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2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺1(最新)



2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(1)
一 试
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an?2 ? an?1 ? an , n ? 1, 2,? .则

a2011 =



2.设 a,b,c 是正整数,且成等

比数列, b ? a 是一个完全平方数, . log6 a ? log6 b ? log6 c ? 6 ,则 a ? b ? c ? 3 . 一 列数 a1 , a2 , a3 ,? 满足对于任意正整数 n,都有 a1 ? a2 ? ?? an ? n3 ,则 1 1 1 . ? ?? ? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a1 0 0 ? 1 1 x 4. a ? ?1 , 设 变量 x 满足 x 2 ? ax ? ? x , x 2 ?a 的最小值为 ? , a ? _______. 且 则 2 5.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1,2,?,500? 中任取一个元素 m,则 m
1 ,则 n 的最大值是 . 100 6.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7.一个直径 AB ? 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点 S , 使 AS ? AB , C 为半圆上一个动点, N , M 分别为 A 在 SC , SB 上的射影.当三棱 锥 S ? AMN 的体积最大时, ?BAC ? _________. 8.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8x 于 A, B 两点,若 AB 中点的横坐标为 2 ,则

整除 n 的概率是

AB ?

.

二、解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分,共 56 分)
9.(本小题满分 16 分)设 x, y, z ??1, ?? ,证明不等式 ?

( x2 ? 2x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2)( z 2 ? 2z ? 2) ? ( xyz)2 ? 2xyz ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的离心率 a 2 b2 为 2,过点 P(0 , ) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点,且 m ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? AP ? 3 PB , OA ? OB ? 3 . (1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是 否存在定点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由.

10.(本小题满分 20 分)已知双曲线 C :

11. (本小题满分 20 分) 设 x1, x2 ,?, xn ,? 是不同的正实数.证明:x1, x2 ,?, xn ,? 是 一 个 等 比 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 : 对 所 有 整 数 n (? 2) , 都 有
2 x 2? x 2 x1 n?1 xn ? n 12 . ? 2 x2 k ?1 xk xk ?1 x2 ? x1

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(1)
加 试
1. (本题满分 40 分)实数 a 使得对于任意实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,不等式
2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? a( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x5 ) 都成立,求 a 的最大值.

2. (本题满分 40 分)在直角三角形 ABC 中, ?B ? 90? ,它的内切圆分别与边 BC,CA,AB 相切与点 D,E,F,连接 AD,与内切圆相交于另一点 P,连接 PC, PE,PF.已知 PC ? PF ,求证: PE ∥ BC .
A P F B C E

D

3. (本题满分 50 分) 对正整数 n, f (n) 为数 3n2 ? n ? 1 的十进制表示的数码和. 记 (1) 求 f (n) 的最小值; (2) 是否存在一个正整数 n,使得 f (n) =100?

4. (本题满分 50 分)求满足如下条件的最小正整数 n,在圆 O 的圆周上任取 n
2 个点 A1 , A2 , ?, An ,则在 Cn 个角 ? AiOAj (1 ? i ? j ? n) 中,至少有 2011 个不超过

120? .

2011 年全国高中数学联赛模拟题(1)参考答案
一 试
1. 0. 因为 a1 ? 2 ,a2 ? ?1 ,a3 ? 3 ,a4 ? 4 ,a5 ? 1 ,a6 ? 3 ,a7 ? 2 ,a8 ? 1 ,a9 ? 1 , a10 ? 0 , a11 ? 1 , a12 ? 1 , a13 ? 0 ,….所以,自第 8 项起,每三个相邻的项周 期地取值 1,1,0,故 a2011 =0. 2. 111. 由题意, b2 ? ac , log6 abc ? 6 ,所以, abc ? 66 ,故 b ? 62 ? 36 , ac ? 362 . 于是,36-a 是平方数,所以,a 只可能为 11,20,27,32,35,而 a 是 36 2 的约数,故 a ? 27 .进而, c ? 48 .所以, a ? b ? c ? 111. 33 3. . 100 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? ?? an ? n3 ,

a1 ? a2 ? ?? an?1 ? (n ?1)3 ,
两式相减,得 所以 故
2 , an ? 3 n ? 3 n ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , n ? 2 ,? , 3 an ? 1 3n (n? 1 ) 3 n? 1 n 1 1 1 ? ?? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a1 0 0 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 2 3 2 3 3 99 100 1 1 33 ? (1 ? )? . 3 100 100

3 4. ? . 2

a a2 由 a ? ?1 及 x 2 ? ax ? ? x 得:0 ? x ? ?(a ? 1) ,设 f ( x) ? x 2 ? ax ? ( x ? ) 2 ? . 2 4 a 若 ?(a ? 1) ? ? , 即 ?2 ? a ? ?1 , 则 f ( x) 在 x ? ?(a ? 1) 处 取 最 小 值 2 1 3 f (? a ? 1 ) ? a ? 1 ,因此 a ? 1 ? ? , a ? ? . 2 2 a a a2 若 ?(a ? 1) ? ? , 即 a ? ?2 , 则 f ( x) 在 x ? ? 处 取 最 小 值 ? ,因此 2 2 4 a2 1 ? ? ? , a ? ? 2 (舍去) . 4 2 5. 81. ? ? 由题设知,n 恰有 5 个约数.设 n 的质因数分解是 n ? p1 1 ? pk k ,则 n 的约数

个数为 (?1 ? 1)? ( k ? 1),所以 (?1 ? 1)? ( k ? 1)=5,故 n 具有 p 4 的形式,而 ? ?

34 ? 81, 54 ? 625 ? 500 ,故 n 的最大值为 81.

6. 22010. 令 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为 f(x)的展开式中,x 1 的奇次项的系数和.故所求的答案为 (f(1)-f(-1))=22010. 2 3 7. arccos . 3 易知 BC ? 面SAC ,所以 BC ? AN ,从而 AN ? 面SBC ,所以 AN ? SM ,因 1 此 SM ? 面AMN . VS ? AMN ? ? SM ? S ?ANM ,由 SA ? AB ? 2 得: AM ? SM ? 2 , 3 而 AN ? NM ,?AMN 为斜边长为 2 的直角三角形, 面积最大在 AN ? MN ? 1 时 取到,此时, ?BAC ? arccos 8. 2 15 . 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 y ?
y1 ? y 2?

3 . 3
ky 2 2 ? 2 , 即 k y ? 8 y?1 6 ? , 所 以 , 0 8

8 16 8 , y y1 ?2 ? , 因此 ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 4k ? 4 , k 2 ? k ? 2 ? 0 , 即 k k k ? y ? y2 ? 因直线 y ? kx ? 2 过 ? 0, ?2? 和 ? 2, 1 ? ,则 k ? 0 ,于是 k ? 2 ,再由 y ? 2 x ? 2 , 2 ? ?

y 2 ? 8x ,解得 A 2 ? 3, 2 ? 2 3 , B 2 ? 3, 2 ? 2 3 ,所以 AB ? 2 15 .
9.注意到 x ? 1, y ? 1,所以

?

? ?

?

( x2 ? 2x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2) ? (( xy)2 ? 2xy ? 2) ? (?2 y ? 2) x2 ? (6 y ? 2 y 2 ? 4) x ? (2 y 2 ? 4 y ? 2) 2 ? ? (y ?1 )x( ? y( ? 2 ) ? 1y ) 2 x ? ? ?2( y ? 1)( x ? 1)( x ? y ? 1) ? 0 , 所以 ( x2 ? 2x ? 2 ) y ? 2 ? 2? x (2 ? x2. 2 (2 y ) y ) y? 同理,因为 xy ? 1, z ? 1 ,所以
(( xy)2 ? 2 xy ? 2)( z 2 ? 2 z ? 2) ? ( xyz)2 ? 2 xyz ? 2 .

10.(1)由双曲线离心率为 2 知, c ? 2a , b ? 3a ,双曲线方程化为 x2 y 2 ? ? 1. a 2 3a 2 ? x2 y 2 ? ?1 ? 又直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? a 2 3a 2 ,得 ? y ? x?m ? 2 2 2 x ? 2mx ? m ? 3a 2 ? 0 . ① 2 2 ?m ? 3a 设 A( x1 ,1 ) , B( x2 ,2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? . y y 2 ??? ? ??? ? 因为 AP ? 3PB ,所以 (? x1 , ? y1 ) ? 3( x2 ,2 ? m) , x1 ? ?3x2 . m y 结 合 x1 ? x2 ? m , 解 得 x1 ?
3 1 ?m2 ? 3a 2 m , x2 ? ? m . 代 入 x1 x2 ? ,得 2 2 2

3 ?m2 ? 3a 2 ? m2 ? ,化简得 m2 ? 6a 2 .又 4 2 ??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m)

??? ??? ? ? 且 OA ? OB ? 3 . 所以 a 2 ? 1 .此时, m ? 6 ,代入①,整理得 2x2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方 程有两个不同的实根. a 2 ? 1 符合要求. y2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为 x 2 ? 3 (2)假设点 M 存在,设 M (t , .由(1)知,双曲线右焦点为 F (2 , .设 0) 0) Q( x0 ,0 ) ( x0 ? 1 )为双曲线 C 右支上一点. y y y 当 x0 ? 2 时, tan ?QFM ? ?k Q F ? ? 0 , tan ?QMF ? k Q M ? 0 ,因为 x0 ? 2 x0 ? t y 2? 0 y x0 ? t ?QFM ? 2?QMF ,所以 ? 0 ? . x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t
2 2 2 2 将 y0 ? 3x0 ? 3 代入,并整理得, ?2x0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2x0 ? 2tx0 ? t 2 ? 3 .

? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,

? 4 ? 2t ? ?2t 于是 ? ,解得 t ? ?1 . 2 ? ? 4t ? t ? 3 当 x0 ? 2 时 , ?QFM ? 900 , 而 t ? ?1 时 , ?QMF ? 450 , 符 合 ?Q F M? ? Q . F 2 M 0) 所以 t ? ?1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 (?1 , .
11.必要性:若 x1, x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列,设 xk ? ar k ?1 ,则
2 x1 n?1 xn r 2( n?1) ? ? x2 k ?1 xk xk ?1 r

?r
k ?1

n ?1

1
2 k ?1

? 1 ? r 2 ? ? ? r 2( n ?2) ?

r 2( n?1) ? 1 r 2 ?1

2 xn ? x12 = 2 2. x2 ? x1 充分性:当 n=2 时,两边都等于 1.当 n=3 时,有 2 x2 ? x2 ? x2 x1 ? x3 ? 3 ? ? 3 12 , ? 2 x2 ? x1 x2 x2 x3 ? x2 ? x1

2 化简得 x1 x3 ? x2 ,所以, x1 , x2 , x3 成等比数列.

假 设 x1 , x2 ,? , x ? 1成 等 比 数 列 ( n ? 4 ) 记 xk ? ar k ?1 , k ? 1, 2,?, n ? 1 , , n xn ? aun ,则
2 un ? 1 1 1 1 ? u2 ?1 , ? 3 ? ? ? 2 n ?5 ? n ? 2 ? ? n ? r ?r r r r un ? r 2 ? 1

2 2 ?un (1 ? r 2 ? r 4 ? ? ? r 2 n ?6 ) ? r n ?3un ? (r 2 ? 1) ? (un ? 1)r 2 n ? 4 , ? ? 2 un ? (r n?1 ? r n?3 )un ? r 2n?4 ? 0 ,

?u

n

? r n ?1 ?? un ? r n ?3 ? ? 0 ,

因为 un ? 0 ,所以 un ? r n?1 ,即 xn ? ar n?1 ,从而 x1 , x2 ,?, xn 成等比数列.由数学归 纳法知, x1, x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列.


1. a 的最大值为
2 3 . 3



因为当 x1 ? 1, x2 ? 3, x3 ? 2, x4 ? 3, x5 ? 1时,得 a ? 又当 a ?
2 时,不等式恒成立.事实上 3 2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5

2 . 3

2 2 2 2 2 2 ? 2 x2 ? ? 2 x2 x3 ? ? x3 2 x4 ? ? x4 2? ? ? x1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? x5 ? 3? ? 3 2 ? ? 2 3 ? ? 3 ? ? 2 2 2 2 ? x1 x2 ? x2 x3? x3 x4 ? x4 x5 , 3 3 3 3

所以,a 的最大值为

2 3 . 3

2.连接 DE,DF,则△BDF 是等腰直角三角形.于是 ?FPD ? ?FDB ? 45? , 故 ?DPC ? 45? .又 ?PDC ? ?PFD ,所以△PFD ∽ △PDC,所以 PF PD ? . ① FD DC ? 又由 ?AFP ? ?ADF , AEP ? ?ADE , 所以, △AFP ∽ △ADF, △AEP ∽ EP AP AP FP ? ? ? △ADE,于是 ,故由①得 DE AE AF DF EP PD ? . ② DE DC 因为 ?EPD ? ?EDC ,结合②得,△EPD ∽ △EDC,所以,△EPD 也是 等腰三角形,于是 ?PED ? ?EPD ? ?EDC ,所以, PE ∥ BC .
A P F B C E

D

3. (1)由于 3n2 ? n ? 1 是大于 3 的奇数,故 f (n) ? 1 . 若 f (n) ? 2 ,则 3n2 ? n ? 1 只能为首位和末位为 1,其余数码为 0 的一个数, 即 3n2 ? n ? 1 = 10k ? 1 , 是大于 1 的整数. k 于是 n(3n ? 1) ? 2k ? 5k , 由于 ? n, 3n ?1? ? 1 ,
?n ? 2k , ? 所以 ? 于是 3n ? 1 ? 4n ? 4 ? 2k ? 5k ,矛盾!故 f (n) ? 2 . k ?3n ? 1 ? 5 , ?

又当 n=8 时, 3n2 ? n ? 1 =201,所以 f (8) ? 3 . 综上所述, f (n) 的最小值为 3. (2)事实上,令 n ? 10k ? 1 ,则 3n2 ? n ? 1 ? 3 ?102k ? 5 ?10k ? 3 ? 299?? ??? , ??99500?003 ? ? ? ?
k ?1 k ?1

他的数码和为 2 ? 9(k ? 1) ? 5 ? 3 ? 9k ? 1 . 由于 100=9×11+1,所以,取 n ? 1011 ? 1 ,则 f (n) =100. 4.首先,当 n=90 时,如图,设 AB 是圆 O 的直径, 在 点 A 和 B 的 附 近 分 别 取 45 个 点 , 此 时 , 只 有 2 2C45 ? 45 ? 44 ? 1980 个角不超过 120? ,所以,n=90 不满足 题意. 当 n=91 时,下面证明至少有 2011 个角不超过 120? . 把圆周上的 91 个点 A1 , A2 , ?, A91 看作一个图的 91 个顶

A

O

B

点, v1 , v2 , ?, v91 ,若 ? AiOAj ? 120? ,则在它们对应的顶点 vi , v j 之间连一条边, 这样就得到一个图 G. 设图 G 中有 e 条边,易知,图中没有三角形. 2 若 e=0,则有 C91 ? 4095 ? 2011 个角不超过 120? ,命题得证. 若 e ? 1 ,不妨设顶点 v1 , v2 之间有边相连,因为图中没有三角形,所以,对 于顶点 vi (i ? 3, 4,?,91) ,它至多与 v1 , v2 中的一个有边相连,所以

d (v1 ) ? d (v2 ) ? 89 ? 2 ? 91 , 其中 d (v) 表示顶点 v 的度,即顶点 v 处引出的边数. 因为 d (v1 ) ? d (v2 ) ?? ? d (v91 ) ? 2e,而对于图 G 中的每一条边的两个顶点

vi , v j ,都有 d (vi ) ? d (v j ) ? 91 ,于是,上式对每一条边求和可得
(d (v1 ))2 ? (d (v2 ))2 ? ?? (d (v91 ))2 ? 91e ,
由柯西不等式 91[(d (v1 ))2 ? (d (v2 ))2 ? ?? (d (v91 ))2 ] ? [d (v1) ? d (v2 ) ? ?? d (v91)]2 ? 4e2 , 所以 故e ?
4e2 ? (d ( 1 )2 )? d (v 2( 2? ? ? d v (9 1 ( 2? ) e , 9 1 v )) ) 91

912 2 ? 2071 ,所以,91 个顶点中,至少有 C91 ? 2071 ? 2024 ? 2011 个点对, 4 它们之间没有边相连,从而,它们对应的顶点所对应的角不超过 120? . 综上所述,n 但最小值为 91.



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