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安徽省寿县迎河中学201202013学年高二上学期第四次月考数学(理)试题



寿县迎河中学高二第四次月考数学试题(理)
命题人:龙如山 时间:2013 年元月 6 日 一.选择题(共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分)

? 1. 已知命题 p: x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是( ? ? (A) ?p: x ? R,使 tan x ? 1 (B) ?p: x ? R,使 tan x ? 1



开始

? ,使 tan x ? 1 (D) ?p: x ? R,使 tan x ? 1 ? (C) ?p: x ? R
2.抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是( ) (A)( a ,0)(B) (- a ,0)(C)(0, a )(D)(0,- a )
3. 如图,该程序运行后输出的结果为 (

A=10,S=0 是 输出 S

A≤2? 否 S=S+2



(A)14

(B)16

(C)18

(D)64

4.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,-3,7) ,C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为( (A)2 (B) 4 (C)3
1 ? 1 的( )条件 a (A)充分不必要(B)必要不充分 (C)充要

结束 A=A-1 第 3 题图

) (D)5

5. 设 a ? R ,则 a ? 1 是

(D)既不充分也不必要
D1 A1 M B1 C1

6. 如 图 : 在 平 行 六 面 体 ABCD? A1 B1C1 D1 中 , M 为

A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b , AA1 ? c 则
下列向量中与 BM 相等的向量是( ) 1 1 1 1 (A) ? a ? b ? c (B) a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 (C) ? a ? b ? c (D) a ? b ? c 2 2 2 2 7.如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函 数 y ? x2 图象下方的点构成的区域.向 D 中随机投一点, 则该点落入 E 中的概率为( 1 1 A. B. 5 3 如果 x1 ? x2 =6,那么 AB =( ) C.
1 4 1 2
A

D B

C

D.

8. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x 1, y 1 )B(x 2 , y 2)两点, ) (A)6 (B)8 (C)9 (D)10 2 2 9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取

第1页

值范围是 ( (A)( ?



15 15 15 15 15 )(B)( 0, )(C)( ? , ,0 )(D( ? ,?1 ) 3 3 3 3 3

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F 1 且垂直于 x 轴的 a2 b2 直线与椭圆交于 A 、 B 两点,若△ ABF 2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为

10.已知点 F 1 、F 2 分别是椭圆 ( ) (A)
1 2

(B)

2 2

(C)

1 3

(D)

3 3

二.填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分) 11.某学校有教师 300 人,其中高级教师 90 人,中级教师 150 人,初级教师 60 人,为了了解教师的健康状况,从中抽取 40 人进行体检.用分层抽样方法抽取 高级、中级、初级教师人数分别为________〃 12.曲线 y ? 4 x ? x3 在点 ( ? 1,? 3)处的切线方程是_________________ x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 13 如果椭圆 36 9 _________。 14.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B1 C 1D 1 中,M、N 分别是 A 1 B 1 和 BB 1 中点,那 么直线 AM 和 CN 所成角的余弦为_______ 15. 将一张边长为 12 cm 的纸片按如图 1 所 示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形, 将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱 锥的体积是___________ . 锥模型,如图 2 放置.若正四棱锥的正视图是正三角形(如图 3),则四棱 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.写出必要的解题过程或演算步骤) 16 (本小题满分 12 分)求满足以下条件的圆锥曲线方程。 y 2 x2 ? ? 1 的右焦点重合,求抛物线的标准方程; (1)已知抛物线与双曲线 4 12 14 y2 x2 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为 (2)已知双曲线与椭圆 , 5 25 9 求双曲线的标准方程.
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭 2m m ? 1
图1 图2 图3

17(本小题满分 12 分)已知命题 p:方程

第2页

圆,命题 q:双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p 且 q 为真,p 或 q 为假。 5 m

试求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c在x ? 1及x ? 2 时取得 极值,(1)求 a、 b 的值; (2)若对于任意的0≤x≤3时,均有 f (x ) ? c2 成立,求c的取值范围。

19.(本小题满分 13 分)如图,多面体 ABCDS 中,平面 ABCD 为矩形 SD ? AD, 且SD ? AB, AD ? 1, AB ? 2 , SD ? 3. (1)求证:CD ? 平面ADS ; (2)求 AD 与 SB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A—SB—D 的余弦值.
S
第 题

C

B

D

A

19

20(本小题满分 13 分)设函数 f ( x ) ? 2ax ?
1 x 1 (1)若 f (x) 在 ?, x ? 处取得极值 , 2

b ? Lnx x
1 4

①求 a、b 的值; ②存在 x 0 ? [ ,2], 使

第3页

得不等式 f ( x 0 ) ? c ? 0 成立,求 c 的最小值; (2)当 b ? a时,若 f ( x)在(0, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围。 (参考数据 e2 ? 7.389, e3 ? 20.08)

6 x2 y2 21. 已知 椭 圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 离 心率 e ? , 过 点 A(0,?b), B(a,0) 的 直 线 a b 3
与原点的距离为

3 . ( 1 ) 求 椭 圆 的 方 程 ; ( 2 ) 已 知 定 点 E (?1,0) , 若 直 线 2

y ? kx ? 2(k ? 0) 与椭圆交于 C, D 两点,试判断:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径
的圆过点 E ?若存在,求出这个值;若不存在,说明理由.

第4页

寿县迎河中学高二第四次月考 数学试题(理)参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 二、填空题

C

A

B

C

A

A

B

B

D

D

11.12 人,20 人,8 人; 12.x-y-2=0 13.2x+y-10=0

14.

64 6 2 15. 5 3

三解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.写出必要的解题过程或演算步骤) P 16 解(1)由题可知 C 2 =4+12=16 于是可得 C ? 4 ? P=8 2 即抛物线的标准方程为 y = 16x (2)由题可知 a +b =16 且 即双曲线的标准方程为
2 2 2

4 4 14 2 2 ? ? 于是可得 a =4 ,b =12 5 a 5

y 2 x2 ? ?1 4 12

?m ? 1 ? 0 1 17.解:当 P 为真命题时有 ? 则0 ? m ? ----3 分 3 ?0 ? 2m ? 1 ? m

?m ? 0 ? 当 q 为真命题时有 ? 则0 ? m ? 15 -----3 分 5? m ?2 ?1 ? 5 ?
当 p 为真命题时则 q 也为真命题故不满足题意 1 当 p 为假命题 q 为真命题时 m 的取值范围为 ? m ? 15 3
? 1 ? 综上可知 m 的取值范围为 ?m | ? m ? 15? , ----12 分 ? 3 ?

18.(1)由题可知 f ? ? 2? ? 24 ? 12a ? 3b ? 0 =6x2 +6ax+3b 于是 f ? ?1? ? 6 ? 6a ? 3b ? 0 且 f ? ? 2? ? 24 ? 12a ? 3b ? 0 则 a=-3,b=4 -------6 分

第5页

(2)由 1)可知 f ? x ? =2x3 -9x 2 +12x+8c 又 f ? 0? ? 8c

f ?1? ? 5 ? 8c, f ? 2? ? 4 ? 8c, f ?3? ? 9 ? 8c ----------------10 分
于是有 8c ? c 2 则 0 ? c ? 8 即 c 的取值范围为 ? 0 ? c ? 8? ----------12 分 c 19 解:(1) ? ABCD 是矩形, ? CD ? AD 又 SD ? AB, AB // CD, 则CD ? SD AD? SD ? D ? CD ? 平面ADS
z

--------3 分

C

(2)DA、DC、DS 两两互相垂直,建立如图所示的空间直 角坐标系 ? S ( 3,0,0), A(0,1,0), B(0,1,2),C(0,0,2), D(0,0,0)

B

? AD ? (0,?1,0), SB ? (? 3,1,2)
? cos ? AD , SB ?? AD ? SB | AD | ? | SB | ?? 2 4

--------5 分 ---------7 分
D

2 . ---------8 分 ? AD 与 SB 所成的角的余弦为 S 4 ? (3) DS ? ( 3,0,0), DB ? (0,1,2) 设面 SBD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) x
? ?n ? DS ? 0 ? 3x ? 0 ? ? ??? ?? ? 取n ? (0,?2,1), ?n ? DB ? 6 ? y ? 2z ? 0 ?

A

y

--------9 分

又 ? AB ? (0,0,2), SA ? (? 3,1,0) ∴设面 DAB 的一个法向量为 m ? ( x, y, z)

所以所求的二面角的余弦为
x

15 5

----------13 分

20.解析:(Ⅰ) ? f ( x) ? 2ax ? b ? 1nx ,定义域为 (0,??)
? f '( x ) ? 2a ?

1 b 1 1 ? ? f ( x)在 x ? 1, x ? 处取得极值, ? f '(1) ? 0, f '( ) ? 0 2 2 x x 2

1 ? ?a ? ? 3 2a ? b ? 1 ? 0 ? 即? 解得 ? ? 2a ? 4b ? 2 ? 0 ? ?b ? ? 1 ? 3 ?

1 1 ? 所求a、b的值分别为- , ? 3 3

…5 分

第6页

1 存在xo ,使得不等式 f ( xo ) ? c ? 0成立,只需 c ? [ f ( x)] , (2)在 [ , 2] min 4
2 (2 x ? 1)( x ? 1) 由 f '( x) ? ? 2 x ? 1 2 ? 1 ? ? 2 x ? 3x ? 1 ? ? , 2 2

3

3x

x

3x

3x

1 1 1 1 ?当x ? [ , ]时,f '( x) ? 0, 故 f ( x )在[ , ] 是单调递减 ; 4 2 4 2 1 1 当 x ? [ ,1]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[ ,1]是单调递增 ; 2 2

当x ?[1, 2] 时,f '(x ) ,故 f ( x )在[1, 2] ? 0 是单调递减 ;
1 1 ? f ( )是f ( x)在[ , 2]上的极小值 . 2 4
2 3 2 3
6

………………8 分
1 2 3 2
3

而 f ( 1 ) ? 1 ? 1n 1 ? 1 ? 1n2 , f (2) ? ? 7 ? 1n2 ,且 f ( ) ? f (2) ? ? 1n4 ? 1ne 2 ? 1n4, 又 e ? 16 ? 0,?1ne ? 1n4 ? 0
3 3 2

?[ f ( x )] ? f (2), ? c ? ? f ( x)?min ? ? 7 ? ln 2 min
6

7 7 ? c的取值范围为[? ? 1n2, ??), 所以c的最小值为 ? ? 1n 2. ………10 分 6 6

(Ⅱ)当 a ? b时,f '( x) ?

2ax 2 ? x ? a , x2

① 当a ? 0时,f ( x) ? 1mx.则f ( x)在(0, ??)上单调递增 ; ②当 a ? 0 时,? x ? 0,?2ax2 ? x ? a ? 0 ,

? f '( x) ? 0,则f ( x)在(0,+?)上单调递增;
③ 当a ? 0时,设g ( x) ? 2ax2 ? x ? a, 只需? ? 0 , 从而得 a ? ?
2 , 此时f ( x)在(0 ? ?)上单调递减 ; 4 2 ] ? [0,+?) . 4

? 综上得, a的取值范围是(? ?,

………13 分

第7页

第8页



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