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2015年高一数学精品优秀教案:2.1.2《指数函数及其性质》(新人教A版必修一)



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三维目标定向 〖知识与技能〗 (1)掌握指数函数的概念、图象和性质; (2)能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题。 〖过程与方法〗 通过对现实问题情境的探究,感受数学与现实生活的密切联系,理解从特殊到一般,转 化与化归等数学思想方法。 〖情感、态度与价值观〗 在本节的学习过程中要注意列表计算中结果的分析, 它是掌握指数函数的图象和性质的 基础, 函数图象是研究函数性质的直观工具, 利用图象可以帮助我们记忆函数的性质和变化 规律,因此,本节的学习要注重类比分析法、发现法、转化与化归等数学思想的应用,了解 事物之间的普遍联系与相互转化,体验数学知识在生产生活实际中的应用。 教学重难点:掌握指数函数的图象、性质及应用。 教学过程设计 一、问题情境设疑 材料 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个??一个这样的细胞分 裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 的函数关系是什么? 材料 2:当生物死后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年 衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期” 。根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢? 思考 1:函数 P ? ( ) 5730 (t ? 0) 与函数 y ? 2 ( x ? N ) 有什么共同特征?
x *

1 2

t

如果用字母 a 来代替数 ( ) 5730 和 2,那么以上两个函数都可以表示为形如 y ? a 的函
x

1 2

1

数,其中自变量 x 是指数,底数 a 是一个大于 0 且不等于 1 的变量。 这就是我们要学习的指数函数: y ? a (a > 0 且 a ? 1 ) 。
x

思考 2: y ? a (a > 0 且 a ? 1 ) ,当 x 取全体实数对 y ? a 中的底数为什么要求 a > 0
x x

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且 a ? 1? 方法:可举几个“特例” ,看一看 a 为何值时,x 不能取全体实数;a 为何值时,x 可取 全体实数;不能取全体实数的将不研究。 结论:当 a > 0 且 a ? 1 时, a x 有意义; 当 a = 1 时, y ? 1 ? 1 是常量,无研究价值;
x

当 a = 0 时,若 x > 0, a x ? 0 x ? 0 无研究价值;若 x ? 0 , a x ? 0 x 无意义; 当 a < 0 时, a x 不一定有意义,如 (?2) 2 。 为了便于研究,规定: a > 0 且 a ? 1 。 提问:那么什么是指数函数呢?思考后回答。 二、核心内容整合 1、指数函数的定义: 函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R。
x

1

练习 1:下列函数中,那些是指数函数?
x 4 x x


x 2x

(1) y ? 4 (2) y ? x (3) y ? ?4 (4) y ? (?4) (5) y ? ? (6) y ? 4 (7)

y ? x x (8) y ? (2a ? 1) x ( a ?
2、指数函数的图象和性质:

1 且 a ? 1) 2

思考 3:我们研究函数的性质,通常通过函数图象来研究函数的哪几个性质? 答:1、定义域;2、值域;3、单调性;4、对称性等。 思考 4:得到函数的图象一般用什么方法? 列表、求对应的 x 和 y 的值、描点、作图。 用描点法画出指数函数 y ? 2 x , y ? ( ) x 的图象。

1 2

思考:函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) x 的图象有什么关系?可否利用 y ? 2 的图象
x x

1 2

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画出 y ? ( ) x 的图象?(两个函数的图象关于轴对称) (3)相关结论 0 < a < 1 a > 1

1 2

图 象

定义域 值域 性 质 定点

R (0 , +∞) 过定点(0,1) ,即 x = 0 时,y = 1 (1)a > 1,当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1。

单调性 对称性

在 R 上是减函数

在 R 上是增函数

y ? a x 和 y ? a ? x 关于 y 轴对称

三、例题分析示例 例 1、已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象经过点(3,π ) ,求 f (0), f (1) ,
x

f (?3) 的值。

例 2、比较下列各题中两个值的大小: (1)1.7
2.5

,1.7 ; (2)0.8

3

– 0.1

,0.8

– 0.2

; (3)1.7

0.3

,0.9

3.1



四、学习水平反馈:课本 P58,练习 1、2、3。 五、三维体系构建 1、指数函数的定义; 2、指数函数简图的作法以及应注意的地方; 3、指数函数的图象和性质(见上表) 六、课后作业:P59,习题 2.1,A 组:5、6、7、8。 教学反思:

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第二课时 指数函数性质的应用 三维目标定向 〖知识与技能〗 在掌握指数函数性质的基础上利用指数函数的性质解决求函数的单调区间、比较大小、 求字母的取值范围、求一类函数的值域等问题,充分体现指数函数的性质应用,并且会借助 指数函数模型求解实际问题。 〖过程与方法〗 通过应用指数函数的性质解决实际问题的过程, 体会应用知识分析问题、 解决问题的思 维方法,学会转化和化归的数学思想。 〖情感、态度与价值观〗 增强学生的应用意识, 树立学好数学的信心, 最终形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 教学重难点:指数函数性质的应用。 教学过程设计 一、温故而知新 指数函数的概念、图象与性质(强调单调性) 二、核心内容整合 1、图象的平移与对称变换 一般地,对形如 y ? a 得到。 将指数函数的图象通过翻折、对称,再辅助平移变换可得到较为复杂的函数图象。 例 1、若函数 f ( x) ? a
x ?1 x?m

? n 形式的函数,其图象可由 y ? a x 的图象经过左右上下平移

? 3 恒过定点 P,试求点 P 的坐标。

解:将指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象沿 x 轴右移一个单位,再沿 y 轴上移 3
x

个 单位 即可 得到 f ( x) ? a

x ?1

,故 相应 的 ? 3 的 图 象, 因为 y ? a x 的 图 象恒 过( 0 , 1 )

。 f ( x) ? a x ?1 ? 3 恒过定点(1,4) 练习 1、说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2 的图象的关系,并画出他们的图象:
x

(1) y ? 2

x ?1



(2) y ? 2
| x ?1|

x?2

?1。

练习 2:画出函数 y ? 2

的图象。

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2、复合函数单调性的应用 指数函数的单调性应用十分广泛, 可以用来比较数或式的大小, 求函数的定义域、 值域、 最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。 对复合函数 y ? f [ g ( x)] ,若 u ? g ( x) 在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d) , 又函数 y ? f (u ) 在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数。可推广为 下表(简记为同增异减) :

u ? g ( x)
y ? f (u )

增 增 增
2 x ?7

增 减 减

减 增 减

减 减 增

y ? f [ g ( x)]
例 2、求不等式 a

? a 4 x ?1 (a ? 0且a ? 1) 中 x 的取值范围。
x

解:当 a > 1 时,函数 y ? a 在 R 上是增函数,所以

a 2 x ?7 ? a 4 x ?1 ? 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ? x ? ?3 ;
当 0 < a < 1 时,函数 y ? a 在 R 上是减函数,所以
x

a 2 x ?7 ? a 4 x ?1 ? 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ? x ? ?3 。
例 3、求函数 f ( x) ? ( ) x

1 2

2

? 6 x ?17

的定义域、值域、单调区间。

解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (??, ??) , (2)令 t ? x 2 ? 6 x ? 17 ,则 f (t ) ? ( )t , 因为 t ? x ? 6 x ? 17 ? ( x ? 3) ? 8 在 (??,3] 上是减函数, 而 f (t ) ? ( )t 在其定义域内
2 2

1 2

1 2

是减函数,所以函数 f ( x) 在 (??,3] 上为增函数。 又因为 t ? x ? 6 x ? 17 ? ( x ? 3) ? 8 在 [3, ??) 上是减函数, 而 f (t ) ? ( )t 在其定义域
2 2

1 2

内是减函数,所以函数 f ( x) 在 [3, ??) 上为增函数。 (3)因为 t ? x ? 6 x ? 17 ? ( x ? 3) ? 8 ? 8 ,而 f (t ) ? ( )t 在其定义域内是减函数,
2 2

1 2

所以 f ( x) ? ( ) x

1 2

2

? 6 x ?17

1 1 1 ,所以函数 f ( x) 的值域为 y ? (??, ? ( )8 ? ]。 2 128 128
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练习:讨论函数 y ? 5

x2 ? 2 x

的单调性。

3、奇偶性分析及应用 无论 0 < a < 1 或 a > 1, y ? a 均不为奇函数或偶函数,但由其参与而构成的较为复
x

杂的函数式的奇偶性,是经常出现的题型之一,其判断方法仍是判断 f ( x) 与 f (? x) 之间的 关系。 例 4、已知 f ( x) ? (

1 1 ? )? x, 2 ?1 2
x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。 (3)求证: f ( x) ? 0 。 解: (1)由 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 0 ,所以函数的定义域为 {x | x ? 0, x ? R} ; (2) f ( x) ? (

1 1 x(2 ? 2 x ? 1) x(2 x ? 1) ? ) ? x ? ? , 2x ?1 2 2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1)

则 f (? x) ?

? x(2? x ? 1) ? x(1 ? 2 x ) x(2 x ? 1) ? ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为偶函数。 2(2? x ? 1) 2(1 ? 2 x ) 2(2 x ? 1)
x

(3)当 x > 0 时,由指数函数的性质知 2 ? 1 ,所以

1 1 ? ? 0 ,所以当 x > 0 时, 2 ?1 2
x

f ( x) ? (

1 1 ? ) ? x ? 0 。由于 f ( x) 为偶函数,所以当 x < 0 时, f ( x) > 0。 2 ?1 2
x

总之, x ? R 且 x ? 0 时,函数 f ( x) ? 0 。 练习:已知 f ( x) ? k ? a ? a
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 为奇函数,则 k =



4、实际应用 指数函数应用广泛,如银行复利、人口增长、细菌繁衍、分期付款、土地流失等,这些 问题有些模型是指数函数 y ? a ,有些则是指数型函数 y ? ka 或 y ? ka ? b ,要具体问
x x x

题具体分析。

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例 5、截止 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%, 那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿, 则有 y ? 13 ? (1 ? 1%) ? 13 ? 1.01 (亿) ,当 x = 20 时, y ? 13 ? 1.01 ? 16 (亿) 。
x x 20

所以,经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿。 小结:在实际问题中,经常会遇到类似的指数增长模型:设原有量为 N,每次的增长率 为 p ,经过 x 次增长,该量增长到 y ,则 y ? N (1 ? p ) ( x ? N ) 。我们把形如 y ? ka
x x

( k ? R, a ? 0 且 a ? 1 )的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型。 练习(1)如果人口年平均增长率提高 1 个百分点,那么 20 年,33 年后我国的人口数 是多少? (2)如果年均增长率保持在 2%,试计算 2020 ~ 2100 年,每隔 5 年相应的人口数。 (3)我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待我国的计划生育政策?

三、课后作业:P65,习题 2.1,A 组 9,B 组 3,4。

教学反思:

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