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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题试题



1.(2012?沈阳市二模)在平行四边形 ABCD 中, BAD=60°, =2AB, P 是平面 ABCD ∠ AD 若 → 3 内一点,且满足 xAB+yAD+PA=0(x,y∈R),则当点 P 在以 A 为圆心, |BD|为半径的圆 3 上时,实数 x,y 应满足关系式为( A.4x +y +2xy=1 C.x +4y -2xy=1 [答案] D → → → → → → →

[解析] ∵xAB+yAD+PA=0,∴AP=xAB+yAD, → → → → → 3 2 2 ∵AD=2AB, BAD=60°, BD= 3AB, AP|= |BD|=|AB|, AP| =(xAB+yAD) ∠ ∴ ∴| ∴| 3 →
2 2 2 2 2 2 2







) B.4x +y -2xy=1 D.x +4y +2xy=1
2 2 2 2


2




2


2 2


2




2

=x |AB| +y |AD| +2xy?AB?AD=x |AB| +4y |AB| +2xy?|AB|?|AD|?cos60°=(x + → 4y +2xy)|AB| ,∴x +4y +2xy=1,故选 D. → → 将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( A. C. 1 4 1 2 B. D. 1 3 2 3 ) → 2.(2012?河北郑口中学模拟)已知 P 是△ABC 所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现
2 2 2 2

[答案] C → → 点, → → → → → → → [解析] 如图,PB+PC=PE=2PD,∵PB+PC+2PA=0,∴PA+PD=0,∴P 为 AD 的中

∴所求概率为 P=

S△PBC 1 = . S△ABC 2
→ → →
2

→ A.等边三角形 C.直角三角形 [答案] C →

3.在△ABC 中,(BC+BA)?AC=|AC| ,则三角形 ABC 的形状一定是( B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

)


2



→ →

[解析] 由条件知|AC| =(BC+BA)?(BC-BA) →
2


2 2 2 2

=|BC| -|BA| ,∴AB +AC =BC , ∴△ABC 为直角三角形. 4.(2012?郑州六校质检)已知 a、 为非零向量, =a+tb(t∈R), a|=1,|b|=2, b m 若| 1 当且仅当 t= 时,|m|取得最小值,则向量 a、b 的夹角为( 4 A. C. π 6 2π 3 B. D. π 3 5π 6 )

[答案] C [解析] ∵m=a+tb,|a|=1,|b|=2,令向量 a、b 的夹角为 θ ,∴|m|=|a+tb|= |a| +t |b| +2t|a||b|cosθ = 4t +4tcosθ +1= 1 1 cosθ 又∵当且仅当 t= 时,|m|最小,即 + =0, 4 4 2 1 2π ∴cosθ =- ,∴θ = .故选 C. 2 3
2 2 2 2

4?

t+

cosθ ? 2

2

+1-cos θ .

2

5.(文)(2011?河南质量调研)直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =9 相交于两点 M、N,若 →
2 2 2

2

2

→ ) B.-14 D.14

c =a +b ,则OM?ON(O 为坐标原点)等于(
A.-7 C.7 [答案] A → →

[解析] 记OM、ON的夹角为 2θ .依题意得,圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离等 于 1 1 2 7 2 =1,∴cosθ = ,∴cos2θ =2cos θ -1=2?( ) -1=- , 3 3 9 a +b
2 2

|c|

→ → ∴OM?ON=3?3cos2θ =-7,选 A. (理)设 F1、F2 为椭圆 +y =1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 4 → A.0 [答案] D [解析] 由题意得 c= a -b = 3, 1 又 S 四边形 PF1QF2=2S△PF1F2=2? ?F1F2?h (h 为 F1F2 边上的高),所以当 h=b=1 2 时,S 四边形 PF1QF2 取最大值,此时∠F1PF2=120°. → → → → 所以PF1?PF2=|PF1|?|PF2|?cos120° 1 =2?2?(- )=-2. 2 → → 6. 如图, 在△ABC 中, =5, =3, =4, O 是△ABC 的外心, OC?CA=( AB BC CA 且 则 )
2 2

x2

2

→ ) D.-2

两点,当四边形 PF1QF2 面积最大时,PF1?PF2的值等于( B.2 C.4

A.6

B.-6

C.8

D.-8

[答案] D [解析] ∵AB =AC +BC ,∴∠ACB 为直角, ∵O 为△ABC 外心, → → → 1 ∴OC?CA=-CO?CA=- (CA+CB)?CA 2 → → → 1 1 2 =- |CA| - CB?CA=-8. 2 2 7. → → → →
2 2 2

(文)(2011?佛山二检)如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,E 为 CD 的中 → → 点,则AE?BD=________. [答案] 1 [解析] 以 A 为原点,AB 所在的直线为 x 轴,过 A 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面 直角坐标系. 由题设条件得 A(0,0)、B(2,0)、E(2, 3)、D(1, 3), → → ∴AE?BD=1. (理)

(2012?宁夏三市联考)在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E → → 为 CD 的中点,则AE?BD=________.

3 [答案] - 2 → → → → → → → → → → → 1 1 1 3 [解析] AE?BD=(AD+ DC)?(BA+BC)=AD?BA+AD?BC+ DC?BA+ DC?BC=- . 2 2 2 2 8.(2011?河北玉田一中质检)已知向量 a=(x ,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x) =a?b 在区间 (-1,1)上是增函数,则 t 的取值范围为________. [答案] t≥5 [解析] 由题意知,f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x +tx+t,则 f ′(x)=-3x
2 2 3 2 2 2







+2x+t.若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则 f ′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立?t≥3x -2x 1 2 在区间(-1,1)上恒成立,令 g(x)=3x -2x,由于 g(x)的图象是对称轴为 x= 、开口向上 3 的抛物线, 故要使 t≥3x -2x 在区间(-1,1)上恒成立, 必有 t≥g(-1)成立, t≥5 成立. 即 故 使 f(x)在(-1,1)上是增函数的 t 的取值范围是 t≥5. 9.
2

如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 → 9 [答案] - 2 → → → → → 3 2 9 9 - ) - ,所以(PA+PB)?PC的最小值为- . 2 2 2 10.已知两个不共线的向量 a,b 的夹角为 θ ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实数. (1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tanθ ; π (2)若 θ = ,求|xa-b|的最小值及对应的 x 值,并指出向量 a 与 xa-b 的位置关系. 6 [解析] (1)由题意得,(a+2b)?(a-4b)=0. 即 a -2a?b-8b =0,得 3 -2?3?1?cosθ -8?1 =0,
2 2 2 2





OC 上的动点,则(PA+PB)?PC的最小值为________.



→ →
2

[解析] 设 PC=x, 0≤x≤3.(PA+PB)?PC=2PO?PC=-2x?(3-x)=2x -6x=2(x 则

1 π 得 cosθ = ,又 θ ∈(0,π ),故 θ ∈(0, ), 6 2 因此,sinθ = 1-cos θ = sinθ tanθ = = 35. cosθ (2)|xa-b|= ? =
2

1-?

1 ? 6

2



35 , 6

xa-b?

2

= x a -2xa?b+b 9?

2 2

2

π 2 9x -2x?3?1?cos +1= 6

x-

3 ? 6

2

1 + , 4

故当 x=

3 1 时,|xa-b|取得最小值 , 6 2
2

此时,a?(xa-b)=xa -a?b=

3 π ?9-3?1?cos =0,故向量 a 与 xa-b 垂直. 6 6 能力拓展提升

→ → 的轨迹方程是( A.x+y-2=0 C.x+2y-2=0 [答案] A → → → → → → → → → → )











11.(文)已知不共线向量OA、OB,且 2OP=xOA+yOB,若PA=λ AB(λ ∈R),则点(x,y)

B.2x+y-1=0 D.2x+y-2=0





[解析] 由PA=λ AB得,OA-OP=λ (OB-OA), 即OP=(1+λ )OA-λ OB. 又 2OP=xOA+yOB, ∴?
?x=2+2λ , ? ? ?y=-2λ ,

消去 λ 得 x+y=2,故选 A. → →

(理)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA?AF=-4, 则点 A 的坐标是( A.(2,±2) C.(1,2) [答案] B [解析] 由题意 F(1,0),设 A( ,y0), 4 ) B.(1,±2) D.(2,2 2)

2

y2 0



则OA=( ,y0),AF=(1- ,-y0), 4 4 → → ∵OA?AF=-4, ∴ (1- )-y0=-4,解得 y0=2 或 y0=-2. 4 4 ∴当 y0=2 时,x0= =1; 4 当 y0=-2 时,x0= =1. 4 故 A(1,±2).故选 B. 12.(2011?北京东直门中学模拟)若函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< → → 一个周期内的图象如图所示,、 分别是这段图象的最高点和最低点, OM?ON=0, A?ω M N 且 则 等于( ) π )在 2

y2 0



y2 0

y2 0

y2 0

2

y2 0 y2 0

A. C.

π 6 7 π 6

B. D.

7 π 12 7 π 3

[答案] C π π [解析] 由图可知,T=4( - )=π ,∴ω =2. 3 12 π ∵M( ,1)在图象上, 12 π ∴sin(2? +φ )=1, 12

π π π ∵|φ |= ,∴φ = ,∴y=Asin(2x+ ), 2 3 3 → → π 7π 又∵M( ,A),N( ,-A),OM?ON=0, 12 12 ∴ π 7π 7 2 ? -A =0,∴A= π , 12 12 12 7 7 π = π ,故选 C. 12 6 → → 在CB方向上的投影为( A.-3 C. 3 [答案] C → → → → → → 影为|CA|?cos30°=2? → → → → → → [解析] ∵OA+AB+AC=0, ∴OB=CA,∴|OB|=|CA|, 又|OA|=|AB|,∴如图,AB=AC=OA=OB=OC=2,∠ACB=30°,∴CA在CB方向上的投 3 = 3. 2 ) B.- 3 D.3 → → → → →

∴A?ω =2?

13.(文)△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2,OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,向量CA

(理)在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中 → → 点,则MA?MD=( A.1 ) B.2 C.3 D.4

[答案] B [解析] 由条件知 AB=2,CD=1,BC= 2, ∴MB=MC= 2 , 2

→ →





∴MC?BA=|MC|?|BA|?cos45°= → → → →

2 2 ?2? =1, 2 2

MB?CD=|MB|?|CD|?cos135°
= 2 1 2? ? ?1??- ?=- , 2 2 ? 2? → → → → → → → → → →

∴MA?MD=(MB+BA)?(MC+CD) → → → → =MB?MC+MB?CD+BA?MC+BA?CD =-?

? 2?2 ? 1? ? +?- ?+1+2?1=2,故选 B. ? 2 ? ? 2?

x2 y2 a2 2 2 14.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)(c>0),作圆 x +y = 的切线, a b 4
→ → 1 切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率为________. 2 [答案] 10 2
2 2



→ → 1 [解析] ∵PF 与圆 x +y = 相切,∴OE⊥PF,且 OE= ,∵OE= (OF+OP),∴E 为 PF 4 2 2

a2

a



的中点,又 O 为 F1F2 的中点,∴|PF2|=2|OE|=a,由双曲线定义知,|PF|=|PF2|+2a=3a, 5 2 2 2 2 2 2 2 在 Rt△PF1F2 中,|PF| +|PF2| =|F1F2| ,∴a +9a =4c ,∴e = , 2

∵e>1,∴e= 15.

10 . 2

(文)点 D 是三角形 ABC 内一点,并且满足 AB +CD =AC +BD ,求证:AD⊥BC. → → → → → → [分析] 要证明 AD⊥BC,则只需要证明AD?BC=0,可设AD=m,AB=c,AC=b,将BC用

2

2

2

2

m,b,c 线性表示,然后通过向量的运算解决.
→ → →
2 2

→ →
2 2

→ → →

[证明] 设AB=c,AC=b,AD=m, → 则BD=AD-AB=m-c,CD=AD-AC=m-b. ∵AB +CD =AC +BD , ∴c +(m-b) =b +(m-c) ,即
2 2 2 2

c2+m2-2m?b+b2=b2+m2-2m?c+c2,
→ → → ∴AD?CB=0,∴AD⊥BC. (理)已知四边形 ABCD 是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F. 求证:AF=AE. [证明] → → ∴m?(c-b)=0,即AD?(AB-AC)=0,

如图, 建立平面直角坐标系, 设正方形 ABCD 的边长为 1, A(-1,1), (0,1), E(x, 则 B 设

→ =0 ①. → →







y),则BE=(x,y-1),AC=(1,-1),又AC∥BE,∴x?(-1)-1?(y-1)=0,∴x+y-1

又|CE|=|AC|,∴x +y -2=0 ②.

2

2

?x=1+ ? 2 由①②得? ?y=1- ? 2

3 3

?x=1- ? 2 或? ?y=1+ ? 2

3 3 (舍去),

1+ 3 1- 3 即 E( , ). 2 2 1+ 3 1- 3 1- 3 1+ 3 设 F(x′,1),由CF=(x′,1)和CE=( , )共线得 x′- =0, 2 2 2 2 解得 x′=-2- 3, ∴F(-2- 3,1), 3+ 3 1+ 3 ∴AF=(-1- 3,0),AE=( ,- ), 2 2 → ∴|AE|= ? ∴AF=AE. → → 16.(文)已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M 满足PA?AM → 3 =0,AM=- MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程. 2 [解析] 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,设 A(a,0),Q(0,b)(b>0), → → → 由PA?AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① → 3 由AM=- MQ得, 2 3 3 3 (x-a,y)=- (-x,b-y)=( x, (y-b)), 2 2 2 → → → 则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y), → 3+ 3 ? 2
2









+?

1+ 3 - ? 2


2

=1+ 3=|AF|,

3 ?x-a=2x, ? ∴? 3 3 ?y=2y-2b, ?

?a=-x, ? 2 ∴? y ?b=3. ?
x x

把 a=- 代入①,得- (x+ )+3y=0, 2 2 2 1 2 整理得 y= x (x≠0). 4 (理)(2011?山东潍坊质检)已知椭圆 + =1 的两个焦点分别为 F1 和 F2,点 P 为椭圆 8 2 上的动点,则当∠F1PF2 为锐角时,求点 P 的纵坐标 y0 的取值范围. → 得 y0 的取值范围. [解析] 设 P(x0,y0),由于 P 点在椭圆上,所以 + =1,∵PF1?PF2=|PF1||PF2|cos 8 2 ∠F1PF2, 若∠F1PF2 为锐角,则 cos∠F1PF2>0, → → →
2

x

x2 y2







[分析] ∠F1PF2 可视为PF1与PF2的夹角,因此可通过PF1?PF2>0 建立关于 y0 的不等式求

x2 y2 0 0









→ → →
2 2 2 2 2

故PF1?PF2>0,而 F1(- 6,0),F2( 6,0),

PF1=(- 6-x0,-y0),PF2=( 6-x0,-y0),
所以PF1?PF2=x0-6+y0>0, 又 x0=8-4y0,因此 8-4y0+y0-6>0, 解得- 6 6 <y0< ,但由于当 y0=0 时,点 P 与椭圆长轴重合,∠F1PF2 不是锐角, 3 3 6 6 <y0<0 或 0<y0< . 3 3

所以 y0 的取值范围是-

[点评] 利用平面向量的数量积可以解决角的范围问题,如果∠APB 为锐角(钝角)时, → → → → 可通过PA?PB>0(PA?PB<0)来求解,但要注意其中 A、P、B 三点共线的情况.本题中很容易 忽视 y0≠0 这一限制条件.

1.(2011?江南十校素质测试)已知 a、b、c 是同一平面内的三个单位向量,它们两两 之间的夹角均为 120°,且|ka+b+c|>1,则实数 k 的取值范围是( )

A.(-∞,0) C.(-∞,0)∪(2,+∞) [答案] C

B.(2,+∞) D.(0,2)

[解析] 根据|ka+b+c|>1 可得|ka+b+c| >1, ∴k a +b +c +2ka?b+2ka?c+2c?b>1, ∴k -2k>0,k<0 或 k>2. 2.(2011?浙江理)若平面向量 α 、β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量 α 、β 为邻 1 边的平行四边形的面积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________. 2 π 5π [答案] [ , ] 6 6 1 [解析] 平行四边形面积 S=|α ||β |sinθ = , 2 ∵|α |≤1,|β |≤1, 1 π 5π ∴sinθ ≥ ,又 θ ∈[0,π ],∴θ ∈[ , ]. 2 6 6 3.已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在动摩擦系数 μ =0.02 的水平平面上运动了 20 m,问 F 和摩擦力 f 所做的功分别为 多少? [分析] 力 F 作用下物体位移 s 所做的功 W=|F||s| cos〈F,s〉 . [解析] 设木块的位移为 s, 则 F?s=|F||s|cos30°=50?20? 3 =500 3(J), 2
2 2 2 2 2

2

F 在竖直方向上的分力的大小为
1 |F|sin30°=50? =25(N). 2 所以,摩擦力 f 的大小为 |f|=(80-25)?0.02=1.1(N), 所以 f?s=|f||s|cos180° =1.1?20?(-1)=-22(J). 即 F,f 所做的功分别是 500 3 J,-22 J. 4.求证:(ac+bd) ≤(a +b )(c +d ). [分析] 联想到向量模的坐标表示式, 可将 a +b 与 c +d 分别视作向量 α =(a, ), b β =(c,d)的模,于是 ac+bd=α ?β ,因此可以运用向量知识探求证明方法.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

→ → →



[证明] 设OA=(a,b),OB=(c,d). 当OA、OB至少有一个为零向量时,所证不等式成立; → → 当OA、 均不是零向量时, OB 设其夹角为 α , 则有 cosα = → →

OA?OB
→ →



ac+bd , a +b2? c2+d2
2

|OA|?|OB| ∵|cosα |≤1,∴?
2 2

ac+bd ? ? 2 2 2 2?≤1, ? a +b ? c +d ?
2 2 2

即(ac+bd) ≤(a +b )(c +d ). [点评] 待解决的代数、 几何、 三角、 物理等问题, 只要其表达式能用向量运算来表示, 就可以考虑使用向量方法去试着解决. 本例中 a +b ,c +d 与向量的模有联系,而 ac+bd 与向量的数量积有联系,故可尝试 能否设出向量来表示.
2 2 2 2



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