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(课堂设计)2014-2015高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学案 新人教A版必修4



3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
自主学习

知识梳理 1.两角和与差的正切公式 (1)T(α +β ):tan(α +β )=__________________. (2)T(α -β ):tan(α -β )=__________________. 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α +β )的变形: tan α +tan β =__________________. tan α +tan β +tan α tan β tan(α +β )=______________. tan α ?tan β =__________________. (2)T(α -β )的变形: tan α -tan β =__________________. tan α -tan β -tan α tan β tan(α -β )=________________. tan α tan β =__________________. 自主探究 根据同角三角函数关系式完成公式 T(α +β )、T(α -β )的推导过程. ∵sin(α +β )=__________________. cos(α +β )=__________________. sin?α +β ? ∴tan(α + β ) = = ____________ cos?α +β ? _________________________________. ∵tan(α -β )=tan[α +(-β )] ∴tan(α -β )=________________=________________. 对点讲练 知识点一 化简求值 例 1 求下列各式的值. 1-tan 15° (1) ;(2)tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°. 1+tan 15°



回顾归纳 公式 T(α +β ),T(α -β )是变形较多的两个公式,公式中有 tan α tan β ,tan α +tan β (或 tan α -tan β ),tan(α +β )(或 tan(α -β ))三者知二可表示或求出第三 个. 变式训练 1 求下列各式的值. 3+tan 15° (1) ;(2)tan 36°+tan 84°- 3tan 36°tan 84°. 1- 3tan 15°

1

知识点二 给值求角 例2 若 α ,β 均为钝角,且(1-tan α )(1-tan β )=2,求 α +β .

回顾归纳 此类题是给值求角题,解题步骤如下:①求所求角的某一个三角函数值,② 确定所求角的范围. 此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论, 范围讨论的程度过大或过小, 会使求出的角不合题意或者漏解. π π 2 变式训练 2 已知 tan α ,tan β 是方程 x +3 3x+4=0 的两根,且- <α < ,- 2 2 π π <β < ,求角 α +β . 2 2

知识点三 三角形中的问题 例 3 已知△ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,且 3tan A+ 3tan B= tan Atan B-1,试判断△ABC 的形状.

回顾归纳 三角形中的问题,A+B+C=π 肯定要用,有时与诱导公式结合,有时利用 它寻找角之间的关系减少角. 变式训练 3 已知 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的内角.求证:tan A+tan B+tan C= tan Atan Btan C.

1.公式 T(α ±β )的适用范围 由正切函数的定义可知 α 、 β 、 α +β (或 α -β )的终边不能落在 y 轴上, 即不为 kπ π + (k∈Z). 2
2

2.公式 T(α ±β )的逆用 一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如 tan π = 3等. 3 要特别注意 tan? π π 3 =1,tan = ,tan 4 6 3

?π +α ?=1+tan α ,tan?π -α ?=1-tan α . ? 1-tan α ?4 ? 1+tan α ?4 ? ? ?

3.公式 T(α ±β )的变形应用 只要见到 tan α ±tan β ,tan α tan β 时,有灵活应用公式 T(α ±β )的意识,就不难 想到解题思路. 课时作业 一、选择题 π? 3 ?π ? ? 1.已知 α ∈? ,π ?,sin α = ,则 tan?α + ?的值等于( ) 4? 5 ?2 ? ? 1 1 A. B.7 C.- D.-7 7 7 4 2.若 sin α = ,tan(α +β )=1,且 α 是第二象限角,则 tan β 的值是( ) 5 4 4 1 A. B.- C.-7 D.- 3 3 7 1 1 π 3π 3.已知 tan α = ,tan β = ,0<α < ,π <β < ,则 α +β 的值是( ) 2 3 2 2 π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4 2 4.A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 tan A,tan B 是方程 3x -5x+1=0 的两个实数 根,则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 5.化简 tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°的值等于( ) A.1 B.2 C.tan 10° D. 3tan 20° 二、填空题 cos α -sin α 6.已知 α 、β 均为锐角,且 tan β = ,则 tan(α +β )=________. cos α +sin α sin?α +β ? 2 7.如果 tan α ,tan β 是方程 x -3x-3=0 两根,则 =________. cos?α -β ? 1 ?π ? 8.已知 tan? +α ?=2,则 的值为________. 2 2sin α cos α +cos α ?4 ? 三、解答题 9.求下列各式的值. sin 7°+cos 15°sin 8° (1) ;(2)(1-tan 59°)(1-tan 76°). cos 7°-sin 15°sin 8°

3

10. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α ,β ,它们的终边 2 2 5 分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 , . 10 5

(1)求 tan(α +β )的值;(2)求 α +2β 的值.

123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6= 18*37+154+16*33-2 666 512

9 10 11 12 13 14

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 答案 知识梳理 tan α +tan β tan α -tan β 1.(1) (2) 1-tan α tan β 1+tan α tan β 2.(1)tan(α +β )(1-tan α tan β ) tan(α +β ) tan α +tan β 1- tan?α +β ? tan α -tan β (2)tan(α -β )(1+tan α tan β ) tan(α -β ) -1 tan?α -β ? 自主探究 sin α cos β +cos α sin β cos α cos β -sin α sin β sin α cos β +cos α sin β cos α cos β -sin α sin β

4

tan α +tan β 1-tan α tan β tan α +tan?-β ? tan α -tan β 1-tan α tan?-β ? 1+tan α tan β 对点讲练 tan 45°-tan 15° 例 1 解 (1)原式= 1+tan 45°tan 15° 3 . 3 tan 20°+tan 40° (2)∵tan 60°= = 3. 1-tan 20°tan 40° =tan(45°-15°)=tan 30°= ∴tan 20°+tan 40°= 3(1-tan 20°tan 40°) ∴原式= 3(1-tan 20°tan 40°)+ 3tan 20°tan 40° = 3- 3tan 20°tan 40°+ 3tan 20°tan 40° = 3. tan 60°+tan 15° 变式训练 1 解 (1)原式= 1-tan 60°tan 15° =tan(60°+15°)=tan 75° =tan(30°+45°) 3 +1 3 tan 30°+tan 45° = = 1-tan 30°tan 45° 3 1- 3 =2+ 3. (2)原式=tan 120°(1-tan 36°tan 84°)- 3tan 36°?tan 84° =tan 120°-tan 120°tan 36°tan 84°- 3tan 36°?tan 84°=tan 120°=- 3. 例 2 解 ∵(1-tan α )(1-tan β )=2, ∴1-(tan α +tan β )+tan α tan β =2, ∴tan α +tan β =tan α tan β -1 tan α +tan β ∴ =-1.∴tan(α +β )=-1. 1-tan α tan β ?π ? ∵α ,β ∈? ,π ?.∴α +β ∈(π ,2π ). ?2 ? 7π ∴α +β = . 4

?tan α +tan β =-3 3 变式训练 2 解 由已知得? ?tan α ?tan β =4
∴tan α 、tan β 均为负. tan α +tan β -3 3 ∴tan(α +β )= = = 3. 1-tan α tan β 1-4 π π ∵tan α <0,tan β <0,∴- <α <0,- <β <0. 2 2 2π ∴-π <α +β <0,∴α +β =- . 3 例 3 解 ∵ 3tan A+ 3tan B=tan Atan B-1, ∴ 3(tan A+tan B)=tan Atan B-1,
5



tan A+tan B 3 =- , 1-tan Atan B 3 3 . 3

∴tan(A+B)=-

5π π 又∵0<A+B<π ,∴A+B= ,∴C= , 6 6 ∵tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,tan C= ∴tan B+ 3 , 3

3 3 +tan B= 3,tan B= , 3 3 π 2π ∴B= ,∴A= ,∴△ABC 为等腰三角形. 6 3 变式训练 3 证明 ∵A+B+C=π , ∴A+B=π -C. tan A+tan B ∴tan(A+B)= =-tan C. 1-tan Atan B ∴tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C. 即 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 课时作业 1.A 2.C 3.C 5 1 4.A [tan A+tan B= ,tan A?tan B= , 3 3 5 5 ∴tan(A+B)= ,∴tan C=-tan(A+B)=- , 2 2 ∴C 为钝角.] 5.A [原式=tan 10°tan 20°+ 3tan 20°+ 3 tan 10° 3 = 3(tan 10°+tan 20°+ tan 10°tan 20°) 3 = 3? 6.1 cos α -sin α 1-tan α 解析 tan β = = . cos α +sin α 1+tan α ∴tan β +tan α tan β =1-tan α . ∴tan α +tan β +tan α tan β =1. ∴tan α +tan β =1-tan α tan β . tan α +tan β ∴ =1,∴tan(α +β )=1. 1-tan α tan β 3 7.- 2 2 解析 ∵tan α , tan β 是方程 x -3x-3=0 的两根, ∴tan α +tan β =3, tan α tan β =-3, sin?α +β ? sin α cos β +cos α sin β ∴ = cos?α -β ? cos α cos β +sin α sin β tan α +tan β 3 3 = = =- . 1+tan α tan β 1+?-3? 2 2 8. 3 3 =1.] 3

6

?π ? 解析 ∵tan? +α ?=2, ?4 ? 1+tan α 1 ∴ =2,解得 tan α = . 1-tan α 3 2 2 1 sin α +cos α ∴ = 2 2 2sin α cos α +cos α 2sin α cos α +cos α 1 +1 2 tan α +1 9 2 = = = . 2tan α +1 2 3 +1 3 sin?15°-8°?+cos 15°sin 8° 9.解 (1)原式= cos?15°-8°?-sin 15°sin 8° sin 15°cos 8° = =tan 15°=tan(45°-30°) cos 15°cos 8°
3 1- 3 tan 45°-tan 30° = = =2- 3. 1+tan 45°tan 30° 3 1+ 3 (2)原式=1-tan 59°-tan 76°+tan 59°tan 76° =1-(tan 59°+tan 76°)+tan 59°tan 76° =1-tan 135°(1-tan 59°tan 76°)+tan 59°tan 76° =1+1-tan 59°tan 76°+tan 59°tan 76°=2. 2 2 5 10.解 由条件得 cos α = ,cos β = . 10 5 ∵α ,β 为锐角, 7 2 2 ∴sin α = 1-cos α = , 10 sin β = 1-cos β =
2

5 . 5

sin α sin β 1 因此 tan α = =7,tan β = = . cos α cos β 2 1 7+ 2 tan α +tan β (1)tan(α +β )= = =-3. 1-tan α ?tan β 1 1-7? 2 1 2? 2 2tan β 4 (2)∵tan 2β = = = , 2 1-tan β 1 ? ?2 3 1-? ? ?2? 4 7+ 3 tan α +tan 2β ∴tan(α +2β )= = =-1. 1-tan α ?tan 2β 4 1-7? 3 ∵α ,β 为锐角, 3π ∴0<α +2β < , 2 3π ∴ α+2β= . 4
7



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