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数学-对勾函数


对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,又被称为“双勾函数”、"勾函 数"等。也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线” 所谓的对勾函数(双曲线函数),是形如 f(x)=ax+b/x 的函数。由图像得名。 图像 对勾函数:图像,性质,单调性

第三行为 f(x)=-(ax+b/y)大于等于 2√ab 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数, 见图示, 在作图时最好画出渐近线, y=x。 奇偶性与单调性 当 x>0 时,f(x)=ax+b/x 有最小值(这里为了研究方便,规定 a>0,b>0),也就 是当 x=sqrt(b/a)的时候(sqrt 表示求二次方根) 奇函数。 令 k=sqrt(b/a),那么: 增区间:{x|x≤-k}和{x|x≥k}; 减区间: {x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势: y 轴左边, 在 增减, y 轴右边, 在 减增,是两个勾。 渐近线 对号函数的图像是分别以 y 轴和 y=ax 为渐近线的两支双曲线。 编辑本段均值不等式 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式,其实也是根据二次函 数得来的。我们都知道,(a-b)^2≥0,展开就是 a^2-2ab+b^2≥0,有 a^2+b^2≥2ab,两边同时加上 2ab,整理得到(a+b)^2≥4ab,同时开根号,就 得到了平均值定理的公式:a+b≥2sqrt(ab)。现在把 ax+b/x 套用这个公式,得 到 ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab),这里有个规定:当且仅当 ax=b/x 时取 到最小值,解出 x=sqrt(b/a),对应的 f(x)=2sqrt(ab)。我们再来看看均值不 等式,它也可以写成这样:(a+b)/2≥sqrt(ab),前式大家都知道,是求平均

数的公式。那么后面的式子呢?也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算 术平均数, 而后面的则称为几何平均数,总结一下就是算术平均数绝对不会小于 几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 编辑本段导数求解 其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算,这也很 简单,但要熟练掌握。举几个例子:1/x=x^-1,4/x^2=4x^-2。明白了吧,x 为 分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有 f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1,求导方法 一样,求得的导函数为 a+(-b)x^-2,令 f'(x)=0,计算得到 b=ax2,结果仍然是 x=sqrt(b/a),如果需要的话算出 f(x)就行了。平时做题的时候用导数还是均 值定理,就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论,有时 ax≠b/x, 就不能用均值定理了。 上述研究都是建立在 x>0 的基础上的,不过对勾函数是奇函数,所以研究出正半 轴图像的性质后,自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题(图像不再规 则),就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究,这个能力非常重 要,一定要多练,争取做到特别熟练的地步。 事实上,利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说,对勾 函数是双曲线,这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。 另外对于二次曲线,他只可能是以下几种情况:圆,椭圆,双曲线,抛物线,或 者是两条直线。 由对勾函数的图像看出来,非双曲线莫属了。 编辑本段其它解法 面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多,需要我们深入探究:⑴它的单 调性与奇偶性有何应用?而值域问题恰好与单调性密切相关, 所以命题者首先想 到的问题应该与值域有关;⑵函数与方程之间有密切的联系,所以命题者自然也 会想到函数与方程思想的运用;⑶众所周知,双曲线中存在很多定值问题,所以 很容易就想到定值的存在性问题。 因此就由特殊引出了一般结论; 继续拓展下去, 用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否与均值有关系 编辑本段高考例题 2006 年高考上海数学试卷(理工农医类)已知函数 y=x+a/x 有如下性质:如果 常数 a>0,那么该函数在 (0,√a] 上是减函数,在 ,[√a,+∞)上是增函数. ⑴如果函数 y=x+(2^b)/x (x>0)的值域为 [6,+∞),求 b 的值; ⑵研究函数 y=x^2+c/x^2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; ⑶对函数 y =x+a/x 和 y =x^2+a/x^2(常数 a >0)作出推广,使它们都是你所 推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明), 并求函数 F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n(x 是正整数)在区间[&frac12;,2] 上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) 当 x>0 时,f(x)=ax+b/x 有最小值;当 x<0 时,f(x)=ax+b/x 有最大值 f(x)=x+1/x 首先你要知道他的定义域是 x 不等于 0

当 x>0, 由均值不等式有: f(x)=x+1/x>=2 根号(x*1/x)=2 当 x=1/x 取等 x=1,有最小值是:2,没有最大值。 当 x<0,-x>0 f(x)=-(-x-1/x) <=-2 当-x=-1/x 取等。 x=-1,有最大值,没有最小值。 值域是:(负无穷,-2)并(2,正无穷) -------------- 证明函数 f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在 x>0 上的单调性 设 x1>x2 且 x1,x2∈(0, +∝) 则 f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -(ax2+b/x2) =a(x1-x2)-b(x1-x2) /x1x2 = (x1-x2) (ax1x2-b) /x1x2 因为 x1>x2, x1-x2>0 当 x∈ 则 (0, (b/a) √ ) 时,x1x2<b/a 则 ax1x2-b<b-b=0 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 x∈(0,√(b/a)) 时,f(x)=ax+b/x 单调递减; 当 x∈(√(b/a),+∞)时,x1x2>b/a 则 ax1x2-b>b-b=0 所以 f(x1) -f(x2) 即 x∈ (b/a) +∞) f(x)=ax+b/x >0, (√ , 时, 单调递增。 编辑本段重点(窍门) 其实对勾函数的一般形式是: f(x)=x+a/x(a>0) 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 值域为(-∞,-2√ab)∪(2√ab,+∞) 当 x>0,有 x=根号 a,有最小值是 2 根号 a 当 x<0,有 x=-根号 a,有最大值是:-2 根号 a 对勾函数的解析式为 y=x+a/x(其中 a>0),它的单调性讨论如下: 设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2) =(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2) 下面分情况讨论 ⑴当 x1<x2<-根号 a 时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数在(-∞,-根号 a)上是增函数 ⑵当-根号 a<x1<x2<0 时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),所以函数在(-根号 a,0)上是减函数 ⑶当 0<x1<x2<;根号 a 时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),所以函数在(0,根号 a)上是减函数 ⑷当根号 a<x1<x2 时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数在(根号 a,+∞)上是增函数 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。


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