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山西省长治市第一中学2015-2016学年高一上学期中考试数学试题




长治县一中学校 2015-2016 学年第一学期期中考试 高一数学学科试卷 命题:裴淑芳 说明: 1. 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 本卷答题时不得使用计算器,不得使用涂改液、修正带 。 ................... 3. 答题时将答案均填在答卷相应题号的位置,不按要求答题无效。 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的) 1、已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} ,则

(CU A) ? (CU B) 为
A、{5,8} B、{7,9} C、{0,1,3} D、{2,4,6} )

2、 设全集 U ? R , A ? {x | A、 {x | x ? 1} C、 {x | 0 ? x ? 1}

x ? 0} , B ? {x | 2 x ? 2},则图中阴影部分表示的集合为( x?2
B、 {x | 1 ? x ? 2} D、 {x | x ? 1} U

3、函数 y ? f ?x ? 的图象与直线 x=1 的公共点个数可能是( ) A、 0 B、 1 C、 0 或 1 D、 2

4、下列两个函数表示相等函数的是( ) A、 f ?x ? ? lg x , g ?x ? ? 2 lg x
2

B、 f ?x ? ? 1, g ?x ? ? x ;
0

C、 f ?x? ?

x 2 , g ?x ? ? ( x ) 2

D、 f ?x? ? x, g ?x? ? loga a x (a ? 0且a ? 1)

? 3x x?0 ? 1 ? 5、设函数 f ?x ? ? ? ,则实数 f ? f ( ) ? 的值是() ? 4 ? ?log2 x x ? 0
A、

1 9

B、 9

C、 ?

1 9

D、 ? 9

6、函数 f ?x? ? lg( x ?1) ? 4 ? x2 的定义域是( ) A. [1, 2 ]

(1, 2 ] B.

C. ( 1 , ? ?)

D. [ ? 2 , 2 ]

7、已知函数 f ?x? ? x 2 ? 2x(?1 ? x ? 2, x ? Z ) ,则函数 f ?x ? 的值域是( ) A. [0,3] B. [?1,3] C. {?1,0,3}

1,3} D. {0,

2 ] 上都是减函数,则实数 a 的取 8、若函数 f ?x ? ? ? x 2 ? 2ax ? 3 与 g ?x ? ? (a ? 1)1? x 在区间 [1,
值范围是( )

( ? 1,0) A.

(? 1,0)? (0,1] B.

C. (0,1)

1] D. ( 0,

9、已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 ( x ? 0) ? 2 ( x ? 0)
1 2

,则 f (1 ? 2 x) ? f ( x) 的解集是( )

( ? ?, ) A.

1 3

( ? ?, ) B.
x

C. ( ,)

1 1 3 2

( ? ?, 0) D.
则 P ,Q ,R 的大小关系是( D. P ? Q ? R )

?1? 10、若 2 ? x ? 3 ,P ? ? ? ,Q ? log 2 x ,R ? x , ?2?
A. Q ? P ? R B. Q ? R ? P

C. P ? R ? Q

(0,??) 11、 已知对任意的实数 x 都有 f ( x) ? f (? x) , 且 f ?x ? 在区间 上是增函数, 若 x1 ? 0 ,

x1 ? x2 ? 0 ,则(
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 )

) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法比较 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小 ) y y

(0 ? a ? 1) 的图象大致形状是( 12、函数 y ? | x | y y

xa x

o x o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

二、填空题 : (本大题 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)

3}, B ? {a ? 1, a ? 2,a 2 -1},若 3 ? A ? B ,则实数 a=_________ 13、已知集合 A ? {1,a,
14、已知函数 f

?

x ? 1 ? x ? 2 x ,则 f ?x ? 的解析式是______________

?

15、函数 y ? 3x ? 1( x ? 0) 的值域是___________ 16、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x - 2 x - b(b 为常数) ,则 f (?1) ?

1? x2 17、已知函数 f ( x) ? , 1? x2
则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =_________
1 ? 1

1 2

1 3

1 4

1 5

x2 ? x 2 ?1 18、已知 x ? x ? 3 ,则代数式 2 的值是____________ x ? x ?2
19、若函数 f ( x) ? ?

?(2a ? 1) x ? a ( x ? 1) 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是_______ log x ( x ? 1 ) a ?

20、函数 f ?x ? ? loga (4 x ? x 2 ? 3) (0 ? a ? 1) 的单调增区间是_________
? 21、已知幂函数 f ( x) ? x 的部分对应值如下表,则不等式 | f ( x) |? 2 的解集是_________

1 2
x 1
2 2

f ( x)
1 22 、 则实数 a 的取值范围是_________。

已知关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至多有一根,
2

三、解答题: (共 62 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 23、 (本小题满分 6 分) 已知集合 A ? {x | x ? 4} , B ? {x | ax - 1 ? 0},若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。
2

24、 (本小题满分 6 分) 已知 lga ? lg b ? 2 lg(a ? 2b) ,求 25、 (本小题满分 6 分)

a 的值。 b

讨论函数 f ? x ? ?

ax (a ? 0) 在 ( ?1,1) 上的单调性。 x ?1

26、 (本小题满分 8 分) 已知函数 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? x( x ? 1) ? 1 , (1)求函数 f ?x ? 的解析式。 (2)写出函数 f ?x ? 的单调区间。

27、 (本小题满分 8 分) 已知 f ? x ? ? x (

1 1 ? ) 2 ?1 2
x

(1)判断 f ?x ? 的奇偶性,并说明理由; (2)证明 f ?x ? >0.

28、 (本小题满分 8 分)

已知函数

? ? ax ? 1 (0 ? x ? a) 9 2 f ( x) ? ? ? x2 满足 f ?a ? ? a 8 ? ?2 ? 1 (a ? x ? 1)

(1)求常数 a 的值; (2)求使 f ( x) ?

2 ? 1 成立的 x 的取值范围。 8

29、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ?x ? ? ax ? 4 x ? 8
2

(1)若 a ?

1 ,求函数 f ?x ? 在 [2,5] 上的值域。 2

(2)若函数 f ?x ? 在 [2,5] 上是单调函数,求实数 a 的取值范围。

30、 (本小题满分 10 分)

某厂生产某种玩具,每个玩具的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商 订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部玩具的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元。 (1)当一次订购量为多少个时,玩具的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,玩具的实际出厂单价为 P 元,求函数 P ? f ( x) 的表达式; (3)如果一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,写出函数 L ? g ( x) 的表达式;并计 算当销售商一次订购 500 个玩具时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个,利润又是 多少元? (工厂售出一个玩具的利润=实际出厂单价-成本)

附加题 以下题目是精英班同学所做的试题,普通班同学不做,共 分。 .........................40 . . .. 1、 (4 分)已知 M ? {2,4,6,8} , N ? {1,2} , P ? {x | x ? 集的个数是( ) A 、 4 B 、6 C 、15 D、63

a , a ? M, b ? N} ,则集合 P 的真子 b

2、 (4 分) 已知函数 f ? x ? ? ? 1

? | log2 x | (0 ? x ? 2) ? 若 a , b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (c), - x?2 ( x ? 2) ? ? 2

则 abc 的取值范围是 A

?1,4 ?

B

?2,4?

C

?0,8?

D

?2,8?

3、(4 分) 已知对任意的实数 x 都有 f (? x) ? ? f ( x) , 当 x ? 0 时 f ?x ? 是增函数, 且 f ?3? =0, 那么不等式 xf ( x) ? 0 的解集是( ) A

?? 3,?1? ? (1,3)

? ?) B ?- 3,0? ? (3,

3) C ?- 3,0? ? (0,

D

?? ?,?3? ? (0, 3)
x 2

4、 ( 4 分)已知函数 f ( x) 的定义域是 ( ?1,2] ,则函数 g ( x) ? f ( ) ? f (4 ? x) 的定义域是 ___________ 5、 (4 分)若函数 f ( x) ? lg(ax ? x ? a) 的值域是 R,则实数 a 的取值范围是______________
2

6、 (8 分)已知 f ( x) ? e ? e , g ( x) ? e ? e
x x

?x

?x

(e ? 2.71828 ?)

(1)求 [ f ( x)] ? [ g ( x)] 的值;
2 2

(2)若 f ( x) f ( y ) ? 4 , g ( x) g ( y ) ? 8 ,求

g ( x ? y) 的值。 g ( x ? y)

7、 (12 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意的实数 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 (1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)判断 f ( x ) 在 R 上的单调性,并用定义证明;
2 (3)若 f (4) ? 6 ,解不等式 f (3x ? x ? 2) ? 3 。

长治县一中学校 2015-2016 学年第一学期期中考试 高一数学学科答案及评分标准 一、选择题:共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分. 1 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 B 7 C 8 D 9 0 A D 1 C D 1 12

二、填空题:共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分 13、-2 18、 5 三、解答题 23、解:由题意得: A ? {2,?2} ......................1 分 ......................2 分 .......................3 分 14、 f ( x) ? x ? 4 x ? 3( x ? 1)
2

15、(-1,0)

16、1

17、0

19、 [ , )

1 1 3 2

20、 [2,3)

(0,4] 21、

22、 [1,??) ? {0}

? A? B ? A

?B? A

若 B ? ? ,则 ? ? A ,此时 a=0 若 B ? ? ,则 B ? { } ,此时

1 1 ? 2或 ? ?2 a a 1 1 ........................5 分 ? a ? 或a ? ? 2 2 1 1 综上: a ? 0、 或 ? .........................6 分 2 2

1 a

24、解:方程 lga ? lg b ? 2 lg(a ? 2b) 可化为: lgab ? lg(a ? 2b) .......1 分
2

? ab ? (a ? 2b)2
即 a ? 5ab ? 4b ? 0
2 2

.........................2 分

a a ? ( )2 ? 5 ? ( ) ? 4 ? 0 b b a a ? ? 1或 ? 4 b b

) ( ? 4) ? 0 即 ( -1
..........................4 分

a b

a b

又? a ? 0,b ? 0, a ? 2b ? 0

a ?2 b a ? ? 1 不符合题意,舍去 b a ? ?4 b
?
25、解:设 x1, x2 ? (?1,1)且x1 ? x2 , 则

..........................5 分 ..........................6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ax2 ax ( x ? 1) ? ax2 ( x1 ? 1) ? ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
a( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
.........................2 分

?

? x1, x2 ? (?1,1)且x1 ? x2
? x1 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0, x2 ? x1 ? 0
.........................3 分

?若a ? 0, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,? f ( x)在(?1 , 1) 上是单调减函数; 若a ? 0, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,? f ( x)在(?1 , 1) 上是单调增函数。
.........................5 分

, 1) 上是单调减函数; a ? 0 时, f ( x)在(?1, 1) 上是单调增函数。 综上: a ? 0 时, f ( x)在(?1
..........................6 分 26、 解:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0

? f (? x) ? ? x(? x ? 4) ? 3 ? x 2 ? 4x ? 3
? f ( x) 是奇函数,

.........................1 分

(x ? 0) ? f ( x) ? ? f (? x) ? ? x 2 ? 4x ? 3

.........................2 分

? f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数

? f (0) ? ? f (?0) ? ? f (0),即f (0) ? 0
? x 2 ? 4 x ? 3 (x ? 0) ? 0 综上: f ? x ? ? ? ( x ? 0) ?? x 2 ? 4 x ? 3 ( x ? 0 ) ?
(2)单调增区间是: (? ?,?2)和(2,??)

.........................3 分

..........................4 分

(也可写 (? ?,?2]和[2,??) ) ..........................5 分

单调减区间是: (? 2, 0)和(0, 2)

(也可写 [?2, 0)和(0, 2] ) ..........................6 分

27、解: (1)设 2 ? 1 ? 0,则x ? 0
x

? f ( x) 的定义域关于原点对称。
又? f (? x) ? ? x(

..........................1 分

1 1 2x 1 2x 1 ? ) ? ? x ( ? ) ? x ( ? ) ?x x x 2 ?1 2 1? 2 2 2 ?1 2
......................3 分

? x(

2x ?1 ? 1 1 1 1 ? ) ? x( x ? ) ? f ( x) x 2 ?1 2 2 ?1 2

? f ( x) 是偶函数。

.........................4 分
x x

,即2 ? 1 ? 0 ? (2)若 x ? 0 ,则 2 ? 1
? f ( x) ? x( 1 1 ? )?0 2 ?1 2
x

1 1 ? ?0 2 ?1 2
x

.........................6 分

由(1)知: f ( x) 是偶函数

? f ( x) 的图象关于 y 轴对称 ? x ? 0时,f ( x) ? 0 也成立
综上: x ? R, 且x ? 0 时, f ( x) ? 0 28、解: (1)由题意可知: 0 ? a ? 1,?0 ? a ? a ? 1
2

.........................8 分 .................1 分 .................2 分

? f (a 2 ) ? a 3 ? 1 ?

9 8

即a ?

1 2

1 ?1 ? 2 x ? 1 (0 ? x ? 2 ) ? f ( x) ? ? 1 ?2?4 x ? 1 ( ? x ? 1) 2 ?
(2)若 0 ? x ?

.................3 分

1 1 2 2 ,则 f ( x) ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 2 2 8 4
.................5 分

?

2 1 ?x? 4 2
1 2 5 ? 1 ,则 f ( x) ? 2?4 x ? 1 ? ?1 ? x ? 2 8 8

若x?

1 5 ? ?x? 2 8
综上:?

.................7 分

2 5 ?x? 4 8

.................8 分

29、解: (1)当 a ?

1 1 2 1 2 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 8 ? ( x ? 4) ? 16 2 2 2

? x ? [2,5]

? x ? 4时,f ( x)min ? ?16; x ? 2时,f ( x)max ? ?14
............4 分 ...............5 分

? f ( x)的值域是 [?16,?14]
(2)若 a=0,则 f(x)=-4x-8 在上单调递减,符合题意。

2 4 4 若a ? 0, 则f ( x) ? a( x ? ) x 2 ? 8 ? ,其对称轴是 x ? a a a 2 若 a ? 0, 则x ? ? 0, 所以 f(x)在上单调递减,符合题意。 ......6 分 a 2 若 a ? 0, 则x ? ? 0 ,要使 f(x)在上是单调函数, a 2 2 则 ? 2或 ? 5 ...................8 分 a a 2 所以 a ? 1或0 ? a ? .....................9 分 5 2 综上:实数 a 的取值范围是: a ? 1或a ? ...................10 分 5
30、解: (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x 0 个,则

x 0 ? 100 ?

60 ? 51 ? 550 0.02

因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元。.....2 分

(2)当 0 ? x ? 100 时, P ? 60 当 100 ? x ? 550 时, P ? 60 ? 0.02( x ? 100) ? 62 ? 当 x ? 550 时, P ? 51

..............3 分

x 50

...............4 分 ................5 分

0 ? x ? 100 ?60 ? x ? 所以 P ? f ( x ) ? ?62 ? 100 ? x ? 550( x ? N ) 50 ? x ? 550 ? ?51

.................6 分

(3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则

? 20x (0 ? x ? 100) ? x L ? g ( x) ? ?22x ? (100 ? x ? 550) ( x ? N ) 50 ? ( x ? 550) ? 11x
当 x ? 500 时, L ? 6000 ;当 x ? 1000 时, L ? 11000

....................8 分

因此,销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元; 如果订购 1000 个,利润是 11000 元。 ...................10 分

附加题: 1、D 2、B 3、C 4、 5、 [ 0 , ]

1 2

6、解: (1)

[ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2 ? (e x ? e? x )2 ? (e x ? e? x )2 ? (e2 x ? 2 ? e?2 x ) ? (e2 x ? 2 ? e?2 x ) ? ?4
..............................3 分

(2)

f ( x) f ( y) ? (e x ? e? x )(e y ? e? y ) ? (e x? y ? e?( x? y ) ) ? (e x? y ? e?( x? y ) ) ? 4 g ( x) g ( y) ? (e x ? e? x )(e y ? e? y ) ? (e x? y ? e?( x? y ) ) ? (e x? y ? e?( x? y ) ) ? 8
.......5 分

所以联立解方程组得:

e x? y ? e?( x? y ) ? 6 e x? y ? e?( x? y ) ? 2

.....................6 分 .....................7 分

?

g ( x ? y) e x ? y ? e?( x ? y ) 6 ? ? ?3 g ( x ? y ) e x ? y ? e ?( x ? y ) 2

.....................8 分

7、解: (1)令 x=y=0,则 f(0)=0 令 y ? ? x ,则 f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? 0

.....................1 分

? f ( ? x) ? ? f ( x ) ? f ( x) 是奇函数。
(2) f ( x) 是 R 上的增函数。 证明如下:设 x1, x2 ? R且x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 , ∴ f ( x2 ? x1 ) ? 0 ∴ f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 是 R 上的增函数。 (3)∵ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 f (2) ? 6 ∴ f (2) ? 3

....................3 分 ...................4 分 .....................5 分

.................7 分

..................8 分

...................9 分
2
2

∴不等式 f (3x ? x ? 2) ? 3 等价于 f (3x ? x ? 2) ? f (2) 又由(2)知: f ( x) 是 R 上的增函数 ∴

3x 2 ? x ? 2 ? 2
.....10 分

................................

即 3 x ? x ? 4 ? 0 ? ( x ? 1)( 3 x ? 4) ? 0 ? ?1 ? x ?
2

4 3
的 解 集 是

∴ {x| ? 1 ? x ?







4 }. 3

..................................12 分



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