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圆锥曲线07高考题及答案.


2007 年高考数学试题圆锥曲线汇编
一、选择题 1. (全国 1 文理)已知双曲线的离心率为 2,焦点是 ( ? 4, 0 ) , ( 4, 0 ) ,则双曲线方程为
x
2

A.

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

4

12

12

4

10

6

6

10

2 2、 (全国 1 理 11 文 12)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的直线

与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A, A K ? l ,垂足为 K,则△AKF 的面积是 A.4 B. 3 3 C. 4 3 D.8

3、 (山东文 9)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点, A 是抛物线上的一
2

点,
??? ? ??? ? ? F A 与 x 轴正向的夹角为 6 0 ,则 O A 为(


13 36

A.

21 p 4

B.

21 p 2

C.

13 6

p

D.

p

4、 (天津理 4) 设双曲线
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为

3 , 且它的一条准线与抛物线

y ? 4 x 的准线重合,则此双曲线的方程为

( C.
x
2

)

A.

x

2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

?

2y 3

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

12

24

48

96

3

3

6

5、 (天津文 7)设双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为 3 ,且它的一条准线与抛

物线 y ? 4 x 的准线重合,则此双曲线的方程为(
2



1

A.

x

2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

12 x
2

24 2y 3 x a
2

48 x
2

96

C.

?

?1

D.

?

y

2

?1

3

3
2 2

6 y b
2 2

6、 (全国 2 理 11)设 F1,F2 分别是双曲线

?

? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,

使∠F1AF2=90? ,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为 (A)
5 2

(B)

10 2

(C)

15 2

(D)

5

7、 (全国 2 文 11)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.
1 3



B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2

8、 (全国 2 文 12)设 F1, F2 分别是双曲线 x ?
2

y

2

? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,

9

且 P F1 ?P F 2 ? 0 ,则 P F1 ? P F 2 ? ( A. 1 0 B. 2 1 0

???? ???? ?

????

???? ?

) D. 2 5

C. 5

9、 (安徽文 2)椭圆 x ? 4 y ? 1 的离心率为
2 2

(A)

3 2

(B)

3 4

(C)

2 2

(D)

2 3

10 、( 安 徽 理 9 ) 如 图 , F1 和 F 2 分 别 是 双 曲 线
x a
2 2

?

r b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,

以 O F 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且△ F 2 AB 是 等边三角形,则双曲线的离心率为 (A) 3 (B) 5 (C)
5 2

(D) 1 ?

3

2

11、 (北京文 4)椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别

为 M , N ,若 M N ≤ ? F1 F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0, ? 2
? ? ? 1?


? ? ,? 1 ? ? 2 ? 2

B. ? 0,
? ?

?

2? ? 2 ?

1 C. ? ,? ?2

?1

? ?

D. ?

12、 (江苏 3)在平面直角坐标系 xO y 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线 方程为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为(A)
5 2

A. 5

B.

C. 3

D. 2

13、(福建文 10)以双曲线 x2-y2=2 的右焦点为圆心,且与其右准线相切的圆的方程是 A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0

14、 (湖南理 9)设 F1, F2 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右

准线上存在 P , 使线段 P F1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0,
? ? ? 2? ? 2 ?



B. ? 0,
? ?

?

3? ? 3 ?

C. ?

?

? ,? 1 ? ? 2 ? 2

D. ?

?

? ,? 1 ? ? 3 ? 3

15、 (湖南文 9)设 F1、 F2 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,P 是其右准线

上纵坐标为 3c ( c 为半焦距)的点,且 F1 F2 ? F2 P ,则椭圆的离心率是
3 ?1 2

A.

B.

1 2

C.

5 ?1 2

D.

2 2

3

16、 (江西理 9 文 12)设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为 e ?

1 2

0 ,右焦点为 F ( c,) ,

方程 a x ? b x ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x 2 ,则点 P ( x1, x 2 ) (
2



A.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

B.必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

C.必在圆 x ? y ? 2 外
2 2

D.以上三种情形都有可能

0 17、 (江西文 7)连接抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 与点 M (1,) 所得的线段与抛物线交于点 A ,
2

设点 O 为坐标原点,则三角形 O A M 的面积为( A. ? 1 ?
2


2

B.

3 2

?

2

C. 1 ?

D.

3 2

?

2

18、 (湖北理 7)双曲线 C 1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别

为 F1 和 F2 ; 抛 物 线 C 2 的 准 线 为 l , 焦 点 为 F 2; C 1 与 C 2 的 一 个 交 点 为 M , 则
F1 F 2 M F1 ?
1 2

MF M F2

1

等于



)A. ? 1

B. 1

C. ? y D O L

1 2

D.

M x

F1 19、 (浙江理 9 文 10) 已知双曲线
x a
2 2

F2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的左、



焦点分别为 F1 , F2 , P 是准线上一点, 且 P F1 ? P F 2 , P F1 ? P F 2 ? 4 a b ,则双曲线的离心率是( A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 )

20、 (海、 宁理 6 文 7) 已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F , P1 ( 1 ,1 ) , x(2 y 2, ) 点 x y P2
2



P3 ( x 3, y 3 ) 在抛物线上,且 2 x 2 ? x1 ? x 3 , 则有(



4

A. F P1 ? F P2 ? F P3 C. 2 F P2 ? F P1 ? F P3

B. F P1 ? F P2 D. F P2
2

2

2

? F P3

2

? F P1· F P3

21、 (重庆文 12)已知以 F1(2,0) 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? ,F 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 (A) 3
2

3y ? 4 ? 0

(B) 2

6

(C) 2

7

(D) 4

2

22、 (辽宁理 11)设 P 为双曲线 x ?
2

y

2

12

? 1 上的一点, F1, F2 是该双曲线的两个焦点,若

| P F1 |:| P F 2 | ? 3 : 2 ,则 △ P F1 F2 的面积为(

) D. 2 4

A. 6 3

B. 12

C. 1 2 3

23、 (辽宁文 3)双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的焦点坐标为(



16
0 0 A. ( ? 7,) , ( 7,)
0) 0 C. ( ? 5,) , (5,

9

? B. (0,

7 ) , (0, 7 )

5) ? D. (0, 5) , (0,

24、 (四川文理 5)如果双曲线 到 y 轴的距离是( (A)
4 6 3

x

2

?

y

2

? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P

4

2

) (B)
2 6 3

(C) 2 6

(D) 2 3

25、 (四川理 8 文 10) 已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、
2

B ,则 A B 等于(

) (B)4 (C) 3 2 (D) 4 2

(A)3

5

26、 (陕西文理 3)抛物线 x 2 (A)4y+1=0

? y

的准线方程是 ZXXK.COM (C)2y+1=0 (D)2x+1=0ZXXK.COM

(B)4x+1=0

27、 (陕西理 7 文 9)已知双曲线 C:

a c

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C

的浙近线相切的圆的半径是 ZXXK.COM A. ab B. a ? b
2 2

C.a

D.bZXXK.COM

二、填空题 1、 (广东理 11)在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1) 。若线段 OA 的垂直平分线过抛 物线 y 2
? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点,则该抛物线的准线方程是______;

2、(广东文11)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点 P(2,4),则该抛物线的方程是 .

3、 (山东理 13)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点, A 是抛物线上的
2

一点, F A 与 x 轴正向的夹角为 6 0 ,则 O A 为________.

??? ?

?

??? ?

4、 (江苏 15)在平面直角坐标系 xO y 中,已知 ? A B C 顶点 A ( ? 4, 0 ) 和 C ( 4, 0 ) ,顶点 B 在 椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上,则

sin A ? sin C sin B
2 2

?

5/4

.

25

9

5、 (上海理 8)已知双曲线 的抛物线方程为 _____ 6、 (上海文 5)以双曲线
x
2

x

?

y

? 1 ,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点

4

5

?

y

2

? 1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物

4

5

线方程是 . 7、 (福建理 14)已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率 为__________;

6

8、 (福建文 15)已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点 的椭圆的离心率为 。

9、(湖北文 12)过双曲线

x

2

?

y

2

? 1 左焦点

4

3

F 的直线交双曲线的左支于 M、N 两点,F2

为其右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为



10、 (海、宁文理 13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线 y 的距离为 6,则该双曲线的离心率为 .
C B

O
A F

x

11、 (重庆理 16)过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线,交双曲线于 P、
2 2
0

Q 两点,则|FP| ? |FQ|的值为__________.

12、 (辽宁理 14 文 16)设椭圆 左焦点,若点 M 满足 O M ?
???? ?

x

2

?

y

2

? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该椭圆的

25

16

? ???? ? 1 ??? ???? ( O P ? D F ) ,则 | O M | = 2



7

三、解答题 1、 (重庆文 21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y 2 两点。
? 8x

的焦点 F,且与抛物线交于 A、B

题(21)图 (Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定 值,并求此定值。

8

2、 (重庆理 22) (本小题满分 12 分)如图,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F(3,0) ,右准 线 l 的方程为:x = 12。 (1)求椭圆的方程; (2)在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ,使 ? P1 FP 2 ? ? P2 FP 3 ? ? P3 FP 1 ,证明
1 | FP 1 | ? 1 | FP 2 | ? 1 | FP 3 |

为定值,并求此定值。

9

3、 (浙江文 21)(本题 15 分)如图,直线 y=kx+b 与椭圆

x

2

? y ? 1 交于 A、B 两点,记△
2

4

AOB 的面积为 S. (I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程. 本题主要考查椭圆的几何性质、 椭圆与直线的位置关系等 基础知识, 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 满 分 15 分.

y

A

O B

x

10

4、 (天津文 22) (本小题满分 14 分)设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为
1 3

F1, F 2, A 是椭圆上的一点, A F 2 ? F1 F 2 ,原点 O 到直线 A F1 的距离为

O F1 .

(Ⅰ)证明 a ?

2b ;
2 2 2

(Ⅱ)求 t ? (0, b ) 使得下述命题成立:设圆 x ? y ? t 上任意点 M ( x 0, y 0 ) 处的切线交 椭圆于 Q1 , Q 2 两点,则 O Q 1 ? O Q 2 .

11

5、 (天津理 22) (本小题满分 14 分)设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为
1 3

F1, F 2, A 是椭圆上的一点, A F 2 ? F1 F 2 ,原点 O 到直线 A F1 的距离为

O F1 .

(Ⅰ)证明 a ?

2b ;

(Ⅱ)设 Q 1, Q 2 为椭圆上的两个动点, O Q 1 ? O Q 2 ,过原点 O 作直线 Q1Q 2 的垂线 O D , 垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程.

12

6、 (四川文 21)(本小题满分 12 分)求 F1、F2 分别是椭圆
???? 2 ???? 2 ?

x

2

? y ? 1 的左、右焦点.
2

4
5 4

(Ⅰ)若 r 是第一象限内该数轴上的一点, P F1 ? P F 2 ? ?

,求点 P 的作标;

(Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B,且∠ADB 为锐角(其中 O 为作标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解析:本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合运用数学知识解 决问题及推理计算能力.

13

7、 (四川理 20) (本小题满分 12 分)设 F1 、 F 2 分别是椭圆

x

2

? y

2

? 1 的左、右焦点.

4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 · PF 2 的最大值和最小值; (Ⅱ) 设过定点 M ( 0 , 2 ) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

14

8、 (上海理 21)已知半椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? x ? 0 ? 与半椭圆

y b

2 2

?

x c

2 2

? 1 ? x ? 0 ? 组成的曲线

称为“果圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0, b ? c ? 0 , F0 , F1 , F 2 是对应的焦点。
2 2 2

(1)若三角形 F 0 F1 F 2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)若 A1 A ? B1 B ,求
b a

的取值范围;

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ,使得斜率 为 k 的直线交果圆于两点, 得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有 k 的值;若不存在,说明理由。

15

9、 (上海文 21) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分. 我们把由半椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

(x≥ 0)

与半椭圆

y b

2 2

?

x c

2 2

?1

(x≤ 0)

合成的曲线称

作“果圆” ,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 , a ? 0 , b ? c ? 0 . 如图,设点 F 0 , F1 , F 2 是相应椭圆的焦点, A 1 , A 2 和 B 1 , B 2 是“果圆” 与 x , y y 轴的交点, M 是线段 A1 A 2 的中点. (1)若 △ F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求该 “果圆”的方程; (2)设 P 是“果圆”的半椭圆
y b
(x≤ 0)
2 2

B2

.
A1

F2

O M

?

x c

2 2

?1

.

. .
F0
A2

x

F1
B1

上任意一点.求证:当 PM

取得最小值时,

P 在点 B1, B 2 或 A1 处;

(3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 PM

取得最小值时点 P 的横坐标.

16

10、 (陕西文 22) (本小题满分 14 分)已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>0)的离心率为

6 3

,短

轴一个端点到右焦点的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值.
3 2

,求△AOB 面积

17

11、 (山东理 21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 A B 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

18

12、 (全国 2 理 20) (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xO y 中,以 O 为圆心的圆与直线
x? 3 y ? 4 相切.

(1)求圆 O 的方程;
P P (2)圆 O 与 x 轴相交于 A, B 两点,圆内的动点 P 使 P A , O , B 成等比数列,求
? ?? ? ?? ? ? P A ? P B 的取值范围.

19

13、 (全国 1 理 21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆
x
2

?

y

2

3

2

? 1 的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 . F1 的直线交椭圆于 B, D 两点, F2 过 过

的直线交椭圆于 A, C 两点,且 A C ? B D ,垂足为 P . (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x 0, y 0 ) ,证明: (Ⅱ)求四边形 A B C D 的面积的最小值.
x0 3
2

?

y0 2

2

? 1;

20

14、 (宁夏理 19) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xO y 中,经过点 (0, 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数 k ,使得向量
??? ? ??? ???? ? O P ? O Q 与 A B 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

x

2

? y ? 1 有两个不
2

2

21

15、 (辽宁理 20) (本小题满分 14 分) 已知正三角形 O A B 的三个顶点都在抛物线 y ? 2 x 上, 其中 O 为坐标原点, 设圆 C 是 O A B
2

的内接圆(点 C 为圆心) (I)求圆 C 的方程; (II)设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7 co s ? ) ? ( y ? 7 co s ? ) ? 1 ,过圆 M 上任意一点 P 分别
2 2

C 作圆 C 的两条切线 P E , P F ,切点为 E , F ,求 C E, F 的最大值和最小值.

??? ??? ? ?

22

16、 (江西理 21) (本小题满分 12 分) 设 动 点 P 到 点 A ( ? 1 0 )和 B (1,) 的 距 离 分 别 为 d 1 和 d 2 , 0 ,
? A P B ? 2? ,且存在常数 ? (0 ? ? ? 1) ,使得 d 1 d 2 sin ? ? ? .
2

y P

d1

2?
d2
y

(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线双曲线 C 的右支于 M , N 两点,试确定 ? 的范 围,使 O M ?O N ? 0 ,其中点 O 为坐标原点.
???? ???? ?

A

O

B

23

17、 (江西文 22) (本小题满分 14 分)
0 0 设动点 P 到点 F1 ( ? 1, ) 和 F 2 (1,) 的距离分别为 d 1 和 d 2 , ∠ F1 P F2 ? 2? ,且存在常数

? (0 ? ? ? 1) ,使得 d 1 d 2 sin ? ? ? .
2

y

(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方 程; (2)如图,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于
F1

A P

O
B

F2 x

A, B 两点.问:是否存在 ? ,使 △ F1 AB 是以点 B 为

直角顶点的等腰直角三角形?若存在, 求出 ? 的值; 若 不存在,说明理由.

24

18、 (江苏理 19) (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐
y

标系 xO y 中,过 y 轴正方向上一点 C (0, c ) 任作一直线,与 抛物线 y ? x 相交于 A B 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分
2

B

C
A

P

别与线段 A B 和直线 l : y ? ? c 交于 P , Q , (1)若 O A ? O B ? 2 ,求 c 的值; 分) (5 (2)若 P 为线段 A B 的中点,求证: Q A 为此抛物线的切 线; 分) (5 (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。 分) (4
??? ??? ? ?

O

x

Q

l

25

19、 (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于
2 2

A, B 两点.

(I)若动点 M 满足 F1 M ? F1 A ? F1 B ? F1O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程; (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 C A · C B 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由.
??? ? ??? ?

?????

????

????

????

26

20、 (湖南文 19) (本小题满分 13 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的右焦点为 F ,过点 F 的动直线与双曲线相交于 A, B 两点,点 C
2 2

的坐标是 (1,) . 0 (I)证明 C A , C B 为常数; (II)若动点 M 满足 C M ? C A ? C B ? C O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程.
???? ? ??? ? ??? ? ????
??? ? ??? ?

27

21、 (湖北理 19) (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xO y 中,过定点 C (0, p ) 作直线 与抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 )相交于 A, B 两点.
2

(I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ A N B 面积的最小值; (II) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l , 使得 l 被以 A C 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. (此题不要求在答题卡上画图) y

C A O N

B x

28

22、 (广东理 18)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xo y 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相 切于 坐标原点 O .椭圆
x a
2 2

?

y

2

? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 .

9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段
O F 的长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

29

23、 (广东文 19)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xo y 中,已知圆心在第二象限、 半径为2/2的圆 C 与直线 y ? x 相切 于 坐标原点 O .椭圆
x a
2 2

?

y

2

? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 .

9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点F的距离等于线段 O F 的 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

30

24、 (福建理 20) (本小题满分 12 分)如图,已知点 F (1, , 0) 直线 l : x ? ? 1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线
??? ???? ??? ???? ? ? l 的垂线,垂足为点 Q ,且 Q P ?Q F ? F P ?F Q .

l

y

F
?1 O

1
? ? ??

x
? ? ??

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A, B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 M A ? ?1 A F ,
???? ??? ? M B ? ? 2 B F ,求 ?1 ? ? 2 的值;

31

25、 (福建文 22) (本小题满分 14 分) 如图,已知 F (1, ,直线 l : x ? ? 1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q , 0) 且 Q P ?Q F ? F P ?F Q . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A, B 两点,交直线 l 于点 M . (1)已知 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F ,求 ?1 ? ? 2 的值; (2)求 M A ? M B 的最小值.
???? ????
??? ???? ? ??? ???? ?

????

????

????

??? ?

32

26、 (北京理 17) (本小题共 14 分) 矩形 A B C D 的两条对角线相交于点 M ( 2,) , A B 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 0
T ( ? 1, 在 A D 边所在直线上. 1)

(I)求 A D 边所在直线的方程; (II)求矩形 A B C D 外接圆的方程; (III)若动圆 P 过点 N ( ? 2,) ,且与矩形 A B C D 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方 0 程.

33

27、 (北京文 19) (本小题共 14 分) 如图,矩形 A B C D 的两条对角线相交于点 M ( 2,) , A B 边所在直 0 线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 点 T ( ? 1, 在 A D 边所在直线上. 1) (I)求 A D 边所在直线的方程; (II)求矩形 A B C D 外接圆的方程; (III)若动圆 P 过点 N ( ? 2, ) ,且与矩形 A B C D 的外接圆外切, 0 求动圆 P 的圆心的轨迹方程.
N
T D

y

C
M

O
A

B

x

34

28、 (安徽理 19) (本小题满分 12 分) 如图,曲线 G 的方程为 y2=2x(y≥0).以原点为圆心,以 t(t >0)为半径的圆分别与 曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. (Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; (Ⅱ)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a+2,求证: 直线 CD 的斜率为定值.

35

29、 (安徽文 18) (本小题满分 14 分) 设 F 是抛物线 G:x2=4y 的焦点. (Ⅰ)过点 P(0,-4)作抛物线 G 的切线,求切线方程:
FB (Ⅱ)设 A、B 为势物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA · ? 0

,延长 AF、BF 分别

交抛物线 G 于点 C,D,求四边形 ABCD 面积的最小值.

36

圆锥曲线 07 高考题及答案 一,选择题 解.已知双曲线的离心率为 2,焦点是 ( ? 4, 0 ) , ( 4, 0 ) ,则 c=4,a=2, b ? 1 2 ,双曲线方
2

程为

x

2

?

y

2

? 1 ,选 A。

4

12

2 2.解.抛物线 y ? 4 x 的焦点 F(1,0),准线为 l: x ? ? 1 ,经过 F 且斜率为 3 的直线

y ?

3 ( x ? 1) 与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A(3,2 3 ), A K ? l ,垂足为 K(-1,

2 3 ),∴ △AKF 的面积是 4 3 ,选 C。 3.【答案】B【分析】(利用圆锥曲线的第二定义) : 过 A 作 A D ? x 轴于 D,令 F D ? m , 则 FA ? 2m , p ? m ? 2m , m ? p 。
p 2 21 2

? OA ?

(

? p) ? ( 3 p) ?
2 2

p.

4.【答案】D 【分析】由
c a ? 3,
a
2

? 1 可得 a ?

3, b ?

6 , c ? 3. 故选 D
2

c
2

5.解.D【解析】∵抛物线 y ? 4 x 的准线为 x ? ? 1 ,故有 ?

a

? ? 1 ------①

c

又∵双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为 3 ,故有:

c a

?

3 -------②,

① ? ②得到 a ?

3 ,进而求出 c ? 3, b ? 6 ,
2

∴双曲线的方程为

x

2

?

y

2

?1

3 x a
2 2

6

6.解. F1, 2 分别是双曲线 设 F

?

y b

2 2

? 1 的左、 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90? ,

且 |AF1|=3|AF2| , 设 |AF2|=1 , |AF1|=3 , 双 曲 线 中 2 a ? | A F1 | ? | A F2 |? 2 ,
10 2 c a 3 2

2c ?

| A F1 | ? | A F 2 | ?
2 2

1 0 ,∴ 离心率 e ?

,选 B。

7.解.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,∴ a ? 2 b ,椭圆的离心率 e ?

?

,选 D。

37

8. 解 . 设 F1, F2 分 别 是 双 曲 线 x ?
2

y

2

? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且

9

???? ???? ? ???? ???? ? ???? P F1 ?P F 2 ? 0 ,则 P F1 ? P F 2 ? 2 | P O | = | F1 F 2 |? 2 1 0 ,选 B。
1 2
3 2
3 2

2 2 9.解析:椭圆 x ? 4 y ? 1 中, a ? 1, b ?

,∴ c ?

,离心率为

,选 A。

10.解析:如图, F1 和 F 2 分别是双曲线

x a

2 2

?

r b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的两个焦点, A 和 B 是以

O 为圆心,以 O F 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,

且△ F 2 AB 是等边三角形,连接 AF1,∠AF2F1=30° ,|AF1|=c, |AF2|= 3 c,∴ 2 a ? ( 3 ? 1) c ,双曲线的离心率为 1 ? 选 D。 11.解析:椭圆
x a
2 2

3,

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为

M , N ,若 | M N | ? 2

a

2

c
2 2

, | F1 F2 |? 2 c , M N ≤ ? F1 F2 ,则

a

2

? 2 c ,该椭圆离心率 e

c



,取值范围是 ?
a b ? 1 2

?

? ,? ,选 D。 1 ? ? 2 ? 2

12.解析:由

得 b ? 2a

c ?

a ?b
2

2

?

5a , e ?

c a

?

5

选A

13.解析:双曲线 x2-y2=2 的右焦点为(2,0) ,即圆心为(2,0) ,右准线为 x=1,半径为 1, 圆方程为 ( x ? 2 ) ? y ? 1 ,即 x2+y2-4x+3=0,选 B
2 2

14.【答案】D 【解析】由已知 P (
a
2

c

, y ) ,所以 F1 P 的中点 Q 的坐标为 (

b

2

,

y

) ,由

2c 2

kF P ?
1

cy b
2

, kQF ?
2

cy b ? 2c
2 2

, k F P ? k Q F ? ? 1, ? y ? 2 b ?
2 2
1 2

b c

4 2

.

? y ? ( a ? c )(3 ?
2 2 2

1 e
2

) ? 0 ? (3 ?

1 e
2

) ? 0,1 ? e ?

3 3

.

当 k F P ? 0 时, k Q F 不存在,此时 F2 为中点,
1 2

a

2

? c ? 2c ? e ?

3 3

.

c

38

综上得 15.【答案】D

3 3

? e ? 1.

【 解 析 】 由 已 知 P (

a

2

,

3 c ), 所 以 2 c ?

(

a

2

? c ) ? ( 3c )
2

2

化 简 得

c
c a
1 2 c a

c

a

2

? 2c

2

? 0? e ?

?

2 2 b a 3 2 c a 1 2

16.解析:由 e ?

=

得 a=2c,b= 3 c ,所以 x 1 ? x 2 ?

?

, x1 x 2 ?

?

,所以点

P ( x1, x 2 ) 到圆心 (0, 的距离为 0)

x1 ? x 2 ?
2 2

( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ?
2

3 4

?1 ?

7 4

?

2,

所以点 P 在圆内,选 A 17.解析:线段 F M 所在直线方程 x ? y ? 1 与抛物线交于 A ( x 0 , y 0 ), 则:
?x ? y ? 1 3 1 ? y 0 ? 3 ? 2 2 . ? S ? O A M ? ? 1 ? (3 ? 2 2 ) ? ? ? 2 2 2 ?x ? 4y
2 ,选 B.

18.答案:选 A 解析:由题设可知点 M 同时满足双曲线和抛物线的定义, 且在双曲线右支上,故 由定义可得
? ? M F1 ? M F 2 ? 2 a ? ? M F2 ? M D ? c ? MF ? MD 1 a ?

? M F1 ?

2ac c?a

, M F2 ?

2a

2

c?a

故原式

?

2ac c ? a ? c ? a ? c ? ?1 ? 2 2ac 2a a a 2c c ? a c ? a

,选 A

19.【答案】 B : 【分析】 :设准线与 x 轴交于 A 点. 在 Rt ? PF F 中,?
1 2

PF 1 ? PF

2

? F 1 F 2 ? PA ,

? PA ?

4 ab 2c

?

2 ab c
2

又? PA

2

? F1 A ? F 2 A

?

4a b c
2

2

2

? (c ?

a c

2

)( c ?

a c

2

),

化简得 c ? 3a
2

,? e ?

3

故选答案 B

20.【答案】 C : 【分析】 :由抛物线定义,

39

2( x2 ?

p 2

) ? ( x1 ?

p 2

) ? ( x3 ?

p 2

), 即: 2 F P2 ? F P1 ? F P3

21.【答案】 C :
?m x 2 ? ny 2 ? 1 ? , 消 x 得: 【分析】 :设椭圆方程为 m x ? n y ? 1( m ? n ? 0 ). ? ? ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
2 2

(3 m ? n ) y ? 8 3 m y ? 16 m ? 1 ? 0, ? ? 0 ? 3 m ? n ? 16 m n , 即:
2

3 n

?

1 m

? 16. 又 c ? 2 ?

1 m

?

1 n

? ?4.

联立解得

1 ? m ? ?m ? 1 ? ? ? 7 或? 1 . 由焦点在 x 轴上,故长轴长为 2 7 . ? ?n ? 1 ?n ? 5 ? ? 3 ?

22. 解 析 : 因 为 | P F1 |:| P F 2 | ? 3 : 2 , 设 | PF 1 |? 3 x , | PF 2 |? 2 x , 根 据 双 曲 线 定 义 得
| PF 1 | ? | PF 2 |? 3 x ? 2 x ? x ? 2 a ? 2 , 所 以 | PF 1 |? 6 , | PF 2 |? 4 , | F1 F 2 |? 2 13
( 2 13 )
2



? 52 ? 6 ? 4 , △ P F1 F2 为直角三角形,其面积为
2 2

1 2

? 6 ? 4 ? 12 ,选 B

0) 0 23.解析:因为 a=4,b=3,所以 c=5,所以焦点坐标为 ( ? 5,) , (5, ,选 C

24.解析:选 A.由点 P 到双曲线右焦点 ( 6 , 0 ) 的距离是 2 知 P 在双曲线右支上.又由双曲
2 6 3 4 6 3

线的第二定义知点 P 到双曲线右准线的距离是

, 双曲线的右准线方程是 x ?

2 6 3

, 故

点 P 到 y 轴的距离是



25.解析:选 C.设直线 A B 的方程为 y ? x ? b ,由
? y ? ? x2 ? 3 2 ? x ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 1 ,进而可求出 A B 的中点 ? ?y ? x?b
M (? 1 2 ,? 1 2 ? b) , 又由 M ( ? 1 2 ,?
2

1 2

? b ) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 b ? 1 , x ? x ? 2 ? 0 , ∴
2

由弦长公式可求出 A B ?

1?1

1 ? 4 ? ( ? 2 ) ? 3 2 .本题考查直线与圆锥曲线的位置关
2

系.自本题起运算量增大.

40

26.解析:P=

1 2

,准线方程为 y= ?

P 2

? ?

1 4

,即 4 y
b a

?1? 0

,选 A
| bc ? a ? 0 | b ?a
2 2

27.解析:圆的半径是(C,0)到渐近线 y ? D 二.填空题 1.答案: x
? ? 5 4

x 的距离,所以 R=

?

bc c

? b ,选

;
1 2 ? ? 2 ( x ? 1)

解析:OA 的垂直平分线的方程是 y-

,令 y=0 得到 x= ;
4
2

5

2 2 2.【解析】设所求抛物线方程为 y ? a x ,依题意 4 ? 2 a ? a ? 8 ,故所求为 y ? 8 x .

3. 【答案】 :

21 2

p 【分析】过 A 作 A D ? x 轴于 D, F m : 令 D ?

2 , F ?m 则A

,p ? m ? 2 m ,

m ? p 。? O A ?

(

p 2

? p) ? ( 3 p) ?
2 2

21 2

p.

4.解析:利用椭圆定义和正弦定理 得 a ? c ? 2 ? 5 ? 10
sin A ? sin C sin B
2

b=2*4=8

?

a?c b

?

10 8

?

5 4

5.【答案】 y ? 12 ( x ? 3 )
x
2

【解析】双曲线

?

y

2

? 1 的中心为O(0,0),该双曲线的左焦点为F(-3,0)则抛物线

4

5
2

的顶点为(-3,0),焦点为(0,0),所以p=6,所以抛物线方程是) y ? 1 2 ( x ? 3) 6.【答案】 y ? 1 2 x
2

【解析】双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的中心为O(0,0),该双曲线的右焦点为F(3,0)则抛物线的

4

5
2

顶点为(0,0),焦点为(3,0),所以p=6,所以抛物线方程是) y ? 1 2 x 。
b
2

7.解析:设 c=1,则

? 2 ? a ? c ? 2a ? a ? 1 ?
2 2

2 ? e?

c a

?

1 2 ?1

?

2 ?1

a

8.解析:由已知C=2,
9.答案:8

b

2

? 3? b

2

? 3a ? a

2

? 4 ? 3a ? a ? 4, e ?

c a

?

2 4

?

1 2

a

41

解析:根据双曲线定义有|MF2|-|MF|=2a,|NF2|-|NF|=2a,两式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8 10.答案:3 【分析】 :如图,过双曲线的顶点 A、焦点 F 分别 向其渐近线作垂线,垂足分别为 B、C, 则:
| OF | | OA |
8 3 3

?

| FC | | AB |

?

c a

?

6 2

? 3.

11.【答案】 :

【分析】 ? F ( 2 2 , 0 ), k ? tan 105 ? ? (2 ? :
0

3 ). ? l :

y ? ? (2 ?

3 )( x ? 2 2 ).

代入 x ? y ? 4 得: (6 ? 4 3 ) x ? 4 2 (7 ? 4 3 ) x ? 60 ? 32 3 ? 0.
2 2
2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ). ? x1 ? x 2 ? 又 | F P |?
1? k

4 2 (7 ? 4 3 ) 6?4 3
1? k
2

, x1 ? x 2 ?

60 ? 32 3 6?4 3

.

2

| x1 ? 2 2 |, | F Q |?
2

| x 2 ? 2 2 |,

?| F P | ? | F Q |? (1 ? k ) | x1 x 2 ? 2 2 ( x1 ? x 2 ) ? 8 | ? (8 ? 4 3 ) ? | 60 ? 32 3 6?4 3 ? 8 3 3
25 3

?

1 6 (7 ? 4 3 ) 6?4 3

?8|

?

(8 ? 4 3 )( ? 4 ) 6?4 3
y
2

.

12.解析:椭圆

x

2

?

? 1 左准线为 x ? ?

,左焦点为(-3,0) ,P( , ?
3

5

8 2 3

) ,由已

25

16
2 3 4 2 3

知 M 为 PF 中点,M( ?

,?

???? ? ) ,所以 | O M | ?

(?

2 3

) ? (?
2

4 2 3

)

2

? 2

三.解答题 1.(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为 y 2 因此焦点 F (
p 2 ,0 )

? 2 px

,则 2 p

? 8 ,从而 p ? 4 .

的坐标为(2,0).
? ? p 2

又准线方程的一般式为 x



从而所求准线 l 的方程为 x ? ? 2 。 (Ⅱ)解法一:如图(21)图作 AC⊥l,BD⊥l,垂 足为 C、D,则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

42

记 A、B 的横坐标分别为 xxxz,则 |FA|=|AC|= x x 类似地有 | FB
? p 2 ? | FA | cos a ? p 2 ? p 2
|? 4 1 ? cos a

? | FA | cos a ? 4

解得 | FA

|?

4 1 ? cos a



|? 4 ? | FB | cos a

,解得 | FB



记直线 m 与 AB 的交点为 E,则
| FE |? | FA | ? | AE |? | FA | ? | FA | ? | FB | 2 ? 1 2 (| FA | ? | FB |) ? 1 ? 4 4 ? 4 cos a ? ? ?? 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin a

所以 | FP |? 故 | FP

| FE | cos a

? sin

4
2


a
4 sin
2

| ? | FP | cos 2 a ?

(1 ? cos 2 a ) ? a

4· 2 sin sin
2

2

a

?8


? tan a

a

解 法 二 :设
y ? k ( x ? 2)

A( x A , y A )



B(xB , y B )

, 直 线 AB 的 斜率 为 k

, 则 直 线方程 为


? 8x

将此式代入 y 2

,得 k 2 x 2 ? 4 ( k 2 ? 2 ) x ? 4 k 2 ? 0 ,故 x A

? xB ?

k (k

2

? 2)
2



k

记直线 m 与 AB 的交点为 E ( x E , y E ) ,则
xE ? xA ? xB 2
4 k

?

2(k

2

? 2)
2



k

y E ? k ( x E ? 2) ?


4 k
2k
2 1 ? 2k ? 4 ? ?x ? ? 2 ? k ? k ? ?
2

故直线 m 的方程为 y ?

? ?

.

令 y=0,得 P 的横坐标 x P
| FP | ? x P ? 2 ? 4(k
2

?

? 4
2

? 4故

k

? 1)
2

? sin 4 sin
2

4
2


a (1 ? cos 2 a ) ? 4· 2 sin sin
2 2

k

从而 | FP

| ? | FP | cos 2 a ?

a

?8

为定值。

a

a

3.(I)解:设点 A 的坐标为( ( x1 , b ) ,点 B 的坐标为 ( x 2 , b ) ,
x
2



4

? y ? 1 ,解得 x1, 2 ? ? 2 1 ? b
2

2

所以 S ?

1 2

b | x1 ? x 2 | ? 2 b 1 ? b
2 2

2

? b ?1? b ? 1
2 2

当且仅当 b ?

时, 取到最大值 1. .S

43

? y ? kx ? b ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 得 2 ? y ?1 ? ? 4
(4 k ? 1) x ? 8 kb x ? 4 b ? 4 ? 0
2 2 2

? ? 1 6 ( 4 k ? b ? 1)
2 2


1 6 ( 4 k ? b ? 1)
2 2

|AB|= 1 ? k | x1 ? x 2 | ?
2

1? k

2

4k ? 1
2

? 2



又因为 O 到 AB 的距离 d ?

|b | 1? k
2

?

2S | AB |

?1

所以 b 2 ? k 2 ? 1



③代入②并整理,得 4 k 4 ? 4 k 2 ? 1 ? 0
2 解得, k ?

1 2

,b ?
2

3 2

,代入①式检验,△>0

故直线 AB 的方程是
y ? 2 2 x? 6 2

或y ?

2 2

x?

6 2

或y ? ?

2 2

x?

6 2

或y ? ?

2 2

x?

6 2

4.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等 基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分 14 分.
0 0 (Ⅰ)证法一:由题设 A F 2 ? F1 F 2 及 F1 ( ? c,) , F2 ( c,) ,不妨设点 A ( c, y ) ,其中
c a a ?b
2 2 2 2

y ? 0 ,由于点 A 在椭圆上,有

?

y b

2 2

? 1,

a

2

?

y b

2 2

?1,

解得 y ?

b

2

a

,从而得到 A ? c, ? ,
? a ?

?

2 b ?

直线 A F2 的方程为 y ?
2 2

b

2

( x ? c ) ,整理得

2ac

b x ? 2 a cy ? b c ? 0 .

由题设,原点 O 到直线 A F1 的距离为

1 3

O F1 ,即

44

c 3

?

b c b ? 4a c
4 2 2

2



将 c 2 ? a 2 ? b 2 代入原式并化简得 a 2 ? 2 b 2 ,即 a ?
? b2 ? 证法二:同证法一,得到点 A 的坐标为 ? c, ? , a ? ?

2b .

过点 O 作 O B ? A F1 ,垂足为 H ,易知 △ F1 B C ∽ △ F1 F2 A ,故
BO O F1 ? F2 A F1 A
1 3 O F1 ,所以
H

y

A

F1

O

F2

x

由椭圆定义得 A F1 ? A F 2 ? 2 a ,又 B O ?
1 3 ? F2 A F1 A ? F2 A 2 a ? F2 A
a 2



解得 F 2 A ?

,而 F 2 A ?
2 2

b

2

,得

b

2

?

a 2

,即 a ?

2b .

a
2

a

(Ⅱ)解法一:圆 x ? y ? t 上的任意点 M ( x 0, y 0 ) 处的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ? t 2 . 当 t ? (0, b ) 时,圆 x ? y ? t 上的任意点都在椭圆内,故此圆在点 A 处的切线必交椭圆
2 2 2

于两个不同的点 Q1 和 Q 2 ,因此点 Q 1 ( x1, y 1 ) , Q 2 ( x 2, y 2 ) 的坐标是方程组
? x0 x ? y0 y ? t 2 ? ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b ? ① ②

的解.当 y 0 ? 0 时,由①式得

y ?

t ? x0 x
2

y0
? t 2 ? x0 x ? 2 代入②式,得 x ? 2 ? ? ? 2 b ,即 y0 ? ?
2 2

( 2 x0 ? y0 ) x ? 4t x0 x ? 2t ? 2b y 0 ? 0 ,
2 2 2 2 4 2 2

于是 x1 ? x 2 ?
2

4t x0 2 x0 ? y0
2 2 2

2

, x1 x 2 ?

2t ? 2b y0
4 2

2

2 x0 ? y0
2

2

y1 y 2 ?

t ? x 0 x1 t ? x1 x 2 ? y0 y1

45

?

2 ? t 4 ? x 0 t 2 ( x1 ? x 2 ) ? x 0 x1 x 2 ? ? ? y0 2

1

2 4 2 2 ? 4t x0 1 ? 4 2 2 2t ? 2b y0 ? 2 ? t ? x0t ? x0 ? 2 2 2 2 y0 ? 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0 ?

?

t ? 2b x0
4 2

2

2 x0 ? y0
2

2



若 O Q 1 ? O Q 2 ,则
x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 2t ? 2b y0
4 2 2

2 x0 ? y0
2

2

?

t ? 2b x0
4 2

2

2 x0 ? y0
2

2

?

3t ? 2 b ( x 0 ? y 0 )
4 2 2 2

2 x0 ? y0
2

2

?0.

4 2 2 2 2 2 所以, 3 t 4 ? 2 b 2 ( x 0 ? y 0 ) ? 0 .由 x 02 ? y 0 ? t 2 ,得 3 t ? 2 b t ? 0 .在区间 (0, b ) 内此方

程的解为 t ?

6 3

b.

当 y 0 ? 0 时,必有 x 0 ? 0 ,同理求得在区间 (0, b ) 内的解为 t ?

6 3

b.

另一方面,当 t ?

6 3 6

b 时,可推出 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,从而 O Q 1 ? O Q 2 .

综上所述, t ?

b ? (0, b ) 使得所述命题成立.

3

5.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识, 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分 14 分.
0 0 (Ⅰ)证法一:由题设 A F 2 ? F1 F 2 及 F1 ( ? c, ) , F2 ( c, ) ,不妨设点 A ( c, y ) ,其中
c a b
2

2 2

y ? 0 .由于点 A 在椭圆上,有

?

y b

2 2

? 1 ,即

a ?b
2

2

a

2

?

y b

2 2

?1.

? b2 ? 解得 y ? ,从而得到 A ? c, ? . a ? a ?

直线 A F1 的方程为 y ?

b

2

( x ? c ) ,整理得 b x ? 2 a cy ? b c ? 0 .
2 2

2ac
1 3

由题设,原点 O 到直线 A F1 的距离为

O F1 ,即

c 3

?

b c b ? 4a c
4 2 2

2



46

将 c 2 ? a 2 ? b 2 代入上式并化简得 a 2 ? 2 b 2 ,即 a ? 证法二:同证法一,得到点 A 的坐标为 ? c, ? .
? a ? ?
2 b ?

2b .

过点 O 作 O B ? A F1 ,垂足为 B ,易知 △ F1 B O ∽ △ F1 F 2 A ,故 由椭圆定义得 A F1 ? A F 2 ? 2 a ,又 B O ? 所以
1 3 ? F2 A F1 A
a 2
1 3

BO O F1

?

F2 A F1 A



O F1 ,
y

?

F2 A 2 a ? F2 A


B

A
2

解得 F 2 A ?

,而 F 2 A ?

b

2

,得

b

?

a 2

,即 a ?

2b .

F1

O

F2

x

a

a

(Ⅱ)解法一:设点 D 的坐标为 ( x 0, y 0 ) . 当 y 0 ? 0 时,由 O D ? Q 1Q 2 知,直线 Q1Q 2 的斜率为 ?
x0 y0

,所以直线 Q1Q 2 的方程为

y ? ?

x0 y0

( x ? x 0 ) ? y 0 ,或 y ? kx ? m ,其中 k ? ?

x0 y0

, m ? y0 ?

x0

2



y0

点 Q1 ( x1, y1 ), Q 2 ( x 2, y 2 ) 的坐标满足方程组 ? 将①式代入②式,得 x ? 2 ( kx ? m ) ? 2 b ,
2 2 2

? y ? kx ? m, ? x ? 2 y ? 2b .
2 2 2

整理得 (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 2 b ? 0 ,
2 2 2 2

于是 x1 ? x 2 ? ?

4 km 1 ? 2k
2

, x1 x 2 ?

2 m ? 2b
2

1 ? 2k

2



由①式得 y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k 2 x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? k 2
? k·
2

2 m ? 2b
2

2

1 ? 2k

2

? km ·

? 4 km 1 ? 2k

?m ?
2

m ? 2b k
2 2

2

1 ? 2k

2



由 O Q 1 ? O Q 2 知 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .将③式和④式代入得
3 m ? 2 b (1 ? k ) .
2 2 2

3m ? 2b ? 2b k
2 2 2

2

1 ? 2k

2

? 0,

47

将k ? ?

x0 y0

, m ? y0 ?

x0

2
2 2 代入上式,整理得 x 0 ? y 0 ?

2 3

b .
2

y0

当 y 0 ? 0 时,直线 Q1Q 2 的方程为 x ? x 0 , Q1 ( x1, y1 ), Q 2 ( x 2, y 2 ) 的坐标满足方程组
? x ? x 0, ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b .

所以 x1 ? x 2 ? x 0 , y 1, ? ? 2

2b ? x0
2

2



2

由 O Q 1 ? O Q 2 知 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即 x 0 ?
2
2 解得 x 0 ?

2b ? x0
2

2

? 0,

2

2 3

b . 2 3 2 3 b .
2

2

2 2 这时,点 D 的坐标仍满足 x 0 ? y 0 ?

b .

2

综上,点 D 的轨迹方程为

x ? y ?
2 2

解法二: 设点 D 的坐标为 ( x 0, y 0 ) , 直线 O D 的方程为 y 0 x ? x 0 y ? 0 , O D ? Q 1Q 2 , 由 垂足为 D ,可知直线 Q1Q 2 的方程为 x 0 x ? y 0 y ? x 02 ? y 02 .
2 2 记 m ? x 0 ? y 0 ( 显 然 m ? 0 ) 点 Q1 ( x1, y1 ), Q 2 ( x 2, y 2 ) 的 坐 标 满 足 方 程 组 ,

? x 0 x ? y 0 y ? m, ? ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b . ?

① ②

由①式得 y 0 y ? m ? x 0 x .
2 2 2 2 2 2 由②式得 y 0 x ? 2 y 0 y ? 2 y 0 b .

③ ④

2 2 将③式代入④式得 y 0 x 2 ? 2( m ? x 0 x ) 2 ? 2 y 0 b 2 .

2 2 2 2 2 2 整理得 ( 2 x 0 ? y 0 ) x ? 4 m x 0 x ? 2 m ? 2 b y 0 ? 0 ,

于是 x1 x 2 ?

2 m ? 2b y0
2 2

2

2 x0 ? y0
2

2





由①式得 x 0 x ? m ? y 0 y .

⑥ ⑦

2 2 2 2 2 2 由②式得 x 0 x ? 2 x 0 y ? 2 x 0 b .

48

2 2 将⑥式代入⑦式得 ( m ? y 0 y ) 2 ? 2 x 0 y 2 ? 2 x 0 b 2 ,

2 2 2 整理得 ( 2 x 0 ? y 0 ) y 2 ? 2 m y 0 y ? m 2 ? 2 b 2 x 0 ? 0 ,

于是 y1 y 2 ?

m ? 2b x0
2 2

2

2 x0 ? y0
2

2





由 O Q 1 ? O Q 2 知 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .将⑤式和⑧式代入得
3m ? 2b ( x0 ? y0 ) ? 0 .
2 2 2 2

2 m ? 2b y0
2 2

2

2 x0 ? y0
2

2

?

m ? 2b x0
2 2

2

2 x0 ? y0
2

2

?0,

2 2 将 m ? x 02 ? y 02 代入上式,得 x 0 ? y 0 ?

2 3

b .

2

2 2 所以,点 D 的轨迹方程为 x ? y ?

2 3

b .

2

6.(Ⅰ)易知 a ? 2 , b ? 1 , c ?

3.

∴ F1 ( ? 3 , 0 ) , F 2 ( 3 , 0 ) .设 P ( x , y ) ( x ? 0, y ? 0 ) .则
2 ???? ???? ? x 5 2 2 2 ? y ?1, P F1 ? P F 2 ? ( ? 3 ? x , ? y )( 3 ? x , ? y ) ? x ? y ? 3 ? ? ,又 4 4

7 ? 2 2 ?x ? 1 ?x2 ? 1 ?x ? y ? 4 3 ? ? ? ). 联立 ? 2 ,解得 ? 3 ? ? 3 , P (1, 2 2 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? 4 ?

(Ⅱ)显然 x ? 0 不满足题设条件.可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .
? x2 2 ? y ?1 ? 2 2 2 2 ? x ? 4 ( kx ? 2 ) ? 4 ? (1 ? 4 k ) x ? 1 6 kx ? 1 2 ? 0 联立 ? 4 ? y ? kx ? 2 ?

∴ x1 x 2 ?

12 1 ? 4k
2
2

, x1 ? x 2 ? ?
2

16k 1 ? 4k
2

由 ? ? (1 6 k ) ? 4 ? (1 ? 4 k ) ? 1 2 ? 0
1 6 k ? 3(1 ? 4 k ) ? 0 , 4 k ? 3 ? 0 ,得 k
2 2
2

2

?

3 4

.①

又 ? A O B 为锐角 ? cos ? A O B ? 0 ? O A ? O B ? 0 , ∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0
??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

49

又 y1 y 2 ? ( kx1 ? 2)( kx 2 ? 2) ? k 2 x1 x 2 ? 2 k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 2 k ( x1 ? x 2 ) ? 4
? (1 ? k ) ?
2

12 1 ? 4k
2

? 2k ? (?

16k 1 ? 4k
2

)?4

?

1 2 (1 ? k )
2

1 ? 4k

2

?

2 k ?1 6 k 1 ? 4k
2

?4

?
1 4

4(4 ? k )
2

1 ? 4k

2

?0

∴?

? k

2

? 4 .②

综①②可知

3 4

? k

2

? 4 ,∴ k 的取值范围是 ( ? 2 , ?

3 2

)? (

3 2

, 2) .

7.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解 决问题及推理计算能力。 解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 所以 F1 ? 3 , 0 , F 2
3

?

?

?

3 , 0 ,设 P ? x , y ? ,则

?

???? ???? ? P F1 ? P F 2 ? ? 3 ? x , ? y ,

?

??

3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2
2

?

x

2

?3?

1 4

4

?3x

2

? 8?

因为 x ? ? ? 2, 2 ? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, P F1 ? P F2 有最小值 ? 2 当 x ? ? 2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, P F1 ? P F2 有最大值 1 解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ?
3 ,所以 F1 ? 3 , 0 , F 2

???? ???? ?

???? ???? ?

?

?

?
2

3 , 0 ,设 P ? x , y ? ,则
2

?

???? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? P F1 ? P F1 ? P F 2 ? P F1 ? P F 2 ? co s ? F1 P F 2 ? P F1 ? P F 2 ?

???? 2 ? ????? ? P F 2 ? F1 F 2 ???? ???? ? 2 P F1 ? P F 2

?

1 ? x? ? 2?

?

3

?

2

? y ? x?
2

?

3

?

2

2 2 2 ? ? y ? 1 2 ? x ? y ? 3 (以下同解法一) ? ?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A ? x1 , y 2 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,
? y ? kx ? 2 ? ? 2 1? 2 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k ? ? x ? 4 kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? y ?1 ? ? 4
50

∴ x1 ? x 2 ? ?

4k k ?
2

1 4

, x1 ? x 2 ?
2

3 k ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

? ?

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4 k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ? A 0 B ? 90 ? cos ? A 0 B ? 0 ? O A ? O B ? 0
0 0

??? ??? ? ?

∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 又 y1 y 2 ? ? kx1 ? 2 ? ? kx 2 ? 2 ? ? k x1 x 2 ? 2 k ? x1 ? x 2 ? ? 4 ?
2

??? ??? ? ?

3k
2

2

k ?

1 4

?

?8k k ?
2

2

1 4

?4 ?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4


2

3 k ? 1 4

?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4

? 0 ,即 k ? 4
2

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ? 2 ? k ? ?

3 2



3 2

? k ? 2

8.解(1)∵F0(c,0)F1(0, ?

b ? c ) 2(0, b ? c ) ,F
2 2 2 2
2 2

2 2 2 ∴| F0F1 |= ( b ? c ) ? c ? b ? 1 ,| F1F2 |= 2 b ? c ? 1

2 于是 c ?

3 4

2 2 2 ,a ? b ? c ?

7 4 4 3

,所求“果圆”方程为
x ? 1 (x≤0) .
2

4 7

x ? y ? 1 (x≥0) y ? ,
2 2 2

??4 分

(2)由题意,得 a+c>2b,即 a ? b ? 2 b ? a .
2 2

∵(2b)2>b2+c2,∴a2-b2>(2b-a)2,得
b a
b a 2 4 , ). 2 5
2 2

b a

?

4 5

??7 分

又 b2>c2=a2-b2,∴

?

1 2





?(

(3)设“果圆”的方程为 记平行弦的斜率为 k.

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (x≥0)

y b

2 2

?

x a

2 2

? 1 (x≤0)

51

当 k=0 时,直线 y=t(-b≤t≤b)与半椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (x≥0)的交点是

p (a 1 ?

t b

2 2

, t ) ,与半椭圆

y b

2 2

?

x a

2 2

? 1 (x≤0)的交点是 Q( ? c 1 ?

t b

2 2

,t ) .

? a?c ?x ? ∴P、Q 的中点 M(x,y)满足 ? 2 ? ?y ? t

1?

t b

2 2


(

x 2

2

a?c

? )
2

y b

2 2

? 1.

∵a<2b,∴ (

a?c 2

) ?b ?
2 2

a ? c ? 2b 2

?

a ? c ? 2b 2

? 0.

综上所述,当 k=0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆??14 分 当 k>0 时,以 k 为斜率过 B1 的直线 l 与半椭圆
k a b?b
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (x≥0)的交点是

(

2 ka b k a ?b
2 2 2

2

3

,

k a ?b
2 2

2

)

由此,在直线 l 右测,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y ? 一椭圆上.

b k

2 2

x 上,即不在某

??17 分

当 k<0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上. ??18 分 9.解: (1)?
?
F0 ( c, ), F1 0, 0 ?

?

b ?c
2

2

? , F ? 0, b
2

2

?c

2

?,

F0 F 2 ?
? 3 4

?b
2

2

?c

2

??c
2

2

? b ? 1, F1 F 2 ? 2 b ? c
2

2

?1,

于是 c 2

, a ?b ?c ?
2

7 4


2

所求“果圆”方程为 (2)设 P ( x,y ) ,则

4 7

x ? y ?1
2

(x≥ 0)

, y2

?

4 3

x ?1
2

(x≤ 0)



a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ? y 2 ? ?
2
2 2 ? b ? 2 (a ? c) 2 ? ? 1 ? 2 ? x ? ( a ? c )x ? ?b , ?c≤ x≤ 0 c ? 4 ?

2



52

?

1?

b c

2 2

? 0 ,? | PM | 的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ? c 处取到.
2

即当 PM (3)? 和半椭圆
x a
2 2

取得最小值时, P 在点 B1, B 2 或 A1 处.
x a
2 2

| A1 M |? | MA 2 | ,且 B 1 和 B 2 同时位于“果圆”的半椭圆
? x c
2 2

?

y b

2 2

?1

(x≥ 0)

y b

2 2

?1

(x≤ 0)

上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( x ≥ 0)

上的情形即可.
2

a?c? ? 2 2 | PM | ? ? x ? ? ? y 2 ? ?

?

c a

2 2

2 ? a (a ? c) ? x? ? ? 2 2c ? ?

2

?b

2

?

(a ? c) 4

2

?

a (a ? c)
2

2

4c

2



当x ?

a (a ? c)
2

2c

2

≤ a

,即 a ≤

2c

2 时, | PM | 的最小值在 x ?

a (a ? c)
2

2c a (a ? c)
2

2

时取到,

此时 P 的横坐标是

2c a (a ? c)
2

2



当x ?

2c

2

? a ,即 a ? 2 c 时,由于 | PM | 在 x ? a 时是递减的, | PM | 的最
2 2

小值在 x ? a 时取到,此时 P 的横坐标是 a . 综上所述, a ≤ 若
2c

, | PM | 取得最小值时, P 的横坐标是 当 点

a (a ? c)
2

2c

2

; a ? 2c , 若

当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c .
?c 6 , ? ? 10.解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? ? a ? 3,

? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x

2

? y ?1.
2

3

(Ⅱ)设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) . (1)当 A B ⊥ x 轴时, A B ? (2)当 A B 与 x 轴不垂直时,
3.

53

设直线 A B 的方程为 y ? kx ? m .
m 1? k
2

由已知

?

3 2

2 ,得 m ?

3 4

( k ? 1) .
2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3 k ? 1) x ? 6 km x ? 3 m ? 3 ? 0 ,
2 2 2

? x1 ? x 2 ?

? 6 km 3k ? 1
2

, x1 x 2 ?

3( m ? 1)
2

3k ? 1
2



? AB

2

1 2 ( m ? 1) ? 2 ? 36k m 2 2 ? ? (1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? ? 2 2 2 3k ? 1 ? ? (3 k ? 1)
2 2 2

?

1 2 ( k ? 1)(3 k ? 1 ? m )
2 2 2

(3 k ? 1)
2

2

?

3( k ? 1)(9 k ? 1)
2 2

(3 k ? 1)
2

2

? 3?

12k
4

2 2

9k ? 6k ? 1

? 3?
2

12 9k ? 1 k
2

(k ? 0) ≤ 3 ? ?6

12 2?3? 6

? 4.

2 当且仅当 9 k ?

1 k
2

,即 k ? ?

3 3

时等号成立.当 k ? 0 时, A B ?

3 ,

综上所述 A B

m ax

?2.

? 当 A B 最大时, △ A O B 面积取最大值 S ?

1 2

? AB

m ax

?

3 2

?

3 2



11.【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b ? 3
2

?

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

? y ? kx ? m ? (II)设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 3 ? 4

(3 ? 4 k ) x ? 8 m kx ? 4( m ? 3) ? 0 ,
2 2 2

? ? 6 4 m k ? 1 6 (3 ? 4 k )( m ? 3) ? 0 , 3 ? 4 k ? m ? 0 .
2 2 2 2
2 2

54

x1 ? x 2 ? ?

8m k 3 ? 4k
2

, x1 ? x 2 ?

4 ( m ? 3)
2

3 ? 4k

2

.

y1 ? y 2 ? ( kx1 ? m ) ? ( kx 2 ? m ) ? k x1 x 2 ? m k ( x1 ? x 2 ) ? m ?
2 2

3( m ? 4 k )
2 2

3 ? 4k

2

.

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D ( 2, 0 ), k A D ? k B D ? ? 1 ,

?

y1

x1 ? 2 x 2 ? 2
2 2

?

y2

? ? 1 , y1 y 2 ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,

3( m ? 4 k ) 3 ? 4k
2

2

?

4 ( m ? 3)
2

3 ? 4k
2

2

?

16m k 3 ? 4k
2

?4?0,

7 m ? 16m k ? 4k

? 0 ,解得
2 2 ,且满足 3 ? 4 k ? m ? 0 .

m1 ? ? 2 k , m 2 ? ?

2k 7

当 m ? ? 2 k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 ( 2 , 0 ), 与已知矛盾; 当m ? ?
2k 7

时, l : y ? k ( x ?

2 7

) ,直线过定点 ( 2

2 7

, 0 ).

综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0 ).
7

12.解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 即
r ? 4 1? 3 ? 2.

3 y ? 4 的距离,

得圆 O 的方程为 x ? y ? 4 .
2 2
2 0) 0) (2)不妨设 A ( x1, , B ( x 2, , x1 ? x 2 .由 x ? 4 即得

A ( ? 2, , B (2, . 0) 0)

P P 设 P ( x, y ) ,由 P A , O , B 成等比数列,得
( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y
2 2 2 2

? x ? y ,
2 2



x ? y ? 2.
2 2

??? ??? ? ? P A ?P B ? ( ? 2 ? x, y ) ?( 2 ? x, y ) ? ?

55

? x ?4? y
2

2

? 2 ( y ? 1).
2

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故 ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?

由此得 y ? 1 .
2

所以 P A ?P B 的取值范围为 [ ? 2,) . 0 13.证明: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ?
3? 2 ?1,

??? ??? ? ?

由 A C ⊥ B D 知点 P 在以线段 F1 F 2 为直径的圆上,故 x 02 ? y 02 ? 1 ,
x2 3
2

所以,

?

y0 2

2



x0 2

2

?

y0 2

2

?

1 2

? 1.

(Ⅱ) (ⅰ)当 B D 的斜率 k 存在且 k ? 0 时, B D 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程
x
2

?

y

2

? 1 ,并化简得 (3 k ? 2) x ? 6 k x ? 3 k ? 6 ? 0 .
2 2 2 2

3

2

设 B ( x1, y1 ) , D ( x 2, y 2 ) ,则
x1 ? x 2 ? ? 6k
2 2

3k ? 2

, x1 x 2 ?

3k ? 6
2

3k ? 2
2

BD ?

1 ? k ? x1 ? x 2 ?
2

(1 ? k ) ?? ( x 2 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ? ? ?
2 2

4 3 ( k ? 1)
2

3k ? 2
2



因为 A C 与 B C 相交于点 P ,且 A C 的斜率为 ?
? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 2 ?k ? 4 3 ( k ? 1) 所以, A C ? . ? 2 1 2k ? 3 3? 2 ? 2 k

1 k



四边形 A B C D 的面积
S ? 1 2 ?BD AC ? 2 4 ( k ? 1)
2 2 2 2

(3 k ? 2 )( 2 k ? 3)


2

? ? ( k ? 1)
2

2 2

?

96 25



? (3 k ? 2 ) ? ( 2 k ? 3) ? ? ? 2 ? ?
2

2 当 k ? 1 时,上式取等号.

56

(ⅱ)当 B D 的斜率 k ? 0 或斜率不存在时,四边形 A B C D 的面积 S ? 4 . 综上,四边形 A B C D 的面积的最小值为
96 25


2 ,

14.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ?
x
2

代入椭圆方程得

? ( kx ?

2) ? 1.
2

2
?1
2 ? 2 ? k ? x ? 2 2 kx ? 1 ? 0 ?2 ?

整理得 ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8 k 2 ? 4 ?
? ? ?

?1

2 ? 2 ? k ? ? 4k ? 2 ? 0 , 2 ? ?

解得 k ? ?

2 2

或k ?

2 2

.即 k 的取值范围为 ? ? ∞ , ?
??? ? ????

2 ? ?? 2 ? ?

? 2 ? , ∞?. ? ? ? 2 ? ? ?

(Ⅱ)设 P ( x1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ) ,则 O P ? O Q ? ( x1 ? x 2, y1 ? y 2 ) , 由方程①, x1 ? x 2 ? ?
4 2k 1 ? 2k
2





又 y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 2 .
0 1) A 1) 而 A ( 2, ), B (0,, B ? ( ? 2, . ??? ?



所以 O P ? O Q 与 A B 共线等价于 x1 ? x 2 ? ? 2 ( y1 ? y 2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?
2 2 2 2 2 2

??? ?

????

??? ?



由(Ⅰ)知 k ? ?

或k ?

,故没有符合题意的常数 k .

15.本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运 用解析几何知识解决问题的能力.满分 14 分.
? y2 ? ? y2 ? A, B 两点坐标分别为 ? 1 , y 1 ? , ? 2 , y 2 ? ,由题设知 (I)解法一:设 ? 2 ? ? 2 ?
? y 12 ? 2 ? ? ? y2 ? ? 2 ?
2

? y1 2 ? 2 ? ? ? y2 ? ? 2 ?

2

2 ? y 12 y2 ? 2 ? ? ? ? ( y1 ? y 2 ) . 2 ? ? 2

2

2 2 解得 y1 ? y 2 ? 1 2 ,

57

所以 A (6, 3 ) , B (6, 2 3 ) 或 A (6, 2 3 ) , B (6, 3 ) . 2 ? ? 2 设圆心 C 的坐标为 ( r,) ,则 r ? 0
2 2

2 3

? 6 ? 4 ,所以圆 C 的方程为

( x ? 4 ) ? y ? 1 6 . ··········· ··········· ·········· ····· 分 ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ···· 4

解法二:设 A, B 两点坐标分别为 ( x1, y1 ) , ( x 2, y 2 ) ,由题设知
x1 ? y 1 ? x 2 ? y 2 .
2 2 2 2 2 2 又因为 y12 ? 2 x1 , y 2 ? 2 x 2 ,可得 x12 ? 2 x1 ? x 2 ? 2 x 2 .即

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ? 2) ? 0 .

由 x1 ? 0 , x 2 ? 0 ,可知 x1 ? x 2 ,故 A, B 两点关于 x 轴对称,所以圆心 C 在 x 轴上.
? 3 ? ?3 3 3 ? r ? 2? r , 设 C 点的坐标为 ( r,) , A 点坐标为 ? r, r ? , 则 于是有 ? 解得 r ? 4 , 0 ? 2 ? ? ?2 ? 2 2 ? ? ? ?
2

所以圆 C 的方程为 ( x ? 4 ) ? y ? 1 6 . ··························· 分 ··········· ·········· ····· 4 ·········· ··········· ·····
2 2

(II)解:设 ? E C F ? 2 a ,则
??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 2 C E ?C F ? | C E |?| C F |?cos 2? ? 16 cos 2 ? ? 32 cos ? ? 16 .··············· 分 ··········· ···· ·········· ···· 8

在 R t △ P C E 中, co s ? ?

x | PC |

?

4 | PC |

,由圆的几何性质得

| P C |≤ | M C | ? 1 ? 7 ? 1 ? 8 , | P C |≥ | M C | ? 1 ? 7 ? 1 ? 6 ,

所以

1 2

≤ co s ? ≤

2 3

,由此可得

??? ??? ? ? 16 ? 8 ≤ C E ?C F ≤ ? . 9 ??? ??? ? ? 16 则 C E ?C F 的最大值为 ? ,最小值为 ? 8 . 9
2 2 2 16.解法一: (1)在 △ P A B 中, A B ? 2 ,即 2 ? d 1 ? d 2 ? 2 d 1 d 2 cos 2 ? ,

4 ? ( d 1 ? d 2 ) ? 4 d 1 d 2 sin ? ,即 d 1 ? d 2 ?
2 2

4 ? 4 d 1 d 2 sin ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数) ,
2

点 P 的轨迹 C 是以 A, B 为焦点,实轴长 2 a ? 2 1 ? ? 的双曲线.
x
2

方程为:

1? ?

?

y

2

?

?1.

58

(2)设 M ( x1, y1 ) , N ( x 2, y 2 ) ①当 M N 垂直于 x 轴时, M N 的方程为 x ? 1 , M (1, , N (1, 1) 在双曲线上. 1) ?
1 1? ? 1 ?1 ? 2 5 5 ?1 2



?

?

? 1? ? ? ? ?1 ? 0 ? ? ?
2

,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?



②当 M N 不垂直于 x 轴时,设 M N 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
2 ? x2 y ? ?1 ? 由 ?1 ? ? 得: ? ? ? (1 ? ? ) k 2 ? x 2 ? 2 (1 ? ? ) k 2 x ? (1 ? ? )( k 2 ? ? ) ? 0 , ? ? ? ? y ? k ( x ? 1) ?

由题意知: ? ? ? (1 ? ? ) k 2 ? ? 0 , ? ? 所以 x1 ? x 2 ?
? 2 k (1 ? ? )
2

? ? (1 ? ? ) k

2

, x1 x 2 ?

? (1 ? ? )( k ? ? )
2

? ? (1 ? ? ) k
k ?
2 2 2

2



于是: y1 y 2 ? k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ?
2

? ? (1 ? ? ) k



因为 O M ?O N ? 0 ,且 M , N 在双曲线右支上,所以
? (1 ? ? ) ? 2 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ? ? ? (1 ? ? ) k ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? ? ?1 1? ? ? ? x1 ? x 2 ? 0 ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? 1 2 ? 1? ? ?
5 ?1 2 ≤ ? ? 2 3

???? ???? ?

5 ?1 2

?? ?

2 3



由①②知,



解法二: (1)同解法一 (2)设 M ( x1, y1 ) , N ( x 2, y 2 ) , M N 的中点为 E ( x 0, y 0 ) . ①当 x1 ? x 2 ? 1 时, M B 因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?
2

?

?
1? ?

? ? ? 1? ? ? ? ?1 ? 0 ,
2

5 ?1 2



2 ? x12 y ? 1 ?1 ? x ? ?1 ? ? ? ②当 x1 ? x 2 时, ? ? k MN ? ? 0 . 2 2 1 ? ? y0 ? x2 ? y2 ? 1 ?1 ? ? ? ?

59

又 k M N ? k BE ?

y0 x0 ? 1

.所以 (1 ? ? ) y 02 ? ? x 02 ? ? x 0 ;
2 2

? MN ? ? MN ? ? e ( x1 ? x 2 ) ? 2 a ? 由∠ M O N ? 得 x 0 ? y 0 ? ? ? ,由第二定义得 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ?
?
2 2

2

? ?? ?

1 1? ?

x0 ?

1 ? 2 1? ? ? ? x 0 ? (1 ? ? ) ? 2 x 0 . 1? ? ?

2

2 2 所以 (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? 2(1 ? ? ) x 0 ? (1 ? ? ) 2 .

2 2 2 ? (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? ? x 0 (1 ? ? ) ? 于是由 ? 得 x0 ? 2 2 2 2 ? 3? ? (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? 2 (1 ? ? ) x 0 ? (1 ? ? ) ?

因为 x 0 ? 1 ,所以
5 ?1 2

(1 ? ? ) 2 ? 3?
2 3

2

? 1 ,又 0 ? ? ? 1 ,

解得:

? ? ?

.由①②知

5 ?1 2

≤ ? ?

2 3



17.解: (1)在 △ P F1 F2 中, F1 F 2 ? 2
4 ? d 1 ? d 2 ? 2 d 1 d 2 co s 2? ? ( d 1 ? d 2 ) ? 4 d 1 d 2 sin ?
2 2 2 2

(d1 ? d 2 ) ? 4 ? 4 ?
2

d 1 ? d 2 ? 2 1 ? ? (小于 2 的常数)

故动点 P 的轨迹 C 是以 F1 , F2 为焦点,实轴长 2 a ? 2 1 ? ? 的双曲线. 方程为
x
2

1? ?

?

y

2

?

? 1.

(2)方法一:在 △ A F1 B 中,设 A F1 ? d 1 , A F 2 ? d 2 , B F1 ? d 3 , B F 2 ? d 4 . 假设 △ A F1 B 为等腰直角三角形,则

60

? ?d ? d ? 2a ? ① 1 2 ? ?d3 ? d4 ? 2a ? ② ? ?d3 ? d4 ? d2 ? ③ ? ? d1 ? 2 d 3 ? ④ ? 2 π ? ??⑤ ? d 3 d 4 sin ? 4

由②与③得 d 2 ? 2 a ,
? d1 ? 4 a ? 则 ?d3 ? 2 2a ? ? d 4 ? d 3 ? 2 a ? 2 ( 2 ? 1) a

由⑤得 d 3 d 4 ? 2 ? ,
4 2 ( 2 ? 1) a ? 2 ?
2

(8 ? 4 2 )(1 ? ? ) ? 2 ? ,

? ?

12 ? 2 2 17

? (0, 1)

故存在 ? ?

12 ? 2 2 17

满足题设条件.

方法二: (1)设 △ A F1 B 为等腰直角三角形,依题设可得
? 2 A F1 ? A F 2 ?sin ? ? ? ? B F ? B F ?sin 2 1 2 ? ? ? 2? 2 2? ? , ? A F1 ? A F2 ? π ? 8 2 ?1 1 ? co s ? ? 4 π ? ?? ? B F1 ? B F2 ? 2 ? 4 ? π ??
A F1 ? A F 2 sin π 4 ? ( 2 ? 1) ? , S △ B F F ? 1 2

所以 S △ A F F ?
1 2

1 2

1 2

B F1 ? B F 2 ? ? .

则 S △ AF B ? ( 2 ?
1

2 ) ? .①



S △ AF F
1

2

?

A F2 B F2

?

S △ BF F
1

2 ? 1 ,可设 B F 2 ? d ,

2

则 A F 2 ? ( 2 ? 1) d , B F1 ? A B ? (2 ?

2 )d .

61

则 S △ AF B ?
1

1 2

AB

2

?
2

1 2

(2 ?

2 ) d .②
2 2

由①②得 ( 2 ?

2 )d

? 2 ? .③

根据双曲线定义 B F1 ? B F2 ? 2 a ? 2 1 ? ? 可得, ( 2 ? 1) d ? 2 1 ? ? . 平方得: ( 2 ? 1) 2 d 2 ? 4 (1 ? ? ) .④
12 ? 2 2 17 12 ? 2 2 17
2 18.解: (1)设过 C 点的直线为 y ? kx ? c ,所以 x ? kx ? c ? c ? 0 ? ,即 x ? kx ? c ? 0 ,

由③④消去 d 可解得, ? ?

? (0, 1)

故存在 ? ?

满足题设条件.
2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , O A = ? x1 , y1 ? , O B ? ? x 2 , y 2 ? ,因为 O A ? O B ? 2 ,所以
x1 x 2 ? y1 y 2 ? 2 ,即 x1 x 2 ? ? kx1 ? c ? ? kx 2 ? c ? ? 2 , x1 x 2 ? k x1 x 2 ? kc ? x1 ? x 2 ? ? c
2
2 2 2 所以 ? c ? k c ? kc ?k ? c ? 2 ,即 c ? c ? 2 ? 0, 所以 c ? 2 ? 舍 去 c ? ? 1 ? / ( 2 ) 设 过 Q 的 切 线 为 y ? y 1 ? k 1 ? x ? x1 ? , y ? 2 x , 所 以 k 1 ? 2 x1 , 即

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

2

? 2

? x1 ? c 2 2 ? , ?c ? , 又 y ? 2 x1 x ? 2 x 1 ? y 1 ? 2 x1 x ? x 1 , 它 与 y ? ? c 的 交 点 为 M ? 2 x1 ? 2 ?
2 ? ? c ? x1 ? x 2 y 1 y ?2 ? k k ?k ? P? , ? ? , ? c ? ,所以 Q ? , ? c ? ,因为 x1 x 2 ? ? c ,所以 ? ? x2 , ? 2 2 x1 ?2 ? ? ? ?2 2 ?

所以 M ?

? x1 ? 2

?

x2

? ?k ? , ? c ? ? ? , ? c ? ,所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。 2 ? ? ?2
?k ? ?k ? , ? c ? ,因为 PQ ? x 轴,所以 P ? , y P ? ?2 ? ?2 ?

(3) (2)的逆命题是成立,由(2)可知 Q ? 因为
x1 ? x 2 2 ? k 2

,所以 P 为 AB 的中点。

0 0 19.解:由条件知 F1 ( ? 2,) , F 2 ( 2,) ,设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) .

解法一: (I)设 M ( x, y ) ,则 则 F1 M ? ( x ? 2, y ) , F1 A ? ( x1 ? 2, y1 ) ,
???? ???? ????? ???? ???? ???? F1 B ? ( x 2 ? 2, y 2 ),1O ? ( 2,) ,由 F1 M ? F1 A ? F1 B ? F1O 得 F 0
? x ? 2 ? x1 ? x 2 ? 6, ? x1 ? x 2 ? x ? 4, 即? ? ? y ? y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? y

?????

????

于是 A B 的中点坐标为 ?
?

? x?4 2

y? , ?. 2?

62

y

当 A B 不与 x 轴垂直时,

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

2 x?4 2

? ?2

y x?8

,即 y1 ? y 2 ?

y x?8

( x1 ? x 2 ) .

2 2 又因为 A, B 两点在双曲线上,所以 x12 ? y12 ? 2 , x 2 ? y 2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ,即 ( x1 ? x 2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y 2 ) y .

将 y1 ? y 2 ?

y x?8

( x1 ? x 2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6 ) ? y ? 4 .
2 2

当 A B 与 x 轴垂直时, x1 ? x 2 ? 2 ,求得 M (8,) ,也满足上述方程. 0 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6 ) ? y ? 4 .
2 2

(II)假设在 x 轴上存在定点 C ( m,) ,使 C A ?C B 为常数. 0 当 A B 不与 x 轴垂直时,设直线 A B 的方程是 y ? k ( x ? 2)( k ? ? 1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4 k x ? ( 4 k ? 2 ) ? 0 .
2 2

??? ??? ? ?

2

2

2

2

则 x1, x 2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x 2 ?
??? ??? ? ?
2

4k
2

2

k ?1

, x1 x 2 ?

4k ? 2
2

k ?1
2



于是 C A ?C B ? ( x1 ? m )( x 2 ? m ) ? k ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
? ( k ? 1) x1 x 2 ? ( 2 k ? m )( x1 ? x 2 ) ? 4 k ? m
2 2 2 2

?

( k ? 1)( 4 k ? 2 )
2 2

k ?1
2

?

4k (2k ? m )
2 2

k ?1
2

? 4k ? m
2

2

?

2 (1 ? 2 m ) k ? 2
2

k ?1
2

? m ? 2 (1 ? 2 m ) ?
2

4 ? 4m k ?1
2

?m .
2

因为 C A ?C B 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4 m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 C A ?C B = ? 1 .
? 当 A B 与 x 轴垂直时,点 A, B 的坐标可分别设为 ( 2, 2 ) , ( 2, 2) ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? 此时 C A ?C B ? (1, 2 ) ?(1,

??? ??? ? ?

2 ) ? ?1 .

0 故在 x 轴上存在定点 C (1,) ,使 C A ?C B 为常数.

??? ??? ? ?

解法二: (I)同解法一的(I)有 ?

? x 1 ? x 2 ? x ? 4, ? y1 ? y 2 ? y

63

当 A B 不与 x 轴垂直时,设直线 A B 的方程是 y ? k ( x ? 2)( k ? ? 1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4 k x ? ( 4 k ? 2 ) ? 0 .
2 2

2

2

2

2

则 x1, x 2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x 2 ?

4k
2

2

k ?1



? 4k 2 ? 4k y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 4 ) ? k ? ? 4? ? 2 . ? k ?1 ? k ?1

由①②③得 x ? 4 ?
y ? 4k k ?1
2

4k
2

2

k ?1

.???????????????????④

.??????????????????????????⑤
x?4 y

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

? k ,将其代入⑤有

4? y ?

x?4 y
2

( x ? 4) y
2

? ?1

4 y ( x ? 4) ( x ? 4) ? y
2 2

.整理得 ( x ? 6 ) ? y ? 4 .
2 2

0 当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 ( 4,) ,满足上述方程.

0 当 A B 与 x 轴垂直时, x1 ? x 2 ? 2 ,求得 M (8,) ,也满足上述方程.

故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6 ) ? y ? 4 .
2 2

0 (II)假设在 x 轴上存在定点点 C ( m,) ,使 C A ?C B 为常数,

??? ??? ? ?

当 A B 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 ? x 2 ? 以上同解法一的(II) .

4k k
2

2

? 1 , x1 x 2 ?

4k ? 2
2

k ?1
2



0 20.解:由条件知 F ( 2,) ,设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) .

? (I)当 A B 与 x 轴垂直时,可设点 A, B 的坐标分别为 ( 2, 2 ) , ( 2,

2) ,

? 此时 C A ?C B ? (1, 2 ) ?(1,

??? ??? ? ?

2 ) ? ?1 .

当 A B 不与 x 轴垂直时,设直线 A B 的方程是 y ? k ( x ? 2)( k ? ? 1) . 代入 x ? y ? 2 ,有 (1 ? k ) x ? 4 k x ? ( 4 k ? 2 ) ? 0 .
2 2

2

2

2

2

64

则 x1, x 2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x 2 ?
??? ??? ? ?

4k
2

2

k ?1

, x1 x 2 ?
2

4k ? 2
2

k ?1
2



于是 C A ?C B ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? k ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
? ( k ? 1) x1 x 2 ? ( 2 k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 4 k ? 1
2 2 2

?

( k ? 1)( 4 k ? 2 )
2 2

k ?1
2

?

4 k ( 2 k ? 1)
2 2

k ?1
2

? 4k ? 1
2

? ( ? 4 k ? 2) ? 4 k ? 1 ? ? 1 .
2 2

综上所述, C A ?C B 为常数 ? 1 . (II)解法一:设 M ( x, y ) ,则 C M ? ( x ? 1, y ) , C A ? ( x1 ? 1, y1 ) ,
??? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ? ???? C B ? ( x 2 ? 1, y 2 ) , C O ? ( ? 1,) ,由 C M ? C A ? C B ? C O 得: 0
? x ? 1 ? x1 ? x 2 ? 3, ? x1 ? x 2 ? x ? 2, 即? ? ? y ? y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? y
???? ?

??? ??? ? ?

??? ?

于是 A B 的中点坐标为 ?
?

? x?2 2

y? , ?. 2?

y

当 A B 不与 x 轴垂直时,

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

2 x?2 2

? ?2

y x?2

,即 y1 ? y 2 ?

y x?2

( x1 ? x 2 ) .

2 2 2 2 又因为 A, B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x 2 ? y 2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ,即 ( x1 ? x 2 )( x ? 2) ? ( y1 ? y 2 ) y .

将 y1 ? y 2 ?

y x?2

( x1 ? x 2 ) 代入上式,化简得 x ? y ? 4 .
2 2

当 A B 与 x 轴垂直时, x1 ? x 2 ? 2 ,求得 M ( 2,) ,也满足上述方程. 0 所以点 M 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

解法二:同解法一得 ?

? x 1 ? x 2 ? x ? 2, ? y1 ? y 2 ? y

??????????????①

当 A B 不与 x 轴垂直时,由(I) 有 x1 ? x 2 ?

4k
2

2

k ?1

.???????②

65

? 4k 2 ? 4k y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 4 ) ? k ? ? 4? ? 2 .?????????③ ? k ?1 ? k ?1

由①②③得 x ? 2 ?
y ? 4k k ?1
2

4k
2

2

k ?1

.???????????????????④

.??????????????????????????⑤
x?2 y

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

? k ,将其代入⑤有

4? y ?

x?2 y
2

( x ? 2) y
2

? ?1

4 y ( x ? 2) ( x ? 2) ? y
2 2

.整理得 x ? y ? 4 .
2 2

当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 ( ? 2,) ,满足上述方程. 0 当 A B 与 x 轴垂直时, x1 ? x 2 ? 2 ,求得 M ( 2,) ,也满足上述方程. 0 故点 M 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

21.解法 1: (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0, p ) ,可设 A ( x1, y1 ), B ( x 2, y 2 ) , ?
? x 2 ? 2 p, y 直 线 A B 的 方 程 为 y ? kx ? p , 与 x ? 2 p y联 立 得 ? 消 去 y 得 x p ?y ? k ? .
2

x ? 2 p kx ? 2 p ? 0 .
2 2
2 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 2 p k , x1 x 2 ? ? 2 p .

y

于是 S △ A B N ? S △ B C N ? S △ A C N ? · 2 p x1 ? x 2 .
2

1

B C A O N x

? p x1 ? x 2 ? p ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2
2

? p

4p k ?8p
2 2

2

? 2p

2

k ?2,
2

∴ 当 k ? 0 时, ( S △ A B N ) m in ? 2 2 p .
2

(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,
A C 的中点为 O ? , l 与 A C 为直径的圆相交于点 P , Q, P Q 的中点为 H ,

66

则 O ?H ? P Q , Q ? 点的坐标为 ?
∵ O ?P ? 1 2
O ?H ? a ? y1 ? p 2
∴ PH
2

y ? p? ,1 ?. 2 ? 2 ? ? x1
2

y

AC ?

1 2
?

x1 ? ( y 1 ? p ) ?
2

1 2

y1 ? p
2

2


O?

B C l A

1 2

2 a ? y1 ? p ,
1 4 1 4

O
2

x

? O ?P

2

? O ?H

?

( y1 ? p ) ?
2 2

( 2 a ? y1 ? p )

2

N

p? ? ? ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) , 2 ? ?
2

∴ PQ

?? p? ? 2 ? ( 2 P H ) ? 4 ? ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? . 2 ? ?? ?
? 0, a ? 得 p 2

令a ?

p 2

, 此时 P Q ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ?

p 2



即抛物线的通径所在的直线. 解法 2: (Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得
AB ? 1? k
2

2

x1 ? x 2 ?
k ?2,
2

1? k ·
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

1? k ·
2

4p k ?8p
2 2

2

? 2 p 1? k ·

又由点到直线的距离公式得 d ?

2p 1? k
2



从而 S △ A B N ? · d· A B ? · 2 p 1 ? k ·
2

1

1

k ?2 ·
2

2p 1? k
2

? 2p

2

k ?2 ,
2

2

2

∴ 当 k ? 0 时, ( S △ A B N ) m in ? 2 2 p .
2

(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,则以 A C 为直径的圆的方程为
( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p )( y ? y1 ) ? 0 ,
2 将直线方程 y ? a 代入得 x ? x1 x ? ( a ? p )( a ? y1 ) ? 0 ,

则 △ ? x1 ? 4 ( a ? p )( a ? y 1 ) ? 4 ? ? a ?
2

?? ??

p? ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? . 2 ? ?

设直线 l 与以 A C 为直径的圆的交点为 P ( x 3, y 3 ), Q ( x 4, y 4 ) ,

67

则有 P Q ? x 3 ? x 4 ? 令a ?
p 2 ? 0, a ? 得 p 2

?? p? ? p? ? 4 ? ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) . 2 ? 2 ? ? ?? ?

, 此时 P Q ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ?

p 2



即抛物线的通径所在的直线. 22. 解: (1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与 直线 y=x 相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则
m ? n 2

=2 2

即 m ? n =4



又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得
?m ? ?2 ? ?n ? 2

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2) a =5,∴a2=25,则椭圆的方程为

x

2

+

y
9

2

=1

25

其焦距 c= 25 ? 9 =4,右焦点为(4,0),那么 OF =4。 要探求是否存在异于原点的点 Q,使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长度 4,我们可 以转化为探求以右焦点 F 为顶点,半径为 4 的圆(x─4)2+y2=8 与(1)所求的圆的交点数。 通过联立两圆的方程解得 x= 即存在异于原点的点 Q(
4 5 4 5

,y=

12 5



12 5

),使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长。

23.解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n) 则 ?
? ? m ? ?n 2
2

?n? 2 ? 2 ?

解得 ?

?m ? ?2 ? n ? 2
2

所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为

( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8

2a ? 1 0
x
2

a ?5
2

?

y

?1 ,

右焦点为 F( 4, 0) ;

25

9

假设存在 Q 点 ? 2 ? 2 2 co s ? , 2 ? 2 2 sin ? 使 Q F ? O F ,

?

?

68

? ?2 ? 2
整理得

2 co s ? ? 4

? ? ?2 ? 2
2

2 sin ?

?

2

? 4

sin ? ? 3 co s ? ? 2 2

代入 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1
co s ? ? ?12 2 ? 10 8 ?

得:

1 0 co s ? ? 1 2 2 co s ? ? 7 ? 0
2

,

?12 2 ? 2 2 10

? ?1

因此不存在符合题意的 Q 点. 24.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲 线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)设点 P ( x, y ) ,则 Q ( ? 1, y ) ,由 Q P ?Q F ? F P ?F Q 得:
( x ? 1, ?(2, y ) ? ( x ? 1, y ) ?( ? 2, y ) ,化简得 C : y ? 4 x . 0) ?
2

??? ???? ?

??? ???? ?

y P B O F A

Q

(Ⅱ)设直线 A B 的方程为:
x ? m y ? 1( m ? 0 ) .

x

? 设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) ,又 M ? ? 1, ?

?

2 ? ?, m ?

M

联立方程组 ?

? y 2 ? 4 x,

? x ? m y ? 1,

,消去 x 得:

y ? 4 m y ? 4 ? 0 , ? ? ( ? 4 m ) ? 1 2 ? 0 ,故
2 2

? y1 ? y 2 ? 4 m, ? ? y 1 y 2 ? ? 4.

由 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F 得:
y1 ? 2 m ? ? ?1 y1 , y 2 ? 2 m ? ? ? 2 y 2 ,整理得:

????

????

????

??? ?

?1 ? ? 1 ?

2 m y1

, ?2 ? ?1 ?

2 m y2



? ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2 ? 1 1 ? ? ? ? m ? y1 y2 ?

? ?2 ?

2 y1 ? y 2 ? m y1 y 2
2 4m ? m ?4

? ?2 ?

69

? 0.

解法二: (Ⅰ)由 Q P ?Q F ? F P ?F Q 得: F Q ?( P Q ? P F ) ? 0 ,
???? ??? ? ???? ??? ? ? ( P Q ? P F ) ?( P Q ? P F ) ? 0 ,

??? ???? ?

??? ???? ?

????

????

??? ?

???? 2 ??? 2 ? ? PQ ? PF ? 0 ,

???? ??? ? ? PQ ? PF .

所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

(Ⅱ)由已知 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F ,得 ?1 ?? 2 ? 0 .
???? MA ?1 则: ???? ? ? MB ?2 ???? AF ??? .????① ? BF

????

????

????

??? ?

过点 A, B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1 , B1 ,
???? ???? ???? MA A A1 AF 则有: ???? ? ???? ? ???? .????② MB B B1 BF ???? AF 由①②得: ? ??? ? ??? ,即 ?1 ? ? 2 ? 0 . ? ? ?2 BF BF

?1 A F

????

25.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲 线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)设点 P ( x, y ) ,则 Q ( ? 1, y ) ,由 Q P ?Q F ? F P ?F Q 得: y
( x ? 1, ?(2, y ) ? ( x ? 1, y ) ?( ? 2, y ) ,化简得 C : y ? 4 x . 0) ?
2

??? ???? ?

??? ???? ?

(Ⅱ) (1)设直线 A B 的方程为:
x ? m y ? 1( m ? 0 ) .

Q

P B O F A

x

2 ? ? ? 设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) ,又 M ? ? 1, ?, m ? ?

M

? y 2 ? 4 x, 2 2 联立方程组 ? ,消去 x 得: y ? 4 m y ? 4 ? 0 , ? ? ( ? 4 m ) ? 1 2 ? 0 , ? x ? m y ? 1, ? y1 ? y 2 ? 4 m, ? ? y 1 y 2 ? ? 4.

由 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F 得:

????

????

????

??? ?

70

y1 ?

2 m

? ? ?1 y1 , y 2 ?

2 m

? ? ? 2 y 2 ,整理得:

?1 ? ? 1 ?

2 m y1

, ?2 ? ?1 ?

2 m y2



? ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2 ? 1 1 ? ? ? ? m ? y1 y2 ?

? ?2 ?

2 y1 ? y 2 ? m y1 y 2
2 4m ? m ?4
??? ???? ? ??? ???? ? ???? ???? ??? ?

? ?2 ?

? 0.

解法二: (Ⅰ)由 Q P ?Q F ? F P ?F Q 得: F Q ?( P Q ? P F ) ? 0 ,
???? ??? ? ???? ??? ? ? ( P Q ? P F ) ?( P Q ? P F ) ? 0 ,

???? 2 ??? 2 ? ? PQ ? PF ? 0 ,

???? ??? ? ? PQ ? PF .

所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

(Ⅱ) (1)由已知 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F ,得 ?1 ?? 2 ? 0 .
???? MA ?1 则: ???? ? ? MB ?2 ???? AF ??? .????① ? BF

????

????

????

??? ?

过点 A, B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1 , B1 ,
???? ???? ???? MA A A1 AF 则有: ???? ? ???? ? ???? .????② MB B B1 BF

由①②得: ?

?1 ?2

???? ???? AF AF ??? ? ??? ,即 ?1 ? ? 2 ? 0 . ? ? BF BF

(Ⅱ) (2)解:由解法一, M A ? M B ?
? (1 ? m ) y1 y 2 ? y M ( y1 ? y 2 ) ? y M
2 2

???? ????

?

1? m

2

?

2

y1 ? y M

y2 ? yM

? (1 ? m ) ? 4 ?
2

2 m

? 4m ?

4 m
2

71

4 ? 2 ? ? (1 ? m ) ? 4 ? 2 ? m ? ?

? 4(2 ? m ?
2

? 1 2 )≥ 4?2 ? 2 m ? 2 2 ? m m ? 1
1 m
2

? ? ? 16 . ? ?

2 当且仅当 m ?

,即 m ? ? 1 时等号成立,所以 M A ? M B 最小值为 16 .

???? ????

26.解: (I)因为 A B 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 A D 与 A B 垂直,所以直线 A D 的斜率为 ? 3 . 又因为点 T ( ? 1, 在直线 A D 上, 1) 所以 A D 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ? 3( x ? 1) .
3x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ?3 x ? y ? 2 = 0

解得点 A 的坐标为 (0, 2 ) , ?

因为矩形 A B C D 两条对角线的交点为 M ( 2,) . 0 所以 M 为矩形 A B C D 外接圆的圆心. 又 AM ?
( 2 ? 0 ) ? (0 ? 2 ) ? 2 2 .
2 2
2 2

从而矩形 A B C D 外接圆的方程为 ( x ? 2 ) ? y ? 8 . (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 P N 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 P M ? P N ? 2 2 , 即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ? 所以虚半轴长 b ?
2 ,半焦距 c ? 2 .
c ?a
2 2

?

2.
x
2

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

?

y

2

? 1( x ≤ ?

2).

2

2

27.解: (I)因为 A B 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 A D 与 A B 垂直,所以直线 A D

72

的斜率为 ? 3 . 又因为点 T ( ? 1, 在直线 A D 上, 1) 所以 A D 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ? 3( x ? 1) .
3x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ?3 x ? y ? 2 = 0

解得点 A 的坐标为 (0, 2 ) , ?

因为矩形 A B C D 两条对角线的交点为 M ( 2,) . 0 所以 M 为矩形 A B C D 外接圆的圆心. 又 AM ?
( 2 ? 0 ) ? (0 ? 2 ) ? 2 2 .
2 2
2 2

从而矩形 A B C D 外接圆的方程为 ( x ? 2 ) ? y ? 8 . (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 P N 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 P M ? P N ? 2 2 , 即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ? 所以虚半轴长 b ?
2 ,半焦距 c ? 2 .
c ?a
2 2

?

2.
x
2

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

?

y

2

? 1( x ≤ ?

2).

2

2

28.19.本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、 直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力、综合分析 问题的能力.本小题满分 12 分. y 解: (Ⅰ)由题意知, A ( a, 2 a ) . 2
G : y ? 2x
2 2 因为 O A ? t ,所以 a ? 2 a ? t .

D B A a
a?2

由于 t ? 0 ,故有 t ?

a ? 2a .
2

(1) O

0 由点 B (0, t ), C ( c, ) 的坐标知,



x

73

直线 B C 的方程为

x c

?

y t

? 1.

又因点 A 在直线 B C 上,故有

a c

?

2a t

?1,

将(1)代入上式,得

a c

?

2a a (a ? 2)

?1,

解得 c ? a ? 2 ?

2(a ? 2) .

(Ⅱ)因为 D ( a ? 2, 2 ( a ? 2 ) ) ,所以直线 C D 的斜率为
kCD ? 2(a ? 2) a?2?c ? 2(a ? 2) a ? 2 ? (a ? 2 ? 2(a ? 2) ) ? 2(a ? 2) ? 2(a ? 2) ? ?1 .

所以直线 C D 的斜率为定值. 29.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线 与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小 题满分 14 分. 解: (I)设切点 Q ? x 0, 0 ? .由 y ? ?
? 4 ? ?
2 x ?

x 2

,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为

x0 2

,故所求切线

方程为 y ?

x0 4

2

?

x0 2

( x ? x0 ) .

即y ?

x0 2

x?

x4 4

2



因为点 P (0, ? ) 在切线上. ?
x0 4
2
2 , x0 ? 1 6 , x0 ? ? 4 .

所以 ? 4 ? ?

所求切线方程为 y ? ? 2 x ? 4 . (II)设 A ( x1, y1 ) , C ( x 2, y 2 ) . 由题意知,直线 A C 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k ? 0 .
1) 因直线 A C 过焦点 F (0, ,所以直线 A C 的方程为 y ? kx ? 1 .

点 A, C 的坐标满足方程组 ?

? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y,
2

2 得 x ? 4 kx ? 4 ? 0 ,

74

由根与系数的关系知 ?

? x1 ? x 2 ? 4 k , ? x1 x 2 ? ? 4 .
2

AC ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2

1? k
1 k

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 4 (1 ? k ) .
2 2

因为 A C ? B D ,所以 B D 的斜率为 ?
? ? ? ? ? 1? ? k ?
2
2

,从而 B D 的方程为 y ? ?

1 k

x ?1.

同理可求得 B D ? 4 ? 1 ? ? ?

? 4 (1 ? k 2 ) . ?? 2 ? k ?

S ABCD ?

1 2

AC BD ?

8(1 ? k ) k
2

2

? 8( k ? 2 ?
2

1 k
2

) ≥ 32 .

当 k ? 1 时,等号成立.所以,四边形 A B C D 面积的最小值为 3 2 .

75


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