 t=cosx,由 x 则 g(t)=﹣ 对于任意 x 则当 当 ≤ 即a ,不等式 f(x) 时,g(t)min=g(1)= ,得 t∈[ ,1], , ﹣ 都成立, ≥ ﹣ ,解得 a≥2,与 a ,所以 a 矛盾; ;
2 2 2

解出 a 即可; ﹣

=﹣cos x+acosx﹣ a﹣ =﹣

2

+



> 即 a> 时,g(t)min=g( )=﹣ ≥ ﹣ .

,解得 a

综上,实数 a 的取值范围为 a

点评:本题考查二次函数在闭区间上的最值,考查余弦函数的值域,考查函数恒成立,考查 转化思想、分类讨论思想,恒成立问题往往转化为函数的最值解决.

21. (2014 秋?黄石期末)已知向量 =(
2

,﹣1) , =( ,

) ,若存在非零实数 k,

t 使得 = +(t ﹣3) , =﹣k +t ,且 ⊥ ,试求:

的最小值.

考点:平面向量的综合题. 专题:计算题;综合题;平面向量及应用.

分析:根据向量数量积的坐标公式和性质,分别求出| |=2,| |=1 且 ? =0,由此将 ? =0 化简整理得到 k= (t ﹣3t) .将此代入 调性即可得到 的最小值. ,﹣1) , =( , ) ,
3

,可得关于 t 的二次函数,根据二次函数的单

解答: 解:∵ =(

∴| |=

=2,| |=

=1,且 ? =

× +(﹣1)

×

=0
2

∵ = +(t ﹣3) , =﹣k +t ,且 ⊥ , ∴ ? =0,即( +(t ﹣3) ) (﹣k +t )=0 展开并化简,得﹣k
2 2

+(﹣kt +3k+t) ? +t(t ﹣3)

2

2

2

=0

将| |=2、| |=1 和 ? =0 代入上式,可得 ﹣4k+t(t ﹣3)=0,整理得 k= (t ﹣3t)
2 3



=

= t +t﹣ = (t+2) ﹣ 的最小值等于﹣ . 的最小值.着重考查了平面向量数量积的

2

2

由此可得,当 t=﹣2 时,

点评:本题以向量的数量积运算为载体,求

坐标公式、运算性质,以及二次函数的图象与性质等知识,属于中档题. 22. (2015 春?寿县校级期中)设函数 f(x)在 R 上关于 x=3 和 x=8 都对称,且在闭区间 [0,8]上只有 f(1)=f(5)=f(7)=0. (1)求证函数 f(x)是周期函数; (2)求函数 f(x)在闭区间[﹣10,0]上的所有零点; (3)求函数 f(x)在闭区间[﹣2012,2012]上的零点个数及所有零点的和. 考点:数列的求和;函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数关于轴对称的结论列出等式,变形后利用周期函数的定义证明; (2)利用周期性结合已知条件提供的零点,求出其他的零点;

(3)利用周期性可以判断在区间[﹣2010,2010]内零点个数,利用函数的周期性求出在闭 区间[﹣2012,2012]上的零点个数,先求出函数 f(x)在区间[﹣10,10]上的零点之和,再 利用周期性求出所有零点的和. 解答: 证明: (1)∵函数 f(x)在 R 上关于 x=3 和 x=8 都对称, ∴f(6+x)=f(﹣x) ,f(16+x)=f(﹣x) , 则 f(x+6)=f(﹣x)=f(x+16) ,易得 f(x+10)=f(x) , ∴f(x)是周期函数,T=10; 解: (2)由函数 f(x)在 R 上 x=8 对称得,f(8+x)=f(8﹣x) , ∴f(9)=f(7)=0,f(1)=f(1﹣10)=f(﹣9)=0, f(5)=f(5﹣10)=f(﹣5)=0,f(7)=f(7﹣10)=f(﹣3)=0, f(9)=f(9﹣10)=f(﹣1)=0, 所以函数 f(x)在区间[﹣10,0]上的零点分别有﹣1,﹣3,﹣5,﹣9; (3)因为函数的周期是 10,由(2)知一个周期内的零点个数为 4 个, ∴在区间[﹣2010,2010]内零点个数为 2×201×4=1608 个零点. ∵f(2011)=f(1)=f(﹣9)=0,f(2012)=f(2) ,f(﹣2011)=f(﹣1)=0,f(﹣2012) =f(﹣2) , ∴2011,﹣2011 也是两个零点, ∴在区间[﹣2012,2012]上共有 1608+2=1610 个零点; 由(1)知,函数 f(x)在区间[﹣10,0]上的零点分别有﹣1,﹣3,﹣5,﹣9, ∴函数 f(x)在区间[0,10]上的零点分别有 1,5,7,9, 则函数 f(x)在区间[﹣10,10]上的零点之和为 4, ∴在区间[﹣2010,2010]内零点之和为 201×4=804, ∵2011,﹣2011 也是两个零点, ∴在闭区间[﹣2012,2012]上所有的零点之为和是 804, 综上可得:零点个数是 1610 个;所有零点的和是 804. 点评:本题主要考查了函数周期性和对称性的综合应用, 以及函数零点的判断, 综合性较强, 考查分析、解决问题的能力.



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