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徐州市2015~2016学年度第二学期期中考试



徐州市 2015~2016 学年度第二学期期中考试

高一数学试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时 间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己

的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨 水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........

1.直线

的倾斜角为.

▲ ___ ▲ ___

2.化简 sin10 cos50 +cos10 sin 50 = 3. 在数列 中, =1, 中,已知 ,

,则 ,且

的值为

▲ ___

4. 在等比数列 5. 在

an ? 2 ,求数列 an ?1

的通项公式为.
▲ ___

▲ ___

中,若 b=2,

则 a=

6. 已知 x∈(-

? 4 ,0) ,cosx= ,则 tan2x= 5 2

▲ ___ ▲ ___

7.一个等比数列前 n 项的和为 48,,2n 项的和为 60,则前 3n 项的和为

8. 已知直线 l1 : ? m ? 3? x ? ? m ?1? y ? 5 ? 0 与直线 l2 : ? m ?1? x ? ( 3m ? 9 )y ?1 ? 0 互相垂直,求 m 的值



▲ ___ ,则 BC= ▲ ___

9. 在△ ABC 中,∠A=60° ,AB+AC=10,面积
10.

在△ ABC 中,已知

,

,则 b=

▲ ___

11. 若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =n 2 -10n(n=1,2,3,…) ,则数列 ?nan ? 中数值最小的项是 第
▲ ___项.

12. 经过点

,倾斜角是直线

倾斜角一半的直线的方程是

▲ ___

13. 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1,a32 ? 9a2a6
1



,求数列

的前

项和为

▲ ___

14. 将正偶数排列如图,其中第 行第 列的数表示为
aij ? i, j ? N ? ? ,例如 a43 ? 18,

若 aij ? 2016 ,则 i ? j ?

▲ ___

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 ....... 骤.

15. (本题满分 14 分) 已知等差数列 ?? n ? 满足 ?1 ? ?2 ? 10,?4 ? ?3 ? 2
(1)求数列 ?? n ? 的通项公式

(2)若等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? ?3,b3 ? ?7 , 求数列 ?bn ? 的通项公式

16. (本题满分 14 分) 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , (1)若直线 l1 过点 ? 3, 2 ? 且 l1∥l ,求直线 l1 的方程; (2)若直线 l2 过 l 与直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 l2 ? l ,求直线 l2 的方程.

17. (本题满分 14 分) 数列 ?? n ? 中, an ? 32,前n 项和为 Sn ? 63 , (1)若数列 ?? n ? 为公差为 11 的等差数列,求 ?1 (2)若数列 ?? n ? 为以 ?1 ? 1 为首项的等比数列,求数列 ?? n 2 ? 的前 m 项和 Tm

18. (本题满分 16 分)
2

在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 a ?
sin A

b 3 cos B

(1)求

.
? AC ,求 sin ?BAC 的值.

(2)若点 M 为 BC 中点,且 AM

19. (本题满分 16 分) 如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植甲水果 的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍,但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的 处恰 有一可旋转光源满足甲水果生长的需要,该光源照射范围是 ,点 (1)若 (2)设 的面积. 在直径 ,求 上,且 的长; .

, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果

20. (本题满分 16 分)

设数列 {a n } 的前项和为 Sn , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n,点 ? an?1 ,Sn ? 在 直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 {S n ? ?n ?
?
2n } 为等差数列?若存在,求出 ? 的值;若不存在,则说明理由.

3

徐州市 2015~2016 学年度第二学期期中考试答案
一、填空题 1、

?
3

2、

3 2

3、397

4、 2 n ?1

5、 6 ? 2 13、 ?

6、 ?

24 7

7、63

8、 m =1 或-3

9、 2 13 二、解答题

10、10

11、3 12、 3x ? y ? 9 ? 0

2n n ?1

14、63

15、解: (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,则 d ? a 4 ? a3 ? 2 , 又 a1 ? a 2 ? 10 ,∴ 2a1 ? d ? 10 ,解得 a1 ? 4 , 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 . (2)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,由(1)知 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , ∴q ?

……2 分 ……4 分 ……6 分 ……8 分

b3 ? 2, b2

……10 分

又 b2 ? 8 ? b1 ? q ,有 b1 ? 4 , ∴ bn ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 . 16、解: (1)设直线 l1 的方程为 x ? y ? m ? 0 , ∵直线 l1 过点(3,2) ,∴ m ? ?5 ∴直线 l1 的方程为 x ? y ? 5 ? 0

……12 分 ……14 分 ……2 分 ……4 分 ……6 分 ……9 分 ……11 分 ……14 分 ……2 分 ……4 分 ……7 分

?x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?2 (2)由 ? , l 与直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点为 (?2,3) 解得? ?2 x ? y ? 7 ? 0 ?y ? 3
∵ l2 ? l ∴直线 l 2 的斜率为 1, ∴直线 l 2 的方程为 y ? 3 ? x ? 2 即 x ? y ? 5 ? 0 17、解: (1)由已知:

n(a1 ? an ) ? S n ? 63 2

① ②

a1 ? (n ? 1) ? 11 ? an ? 32
解①②得: a1 ? 10 , n ? 3 ( a1 ? 1 , n ? (2)由已知: a1 ? q n?1 ? 32 且

42 舍去) 11

a1 ? (1 ? q n ) ? 63 1? q

……9 分 ……11 分 ……12 分 ……14 分

解得:q=2 ,n=6 2 ∴{an }是首项为 1,公比为 4 的等比数列, ∴ Tm ?

1 ? (1 ? 4 m ) 4 m ? 1 ? 1? 4 3
4

a b a b ,又有 , ? ? sin A sin B sin A 3 cos B ∴ sin B ? 3 cos B ,即 tan B ? 3 ,
18、解: (1)由正弦定理得 又 0 ? B ? ? ,所以 B ? (2)由(1)知 B ?

……2 分 ……4 分 ……6 分

?
3



?
3

,又 M 为 BC 中点,所以 BM = MC =

a , 2

……8 分

a a a2 ac ? c2 ? , 在 ?ABM 与 ?ABC 中,由余弦定理分别得: AM 2 ? ( ) 2 ? c 2 ? 2 c cos B ? 2 2 4 2

AC 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac,

……10 分 ……12 分 ……14 分

a ac ? a 2 ? c 2 ? ac , ? c2 ? 4 2 3a 7 因为 a ? 0 ,所以 c ? ,故 b ? a, 2 2 7 a 21 a 由 . ? 2 ,得 sin ?BAC ? 7 sin ?BAC sin π 3
又 AM ? AC ,所以

2

……16 分

19、解: (1)由已知,点 C 在以 AB 为直径的半圆周上,所以 ?ABC 为直角三角形, ∵ AB ? 8 , ?ABC ?

?
6

,∴ ?BAC ?

?
3

, AC ? 4 ,

……2 分 ……4 分

在 ?ACE 中,由余弦定理: CE 2 ? AC 2 ? AE 2 ? 2 ACAE cos A ,且 CE ? 13 , ∴ 13 ? 16 ? AE 2 ? 4 AE , 解得 AE ? 1 米或 AE ? 3 米 ,∴ ?ACE ? ? ? [0, ] , 2 6 3 ? ? ?? ? ∴ ?AFC ? ? ? ?A ? ?ACF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 ? 6? 2 (2)∵ ?ACB ? , ?ECF ? 在 ?ACF 中,由正弦定理得:
CF AC AC AC ? ? ? sin A sin ?CFA sin( ? ? ? ) cos ? 2

……6 分

?

?

?

∴ CF ?

2 3 , cos ?

……8 分
CE AC AC ? ? sin A sin ?AEC sin( ? ? ? ) 3

在 ?ACE 中,由正弦定理得:

∴ CE ?

2 3 sin( ? ? ) 3

?



……10 分

若产生最大经济价值,则△ECF 的面积 S ?ECF 最大,
1 3 12 S?ECF ? CE ? CF sin ?ECF ? ? , ? ? 2 sin( ? ? ) cos ? 2sin(2? ? ) ? 3 3 3
5

……13 分

因为 ? ? [0, ] ,所以 0 ≤ sin(2? ? ) ≤1 , 3 3 ∴当 ?=

?

?

……14 分

?

3

时 , S△ECF 取 最 大 值 为 4 3 , 即 种 植 甲 种 水 果 的 面 积 为 4 3 平 方 米 时 , 该 空 地 产 生 的 经 济 价 值 最 ……16 分 ① ② ……2 分

大. 20、解: (1)由题意可得: 2a n?1 ? S n ? 2 ? 0 ∴当 n ≥2 时, 2a n ? S n?1 ? 2 ? 0 ①-②得: 2a n?1 ? 2a n ? a n ? 0 ,有

a n ?1 1 ? ( n ≥2) an 2

又 a1 ? 1 , 2a 2 ? a1 ? 2 ? 0 ,有 a 2 ?

1 a2 1 , ? 2 a1 2

……4 分

1 1 的等比数列,从而 a n ? ( ) n?1 2 2 1 ? ??2 (2)由(1)知: S n ? 2 ? n ?1 , S n ? ?n ? n ? ?n ? 2 ? n 2 2 2 ? 9 3 3 25 7 若数列 {S n ? ?n ? n } 为等差数列,则有: 2( ? ? ) ? ( ? ? 1) ? ( ? ? ) 2 4 2 2 8 4 解之得: ? ? 2 ? 当 ? ? 2 时,令 bn = S n ? ?n ? n ? 2n ? 2 ( n ? N * ) 2
∴ {a n } 是首项为 1,公比为 有 bn?1 ? bn ? 2(n ? 1) ? 2 ? (2n ? 2) ? 2 所以存在实数 ? ? 2 ,使得数列{ S n ? ? n ?

……6 分 ……8 分 ……10 分 ……12 分

……14 分

?
2n

}为等差数列。

……16 分

6



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