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【优化课堂】2012高中数学 第二章 2.1.2 求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1



2.1.2 求曲线的方程

1.了解求曲线方程的步骤.

2.会求简单曲线的方程.

1.借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条 件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 f(x,y)=0 表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的

性质叫做__________.

坐标法
解析几何 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做_________. 2.解析几何研究的主要问题. 曲线的方程 (1)根据已知条件,求出表示____________.

性质 (2)通过曲线的方程,研究曲线的________.

3.求曲线(图形)方程的一般步骤.

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任
意一点 M 的坐标. (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}. (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0. (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式. (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上(一般

可以省略,必要时进行说明即可).

【要点】如何建立直角坐标系?

【剖析】在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”这一原
则.一般地,我们按以下几个原则来建立直角坐标系: (1)若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立直角坐 标系.

(2)若已知两定点,常以两定点的中点(或其中一个定点)为
原点,两定点所在的直线为 x 轴建立直角坐标系. (3)若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建立直 角坐标系.

(4)若已知一定点和一条直线,常以定点到定直线的垂线段 的中点为原点,以定点到定直线的反向延长线为 x 轴正方向建 立直角坐标系. (5)若已知定角,常以定角的顶点为原点,定角的角平分线 为 x 轴建立直角坐标系.

题型1 判断曲线与方程的对应关系 例1:下面的曲线 C 的方程是否为所列方程,为什么? (2)曲线 C 是到坐标轴距离相等的点组成的直线,方程: x-y=0.

(1)如图 2-1-1,曲线 C 为△ABC 的中线 AO,方程:x=0;

图 2-1-1

思维突破:曲线的方程需要满足以下两个条件:①曲线上 的点的坐标都是这个方程的解;②以这个方程的解为坐标的点 都是曲线上的点. 自主解答:(1)不是.不符合上面的②,如 P(0,-1)在 x=0 上,却不在曲线 C 上. (2)不是.不符合上面的①,如 P(-1,1)在曲线 C 上,却不 在方程 x-y=0 上.

【变式与拓展】 1.如图 2-1-2 所示的曲线方程是( B )

图 2-1-2
A.|x|-y=0 x C.|y|-1=0 B.x-|y|=0 |x| D. y -1=0

题型2 求曲线的方程 例2 已知在:ABC 中,三边 c>b>a,且 a,b,c 成等差数 列,b=2,试求点 B 的轨迹方程.

思维突破:解答本题可先由已知建立适当坐标系,列出动
点 B 满足的条件,再借助于两点间距离公式代入变量进行整理 和化简.

自主解答:如图 D4,以 AC 所在的直线为 x 轴,AC 的垂 直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.

图 D4 由于 b=|AC|=2,则点 A 坐标为(-1,0),点 C 坐标为(1,0). 因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c, 即 4=|BC|+|AB|.
设点 B 坐标为(x,y),则|AB|= ?x+1?2+y2,

|BC|= ?x-1?2+y2. 所以 4= ?x+1?2+y2+ ?x-1?2+y2. 移项,两边平方并整理,得 4-x=2 ?x-1?2+y2. 两边再平方,并整理,得 3x2+4y2=12. x2 y2 方程两边同除以 12,得 + =1. 4 3 又 c>a, 即|AB|>|BC|,且 A,B,C 三点不共线,所以 0<x<2. x2 y2 所以适合题意的动点 B 的轨迹方程为 + =1(0<x<2). 4 3

【变式与拓展】 2.动圆与 x 轴相切,且被直线 y=x 所截得的弦长为 2,求 动圆圆心 C 的轨迹方程.
解:设动圆圆心 C 的坐标为(x,y),直线与圆相交,依题
?|x-y|? ?2 设得? +1=|y|2,化简可得 x2-2xy-y2+2=0.即为动圆圆 ? 2 ? ? ?

心 C 的轨迹方程.



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