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北京市海淀区2016年高三查漏补缺数学试题



高三数学查漏补缺题 2016.5 说明: 个别题目有难度 ,个别题目方向有偏差,请谨慎选用! 1、 提供的题目并非一组试卷,小题(选、填)主要针对以前没有考到的知识点,或者在 试题的呈现形式上没有用过的试题。 2、 教师要根据自己学校的学生情况,有针对性地选择使用,也可以不用。 3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习,合理安排学生时间。 4、 因为是按照中心组教师的

建议和一些教师的建议匆匆赶制而成,难免出错,希望老师们 及时指出问题,以便及时改正。

简易逻辑部分 : 1.已知实数 a ,直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 ,则“ a ? 1 ”是“ l1 // l2 ” 的( ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 C.必要不充分条件 答案:B 2.已知曲线 C 的方程为 ( )

x2 y 2 ? ? 1 ,则“ a ? b ”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的 a b

A.充分必要条件 C.必要不充分条件 答案:C

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2, ?n}, n ? 4, n ? N* ,若 X ? A, 且 2 ? Card ( X ) ? n ? 2 ,(Card(X)表示 3.设集合 A ? {1,
集合 X 中的元素个数)令 a X 表示 X 中最大数与最小数之和,则 (1)当 n=5 时,集合 X 的个数为 (2)所有 a X 的平均值为 n+1 20

解答(2),对所有的 X 进行配对, 当 Card ( X ) ? 2 时,

1

/ 令 X ? {x1 , x2 } , X / ? {n ? 1 ? xi | xi ? X } ,必 有 X ? A 不妨设 x1 ? x2 , 则 a X ? x1 ? x2 ,

aX / ? n ? 1 ? x1 ? n ? 1 ? x2 ? 2n ? 2 ? ( x1 ? x2 ) . 如 果 X ? X / 则 有 aX ? aX / ? 2n ? 2 , 如 果
X ? X / 则 a X ? n ? 1。

同理,当 Card ( X ) ? k (2 ? k ? n ? 2) 时
/ 令 X ? {x1 , x2 ,...xk } , X / ? {n ? 1 ? x i | xi ? X } 必 有 X ? A , 不 妨 设 x1 ? x2 ? ... ? xk , 则

aX ? x1 ? xk , aX / ? 2n ? 2 ? ( x1 ? xk ) 。如果 X ? X / 则有 aX ? aX / ? 2n ? 2 ,如果 X ? X / 则

a X ? n ? 1。
所以,在每一组元素个数相同的子集中, a X 的平均值为 n+1. 综上,所有 a X 的算术平均值为 n+1

三角函数部分 1.若角 ? 的终边过点 (1, ?2) ,则 sin 2? ? _____ ? 解: x ? 1, y ? ?2, r ?

4 5

x2 ? y 2 ? 5

?sin ? ? ?

2 1 ,cos ? ? 5 5 2 1 4 )? ?? 5 5 5

? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? (?
2.把函数 y ? sin(

?
4

? 2 x) 向右平移

? 个单位,然后把横坐标变为原来的 2 倍,则所得到的 8 ? ? ? 个单位,得 y ? sin[ ? 2( x ? )] ? cos 2 x , 4 8 8
) ? ? ,(

函数的解析式为________________ 解:函数 y ? sin(

?
4

? 2 x) 向右平移

把横坐标变为原来的 2 倍,得 y ? cos x 3. 设 函 数 f

( ? x?=s i n?

x +?+ ) c o? s( + x ?

? ? ? 0, 的最 )小 正 周期 为 ? , 且
2

f ( ? x) ? f ( x) ,则:
A. f ( x ) 在 (0,

? ) 上单调递减 2

B. f ( x ) 在 (

? 3?
4 , 4

) 上单调递减

2

C. f ( x ) 在 (0,

? ) 上单调递增 2

D. f ( x ) 在 (

? 3?
4 ,

解: f ? x ?=sin(? x+? )+cos(? x+? )= 2sin(? x ? ? ?

?

4

) 上单调递增

由于 f (? x) ? f ( x) ,可知函数为偶函数,因此 ?+ =k? + 可得 ? ?

?

4

) ,由最小正周期得 ? ? 2 ,又

?
2

?
4

,所以 f ? x ?= 2cos 2x ,在 (0,

? ) 上单调递减。所以选 A 2

4

(k ? Z) ,又因为 ? ?

?
2



4. 已知函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | ,现有如下几个命题: ①该函数为偶函数; ②该函数最小正周期为 ? ; ③该函数值域为 [1, 2] ; ④该函数单调递增区间为 [ 其中正确命题为. 解:答案:①③④ 先分析函数奇偶性为偶函数,从而只用考虑 y 轴一侧的图像,如右侧.然后由诱导公式或者

k ? ? k? , ? ] k ?Z . 2 4 2

? ,而非 ? .这样只需要画一个周期的函数图像即可, 2 ? ? 在 [0, ] 上函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 很容易画出,然后函数图像就出来了, 2 4
④的提醒应该分析出最小正周期为
7 6 5

就好下结论了.

4

3

2

1

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

-1

-2

-3

-4

-5

5. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 a ? c ? 2b
-6 -7

(I)求角 B 的取值范围; (II)若 A ? C ?

?
3

,求 sin B ;

a 2 ? c 2 ? b2 解:(I) cos B ? ? 2ac

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 3a 2 ? 3c 2 ? 2ac 6ac ? 2ac 1 2 ? ? ? 8ac 2 2ac 8ac
3

又? 0 ? B ? ? , ? B ? (0,

?
3

]

(II)(2)? a ? c ? 2b ? sin A ? sin C ? 2sin B

1 1 1 ? 1 3 ? ? sin B ? sin A ? sin C ? sin(C ? ) ? sin C ? sin(C ? ) 2 2 2 3 2 2 6
? sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ? sin(2C ? ) 3

?

? 3 ? ? sin(2C ? ) ? sin(C ? ) 3 2 6
? ? 3 ? ? 2sin(C ? ) cos(C ? ) ? sin(C ? ) 6 6 2 6
? 3 ? 13 ? cos(C ? ) ? ,? sin(C ? ) ? 6 4 6 4
错误!未找到引用源。

? sin B ?

3 ? 3 13 39 sin(C ? ) ? ? ? 2 6 2 4 8 ? ?

6. 已知函数 f ( x) ? 2 2 sin x cos? x ?

??

?。 4?
2,求使 f ( A ?

(I) 若在 △ ABC 中, BC ? 2,AB ? (II)求 f ( x) 在区间 ?

?
4

) ? 0的角 B .

? ? 17? ? , ? 上的取值范围; ? 2 24 ?

解:(I)? f ( A ?

?

?? ? ) ? 2 2 sin ? A ? ? cos A ? 0 4 4? ?

?? ? ? ? ? sin ? A ? ? ? 0或 cos A ? 0, ?在三角形中,得A ? 或. 4? ? 4 2
?当A ?

?
2

时,B ?

?
4

;

错误!未找到引用源。时,由正弦定理得错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。

4

(II)

? 2 ? 2 f ( x) ? 2 2 sin x ? cos x ? sin x ? ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2 ? sin 2 x ? cos2 x ? ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 2 4? ? ? 2 ?

?

?
2

?x?

17? 5? ? 5? ,? ? 2 x ? ? , 24 4 4 3

?? ? ?? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ?1, 4? ?

由正弦函数的性质可知,
当2 x ? 3? 5? ,即x ? 时,f ( x)取最小值 ? 2 ? 1; 4 2 8 ? 5? ? 当2 x ? ? ,即x ? 时,f ( x)取最大值 ? 2. 4 4 2 ?

?

所以 f ( x) 在区间 ?

? ? 17? ? ? ? 2? , ? 上的取值范围是 ? ? 2 ? 1, ?. 2 24 ? ?

7.如图, 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 是单位圆上的动点, 过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y ? 3x ( x ? 0) 交于点 Q ,与 x 轴交于点 M .记

π π ?MOP ? ? ,且 ? ? (? , ) . 2 2 1 (Ⅰ)若 sin ? ? ,求 cos ?POQ ; 3
(Ⅱ)求 ?OPQ 面积的最大值.

M

解:﹙Ⅰ﹚因为 sin ? ?

2 2 1 π π ,且 ? ? (? , ) ,所以 cos ? ? . 3 2 2 3 π π π 2 2? 3 所以 cos ?POQ ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? . 3 3 3 6

(Ⅱ)由三角函数定义,得 P(cos ? ,sin ? ) ,从而 Q(cos? , 3cos? )

5

所以 S?POQ ?

1 | cos? || 3cos? ? sin ? | 2 1 ? | 3cos2 ? ? sin ? cos? | 2 1 3 3 cos 2? 1 1 3 π ? | ? ? sin 2? |? | ? sin( ? 2? ) | 2 2 2 2 2 2 3

1 3 3 1 | ? 1 |? ? 2 2 4 2 π π π 因为 ? ? (? , ) ,所以当 ? ? ? 时,等号成立 2 2 12 ?
所以 ?OPQ 面积的最大值为

3 1 ? . 4 2

立体几何部分: 1. 已知 m, n 为异面直线,m ? 平面 ? , n ? 平面 ? ,直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? , 则( )

A. ? // ? ,且 l //

?

B. ? ? ? ,且 l ?

?

C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l 答案 D

D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

2.(理科) 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为直线 BC1 上的动点,Q 为直线 A1 B1 上的 动点,则 PQ 与面 BCC1 B1 所成角中最大角的正弦值为_________. 解:点 P 在 BC1 中点,点 Q 在 A1 时成角最大,最大成角的正弦值为

6 3

PD ? 平面 ABCD , 3. 如图所示几何体中, 底面 ABCD 是正方形, BE // PD , AB ? PD ? 2 BE ? 2 , F 为 AD 的中点.
(I)证明: BF // 平面 PAE ; (II) 线段 PE 上是否存在一点 N ,使 PE ? 平面 NAC ?若存在, 求 PN 的长;若不存在,说明理由.

6

解:(I)取 PA 中点 Q ,连 QF 、 QE .则 QF // PD // BE , QF ? 所以四边形 QFBE 是平行四边形,所以 BF / / EQ , 又因为 QE ? 平面 PAE , BF ? 平面 PAE ,

1 PD ? BE ? 1 , 2

所以 BF // 平面 PAE .(取 PD 中点 M,连FM,BM,通过面面平行证明也可)

(II) 线段 PE 上存在一点 N ,使 PE ? 平面 NAC , PN ? 2 . 过 A 做 AN ? PE 于 N ,连 CN ,因为 PD ? 平面 ABCD , AD,CD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD , PD ? CD , AD ? CD ? PD ? 2 ,所以 AP ? CP ? 2 2 , 因为 BE // PD ,所以 BE ? 平面 ABCD , AB,CB ? 平面 ABCD , 所以 BE ? AB , BE ? CB , AB ? CB ? 2, BE ? 1 ,所以 AE ? CE ? 5 , 所以 ? PAE 与 ? PCE 全等,因为 AN ? PE ,所以 CN ? PE ,又因为 AN ? CN ? N ,

AN,CN ? 平面 NAC ,所以 PE ? 平面 NAC

因为 PD ? 平面 ABCD , DC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? DC , BE // PD , 所以 PE ? 3 ,在 ? PAE 中

cos ?APE ?

PA2 ? PE 2 ? AE 2 (2 2)2 ? 32 ? ( 5)2 2 ? ? 2 PA ? PE 2 2?2 2 ?3

所以 PN ? PAcos?APE ? 2 2 ?

2 ?2 2

4.如图,已知三棱锥 A ? BCD 中, DB ? DC ? BA ? 2 , BD ? DC , AB ? 平面 BCD ,

E 为 BC 的中点.
(1)求证: AC ? DE ; (2)求二面角 B ? AC ? D 的大小; (3)在棱 AC 上是否存在点 F ,使得 EF ? AD ? 解答:

7

(1).证明:? AB ? 平面 BCD , DE ? 平面 BCD ,? AB ? DE 又? ?BCD 为等腰直角三角形, E 为 BC 的中点,? BC ? DE

? AB ? BC ? B ,? DE ? 平面 ABC

AC ? 平面 ABC ,

故 AC ? DE

(2).在平面 ABD 内,过点 D 作 BA 的平行线 DP 故 DP ? 平面 BCD 所以 DB, DC, DP 两两垂直, 以 D 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系

D(0,0,0) A(2,0,2) , B(2,0,0) , C (0,2,0)
因为 DE ? 平面 ABC ,所以 DE ? (1,1,0) 为平面 ABC 的一个法 向量,

设 n ? ( x, y, z) 为平面 ACD 的一个法向量, DC ? (0,2,0), DA ? (2,0,2) ,故

? ?2 x ? 2 z ? 0 ? n ? DA ? 0 不妨设 x ? 1 ,则 z ? ?1, y ? 0 ,故 n ? (1,0,?1) ?? ? 2 y ? 0 ? n ? DC ? 0 ? ?
所以 cos ? DE, n ??

DE ? n DE n

?

? 1 ,所以二面角 B ? AC ? D 的大小为 . 3 2

(3)假设存在点 F (a, b, c) 在棱 AC 上,则 AF ? ? AC , ? ? [0,1] 即 (a ? 2, b, c ? 2) ? (?2? ,2? ,?2? ) 所 以 F (2 ? 2? ,2? ,2 ? 2? ) , 则 EF ? (1 ? 2?,?1 ? 2?,2 ? 2?) , DA ? (2,0,2) , 有

EF ? DA ? 2 ? 4? ? 4 ? 4? ? 0 ,即 ? ?

3 , 4

即存在点 F ( ,

1 3 1 , ) 为 AC 的靠近点 C 的四等分点使得 EF ? AD 2 2 2

5. 已知一几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为___ ; 表面积为____. 参考答案: V ? 4, S ? 12 ? 3 3

8

概率: 1. 在一个盒中放置 6 张分别标有号码 1,2,?,6 的卡片,现从盒中随机抽出一张,设卡片 编号为 a.调整盒中卡片,保留所有号码大于 a 的卡片,然后第二次从盒中再次抽出一张, 则第一次抽出奇数号卡片,第二次抽出偶数号卡片的概率值为. 解:设“第一次抽出奇数号卡片,第二次抽出偶数号卡片”为事件 A.则
1 3 1 2 1 1 3 2 17 . P ? A? ? ? ? ? ? ?1 ? ( ? ? 1) ? 6 5 6 3 6 6 5 3 45

所以第一次抽出奇数号卡片,第二次抽出偶数号卡片的概率为

17 . 45

2.袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率; (Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 ? 为摸出两球中白球的个数,求 ? 的期望和方差. 解:(Ⅰ)记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件 A,

2 , 5 3 摸出一球得黑球的概率为 , 5 2 3 3 2 12 所以 P(A)= × + × = . 5 5 5 5 25 12 答:两球颜色不同的概率是 . 25 (Ⅱ)由题知 ? 可取 0,1,2, 依题意得
摸出一球得白球的概率为
3 2 2 3 3 3 2 3 2 1 1 P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , P(? ? 2) ? ? ? 5 4 5 4 5 5 4 10 5 4 10

则 E? ? 0 ?

3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? , 10 5 10 5
2 2 2

3

4? 1 9 ? 4? 3 ? 4? 3 ? D? ? ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? . 5 ? 10 ? 5? 5 ? 5 ? 10 25 ?

答: 摸出白球个数 ? 的期望和方差分别是

4 5



9 25

.

9

解析几何 1.已知圆 C: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,若椭圆 M 以圆心 C 及(2,0)为左、右焦点,且圆 C 与椭 圆 M 没有公共点,则椭圆 M 的离心率的取值范围是. 解: 0 ? e ?

2 3
2 x2 y ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 是线段 OA2 的中垂线与双曲线 E a2 b2

2. 双曲线 E:

的渐近线的交点(O 为双曲线中心),若 PA1⊥PA2,则双曲线 E 的离心率 e=_________. 解:2

3. 曲线 C 是平面内与三个定点 F (-1,0),F2 (1 , 0) 和 F 3 (0, ,1) 的距离的和等于 2 2 的点的 1 轨迹.给出下列四个结论: ①曲线 C 关于 x 轴、 y 轴均对称 ②曲线 C 上存在一点 P ,使得 | PF3 |?

2 2 3

③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积最大值是 1 4 三角形 PF2 F3 面积的最大值为 ○ 其中所有真命题的序号是 3, 命题意图:定义一个新曲线,考察学生即时学习的能力,培养学生创新意识。从数(方程) 与形(曲线)两个角度认识事物。两种方式有交叉,互为补充, 解答:设曲线 C 上任意一点坐标为 P(x, y ) 由题意可知:C 的方程为

3 2

( x ? 1) 2 +y 2 ? ( x ? 1) 2 +y 2 ? x 2 +(y ? 1) 2 ? 2 2
(1) 错误。在此方程中,用 ? x, ? y 分别取代 x , y ,可知 C 只关于 y 轴对称,不关于 x 轴 对称。 (2) 错误。若 | PF3 |?

2 2 4 2 ?| F1F2 |? 2 则 | PF1 | ? | PF2 |? 3 3

(3) 正确。因为 | PF 1 | ? | PF 2 |?| PF 1 | ? | PF 2 | ? | PF 3 |? 2 2

10

所有的 P 点都应该在椭圆 D:

x2 (含边界) 曲线 C 与 D 有唯一公共点 A , (0,1 ) ? y 2 ? 1内 2

此时,三角形面积最大。值为 1. 4 三角形 PF2 F3 面积的最大值为 ○

3 (错误) 2

此时需要先考虑以 F2 , F3 为焦点实半轴为 2 的椭圆 E, 其短轴顶点到直线 F2 F ( 3 x ? y ? 1 ? 0) 距离为

6 2

此时三角形 PF2 F3 的面积为

3 , 2 3 2

但是曲线 C 应该在此椭圆内部,所以三角形 PF2 F3 的面积应小于

4. 设 m ? R ,直线 x ? my ? 0 与直线 mx ? y ? 2m ? 4 ? 0 交于点 P(x,y),则点 P 到直线 l:

( x ?1)cos? ? ( y ? 2)sin ? ? 3 距离的最大值为________
解:直线 x ? my ? 0 与直线 mx ? y ? 2m ? 4 ? 0 垂直,并且分别过定点(0,0),(2,4), 则点 P 的轨迹为以(1,2)为圆心, 5 为半径的圆,圆心到直线 l 的距离为 3 大于半径,则 所求最大值为 3 ? 5

5.已知椭圆 W :

? 3? x2 y 2 1, ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,椭圆短轴长为 2 ,且椭圆过点 P ? 2 ? 2 ? ?, a b ? ?

1)求椭圆的方程;2)直线 l 与椭圆 W 相交于 A, B 点,请问在椭圆 W 上是否存在点 C ,四 边形 AOBC 为矩形,若存在,请求出矩形 AOBC 的面积,若不存在,请说明理由。 解:因为 2b=2,故 b=1 因为 e ?

c 3 4c 2 2 ? , 故 a ? 3 a 2
2 2 2
2 故b ?

因为 a ? b ? c

1 2 c 3

11

? 3? 因椭圆过点 P ? 1, ? 2 ? ?, 故 ? ?

3 1 4 ? ? 1, a 2 b2

9 x2 3 2 2 2 4 即 ? 2 ? 1 , 即 c ? 3 , a ? 4, b ? 1 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1 2 4 4c c
2)存在四边形为 ABCD 矩形 ① AB 斜率不存在时,显然对角线不等,故不符合题意; ② AB 斜率存在时,假设存在四边形 OABC 为矩形 设 AB 直线方程为: y ? kx ? m

? y ? kx ? m 消去 y 得: ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0

? ? 16 ? 4k 2 ? m 2 ? 1? ? 0 即: 4k 2 ? 1 ? m2 --------①
4m 2 ? 4 8km x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
四边形 OABC 为矩形 故 OA ? OB , 即 OA ? OB

??? ?

??? ?

OB ? 0 故 OA?

??? ? ??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 x1x2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? 0
即: 1 ? k

?

2

?x x

1 2

? km ? x1 ? x2 ? ? m 2 ? 0

4m 2 ? 4 8km ? m2 ? 0 ?1 ? k ? 1 ? 4k 2 ? km?1? 2 ? 4k
2

整理得: 5m ? 4k ? 4 ? 0 ②
2 2

由①②得

m2 ?

3 ③ 4

又因为四边形 OABC 为矩形, 故 OA ? OB ? OC 设 C ? x0 , y0 ? 则?

??? ? ??? ?

??? ?

? ? x0 ? x1 ? x2 ? ? y0 ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m

所以 C ? ?

2m ? ? 8km , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?

12

因为 C 在椭圆上,

?1 ? 4k 2 ?

16k 2 m2

2

?

?1 ? 4k 2 ?

4m 2

2

?1



4m 2 ? 1 故 4m2 ? 1 ? 4k 2 ④ 1 ? 4k 2

?m 2 ? 3 ? 结合②④ 解得 ? 2 11 符合题意 ?k ? ? 4
AB ? 1 ? k 2

m 4 4k 2 ? 1 ? m 2 , 而 O 到 AB 距离: d ? 2 1 ? 4k 1? k 2

S矩形AOBC

4 m 4k 2 ? 1 ? m2 4 3 9 ? d ? AB ? ? ? 3 1 ? 4k 2 12

6. 已知抛物线 C : x ? 2 py 的焦点 F 到准线 l 的距离为 2,点 P 、Q 都是抛物线上的点,且
2

点 Q 与点 P 关于 y 轴对称。 (Ⅰ)求抛物线的标准方程和焦点坐标; (Ⅱ) 圆 E :x
2

?y? ? 4 ?? 1 , 过点 P 作圆 C 的两条切线, 分别与抛物线交于 M , N 两点(M、
2

N 不与点 P 重合),若直线 MN 与抛物线在点 Q 处的切线平行,求点 P 的坐标。 解:(Ⅰ) x ? 4 y ; F ? 0,1?
2

(Ⅱ)方法 1:设 P ? x0 ,

? ?

2 x0 ? x0 ? ,uy 过点 P 的圆 E 的切线: y ? 4 ? k ? x ? x0 ? 4?

2

?4 ?
由圆心 E ? 0,4? 到切线距离为 1,得:
2

2 x0 ? kx0 4

k 2 ?1

? 1。

? x2 ? ? x2 ? 即 ? x ? 1? k ? 2 x0 ? 0 ? 4 ? k ? ? 0 ? 4 ? ? 1 ? 0 。 ? 4 ? ? 4 ?
2 0 2

由题可知: 直线 PM , PN 均与 x 轴不垂直, 故可设直线 PM , PN 的斜率分别为 k1 , k2 ,
2 ? x0 ? 2 x0 ? ? 4 ? ? 4 ? 。(*) 则 k1 ? k2 ? 2 x ? 1 ?0 ?

13

? x2 ? y ? 0 ? k ? x ? x0 ? , 由? 解得点 M 的横坐标 x1 ? 4k1 ? x0 , 4 2 ?x ? 4 y ?
同理,点 N 的横坐标 x2 ? 4k2 ? x0 。
2 x12 x2 ? y ? yN x x ?x ? M ? 4 4 ? 1 2 ? ? k1 ? k2 ? ? 0 。 xM ? xN x1 ? x2 4 2

于是,直线 MN 的斜率 kMN

又因为对于抛物线来说, y ' ? 故点 Q 处切线的斜率为 ? 所以,由题 k MN ? ?

x , 2

x0 , 2

x0 得 k1 ? k2 ? 0 。 2

代入(*)式得: x0 ? 0 或 ?4 。 所以,点 P 的坐标为 ? 0, 0 ? 或 ? ?4, 4 ? 。 7 .已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的左右两个顶点分别为 A, B ,点 M 是直线 l : x ? 4 上任意一 4 3

点,直线 MA , MB 分别与椭圆交于不同于 A, B 两点的点 P ,点 Q . (Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点 F 的坐标; (Ⅱ)(i)证明 P, F , Q 三点共线; (ii)求 ?PQB 面积的最大值. 解:(Ⅰ) a 2 ? 4 , b2 ? 3 ,所以, c 2 ? a 2 ? b2 ? 1 。 所以,椭圆的离心率 e ? 右焦点 F ?1,0 ? 。 (Ⅱ)(i) A? ?2,0? , B ? 2,0 ? 。设 M ? 4, m ? ,显然 m ? 0 。

c 1 ? 。 a 2

m m ? x ? 2? , MB : y ? ? x ? 2? 。 2 6 m ? ? 54 ? 2m2 y ? x ? 2 , ? ? x ? , ? ? 6 ? ? P 27 ? m 2 由? 2 解得 ? 2 ?x ? y ?1 ? y ? 18m . P ? ? 3 27 ? m 2 ?4 ?
则 MA : y ?

14

m ? 2m 2 ? 6 ? y ? x ? 2 , ? ? x ? , Q ? ? ? ? 2 m2 ? 3 由? 2 解得 ? 2 ? y ? ?6m . ?x ? y ?1 ? ? Q m2 ? 3 3 ?4 ?
当 m 2 ? 9 时, xP ? xQ ? 1 , P, Q , F 三点共线。 当 m 2 ? 9 时, k FP ?

yP ? 0 18m 6m , ? ? xP ? 1 27 ? 3m 2 9 ? m 2
yQ ? 0 xQ ? 1 ? ?6m 6m , ? 2 m ? 9 9 ? m2

kFQ ?

所以, kFP ? kPQ ,所以, P, Q , F 三点共线。 综上, P, Q , F 三点共线。 (Ⅱ)因为 P, Q , F 三点共线,所以,△PQB 的面积

9? ? 12 ? m ? ? 12m ? m 2 ? 9 ? 1 m? ? S ? ? FB ? y P ? yQ ? ? 2 2 2 2 m ? 3 m ? 27 ? ?? ? ? m ? 9 ? ? 12 ? ? m? ?
设u ? m ?

9 12u ,则 S ? 2 m u ? 12
,且 u ? m ?

因为 S ' ?

?u

24 ? 6 ? u ?
2

? 12 ?

2

9 ? 6 ,所以, S ' ? 0 ,且仅当 u ? 6 时, S ' ? 0 , m

12u 在 [6, ??) 上单调递减。 u ? 12 12 ? 6 3 所以, S ? 2 ? ,等号当且仅当 u ? 6 ,即 m ? ?3 时取得。 6 ? 12 2 3 所以,△PQB 的面积的最大值为 . 2
所以, S ?
2

数列: 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , an ? b ? an?1 ,下列叙述正确的是( A. 当 b ? 0 时,数列 ?an ? 是等差数列 )

B. 当 b ? 0 时,数列 ?an ? 是等比数列

15

C. 当 b ? 0 时, Sn ? a1 解:答案为 C

D. 当 b ? 0 时, Sn ?

a1 ?1 ? bn ? 1? b

2. 数列 ?an ? 满足 an?1 ? ?? 1? an ? 2n ? 1 ,其前 n 项和为 Sn ,则
n

(1) a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? (2) S4 n ? ————.



解:(1)50;(2) S4 n ? 8n2 ? 2n 3.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? ? 数 a 的取值范围是_____. 答案

?2n ? 1, ? 2 ? ??n ? ( a ? 1)n,

n ? 4, n ? 5.

若 a 5 是 {an } 中的最大值,则实

a?

53 5

a4 ? 14 , b4 ? 6 , 4. 已知 {an } 是等差数列, 满足 a1 ? 2 , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , 且 {an ? bn }
是等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 ?n ? N ,都有 bn ? bk 成立,求正整数 k 的值.
*

解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,则 d ?

a4 ? a1 ?4 3

所以 an ? 2 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 2 , 故 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ( n ? N ).
*

设 cn ? an ? bn ,则 {cn } 为等比数列.

c1 ? a1 ? b1 ? 2 ?1 ? 1 , c4 ? a4 ? b4 ? 14 ? 6 ? 8
设 {cn } 的公比为 q ,则 q ?
3

c4 ? 8 ,故 q ? 2 . c1

则 cn ? 2n?1 ,即 an ? bn ? 2n?1 所以 bn ? 4n ? 2 ? 2n?1 ( n ? N )
*

16

故 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 4n ? 2 ? 2n?1 n ? N . (Ⅱ)由题意, bk 应为数列 {bn } 的最大项.

?

*

?.

由 bn?1 ? bn ? 4(n ? 1) ? 2 ? 2n ? 4n ? 2 ? 2n?1 ? 4n ? 2n?1 ( n ? N )
*

当 n ? 3 时, bn?1 ? bn ? 0 , bn ? bn?1 ,即 b1 ? b2 ? b3 ; 当 n ? 3 时, bn?1 ? bn ? 0 ,即 b3 ? b4 ; 当 n ? 3 时, bn?1 ? bn ? 0 , bn ? bn?1 ,即 b4 ? b5 ? b6 ? ? 综上所述, 数列 {bn } 中的最大项为 b3 和 b4 . 故存在 k ? 3 或 4 ,使 ?n ? N ,都有 bn ? bk 成立.
*

函数与导数: 1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? e x 答案 C 2.已知函数 f ( x ) ? x sin x ,则 f ( B.

y ? sin 2 x

C. y ? ? x 3

D. y ? log 1 x
2

π π 的大小关系为 ) , f ( ?1) , ( f ? ) 11 3 π π π π A. f (? ) ? f (?1) ? f ( ) B. f (?1) ? f (? ) ? f ( ) 3 11 3 11 π π π π C. f ( ) ? f (?1) ? f (? ) D. f (? ) ? f ( ) ? f (?1) 11 3 3 11

答案A 3 . 已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 0, ? ln x 若 f ( x) 的图象与直线 y ? ax ? 1 有且只有三个公 2 ? ? x ? 2 x ? 1 x ? 0.

共点,则实数 a 的取值范围是______. 答案

(0, 2)
函数 f ( x) ?

4. 已知 a ? ?2 ,

x?a ? ( x ?[0, ]) : sin x ? 2 2

17

(Ⅰ)若 a ? ? ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值. 解:(Ⅰ)若 a ? ? ,则 f ( x) ?

x ?? ? ( x ? [0, ]) , sin x ? 2 2

f '( x) ?

2 ? sin x ? ( x ? ? ) cos x (sin x ? 2)2

令 g ( x) ? 2 ? sin x ? ( x ? ? ) cos x ,

g '( x) ? ( x ? ? )sin x ? 0
所以 g ( x) 在区间 [0,

?

] 单调递减,且有 g ( ) ? 3 ? 0 2 2

?

所以 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上单调递增;

(Ⅱ) f '( x) ?

2 ? sin x ? ( x ? a) cos x (sin x ? 2)2

令 h( x) ? 2 ? sin x ? ( x ? a )cos x

h '( x) ? ( x ? a )sin x
0 , ) 1) 当a?(

? ,x ? a 是函数 g ( x) 的极小值点, 也是最小值点, 因为 g (a) ? 2 ? sin a ? 0 , 2

所以函数 f ( x ) 在区间 [0, 2)当 a ? [

?

?a ] 上单调 递增, f max ? f ( )= 2 ; 2 2 3

?

?

?

, ?? ) , h '( x ) ? 0 ,函数 h( x ) 在区间 [0, ] 上递减, h( ) ? 3 ? 0 , 2 2 2

?

?

所以函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上单调 递增,

当x?

? 时,函数 f ? x ? 取得最大值 2

?? ? ? a f? ?? ? ; ?2? 6 3

3)当 a ? [?2,0] 时 h '( x ) ? 0 , h(0) ? 2 ? a , h(0) ? 0 ,

18

所以函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上递增,

当x?

? ?? ? ? a 时,函数 f ? x ? 取得最大值 f ? ? ? ? ; 2 ?2? 6 3
?? ? ? a ?? ? ?2? 6 3

综上所述,当 a ? ?2 时,函数 f ? x ? 的最大值为 f ?

5. 已知函数 f ( x) ? ( x ? a ? 1)e x : (Ⅰ)若函数的最小值为-1,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 x1 ? x2 ,且有 x1 +x2 ? 2a ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) 解:(Ⅰ)定义域为 R, 因为 f '( x) ? ( x ? a)e x ,令 f ?? x ? ? 0 ,得 x ? a 当 x 变化时, f ?? x ? , f ? x ? 变化如下表: .

x
f ?? x ?
f ?x ?

?? ?,a ?
?
单调递减

a
0 极小值

?a, ? ??
?
单调递增

所以 x ? a 是函数 f ? x ? 极小值点,也是最小值点, 所以 f ?a ? ? ?e ? ?1 ,解得 a ? 0 ;
a

(Ⅱ)由题可知 x1 ? a ,并且有 x2 ? 2a ? x1 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? a ?1)ex1 ? (a ? x1 ?1)e2a?x1 ,
记 g ( x) ? ( x ? a ?1)e ? (a ? x ?1)e
x ? x g ' (x ) ? (x? a )x( e?2 a e ,) 2a? x

x ?a,

当 x ? a 时, e ? e
x

2a? x

,即 g ?? x ? ? 0 ,

? ? ? 上单调递增, g ?x ? ? g ?a ? ? 0 所以 g ? x ? 在区间 ?a,

19

所以有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,结论成立.

6. 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx(a ? b ? c) , 其图象在点 A(1, f (1)), B(m, f (m)) 处的切线 的斜率分别为 0, ? a . (Ⅰ)求证: 0 ≤

1 3

b ? 1; a

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 的递增区间为 [ s, t ] ,求 | s ? t | 的取值范围. 解:(Ⅰ)证明: f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c ,由题意及导数的几何意义得

f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 ,

(1) (2)

f ?(m) ? am2 ? 2bm ? c ? ?a ,

又 a ? b ? c ,可得 4a ? a ? 2b ? c ? 4c ,即 4 a ? 0 ? 4 c ,故 a ? 0, c ? 0, 由(1)得 c ? ? a ? 2b ,代入 a ? b ? c ,再由 a ? 0 ,得

1 b ? ? ? 1, 3 a

(3)

将 c ? ? a ? 2b 代入(2)得 am2 ? 2bm ? 2b ? 0 ,即方程 ax 2 ? 2bx ? 2b ? 0 有实根. 故其判别式 ? ? 4b2 ? 8ab ≥0 得 由(3),(4)得 0 ≤

b b ≤ ?2 ,或 ≥0 , a a

(4)

b ? 1; a

(Ⅱ)由 f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c 的判别式 ?? ? 4b2 ? 4ac ? 0 , 知方程 f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c ? 0 (?) 有两个不等实根,设为 x1 , x2 , 又由 f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 知, x1 ? 1 为方程( ? )的一个实根,则由根与系数的关系得

x1 ? x2 ? ?

2b 2b , x2 ? ? ? 1 ? 0 ? x1 , a a

当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x2 ? x ? x1 时, f ?( x ) ? 0 , 故函数 f ( x ) 的递增区间为 [ x2 , x1 ] ,由题设知 [ x2 , x1 ] ? [ s, t ] , 因此 | s ? t |?| x1 ? x2 |? 2 ?

2b b ,由(Ⅰ)知 0 ≤ ? 1 得 a a

| s ? t | 的取值范围为 [2, 4) .
?x 7.( 仅限理科 )已知函数 f ( x) ? e sin x (其中 e = 2.718? ).

20

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [- ?, π] 上的最大值与最小值.

2 cos( x ? ) ?x ?x 4 . (Ⅰ)解: f '( x) ? ?e sin x ? e cos x ? ex ? 令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? k? ? , k ? Z . 4 3? ? , 2k? + ), k ? Z 时, f '( x) ? 0 ; 因为当 x ? (2k? 4 4 ? 5? , 2 k? + ), k ? Z 时, f '( x) ? 0 , 当 x ? (2k? 4 4 3? ? , 2k? + ), k ? Z , 单 调 递 减 区 间 是 所 以 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (2k? 4 4 ? 5? (2k? + , 2k? + ), k ? Z . 4 4 3? ? 3? ? ) 上单调递减,在 (? , ) 上单调递增,在 ( , ? ] (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 [ ?? , ? 4 4 4 4
上单调递减.

?

2 ?? f (?? ) ? 0, f ( ) ? e 4 ? 0, 4 2

?

? 3? 2 34 f (? ) ? 0, f (? ) ? ? e ?0 4 2
? 2 ?? 2 34 e 4 ,最小值为 ? e . 2 2

所以 f ( x ) 在 [- ?, ?] 上的最大值为

8( 仅限理科 )已知函数 f ( x) ? ?6ln(ax ? 2) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 2 x 在 x ? 2 处有极值. 2

(Ⅱ)若直线 y ? kx 与函数 f '( x ) 有交点,求实数 k 的取值范围. 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ?6ln(ax ? 2) ? 所以 f '( x) ? ?6 ?

1 2 x , 2

a ?x ax ? 2

由 f ' (2) ? 0 ,可得 a ? 2 经检验 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,

1 f ( x) ? ?6ln(2 x ? 2) ? x 2 , 2 2 ? 6 x ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) f ' ( x) ? ?x? ? x ?1 x ?1 x ?1
21

而函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?1, ??) , 当 x 变化时, f ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

( ?1,2)

2
0
极小值

(2, ??)

f ' ( x)
f ( x)

?
?

?
?

由表可知, f ( x ) 的单调减区间为 ( ?1,2) , f ( x ) 的单调增区间为 (2, ??)

(Ⅱ)若 f '( x ) ? kx ,则有 x 2 ? x ? 6 ? kx 2 ? kx ,其中 x ? ?1 , 所以 (k ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? 6 ? 0 有大于 ?1 的根, 显然 k ? 1 ,设 g ( x) ? (k ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? 6 则其对称轴为 x ? ?

1 ,根据二次函数的性质知道, 2

只要 ? ? (k ? 1)2 ? 24(k ? 1) ? 0 解得 k ? 25 或 k ? 1 .

9.( 仅限理科 ) 已知函数 f ( x) ? eax ? ( ? a ? 1) ,其中 a ? ?1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若存在 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求 a 的取值范围. (Ⅰ)解: f ?( x) ? aeax

a x

( x ? 1)[(a ? 1) x ? 1] x2

① 当 a ? ?1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ?1

f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??, ?1) ;单调递增区间为 ( ?1,0) , (0, ??)
当 a ? ?1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ?

1 a ?1

② 当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??, ?1) , (

1 , ??) a ?1 1 单调递增区间为 ( ?1,0) , (0, ) a ?1

③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间

22

④ 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?1,0) , (0,

1 ) a ?1 1 单调递增区间为 ( ??, ?1) , ( , ??) a ?1
a 1 ) ? e a ?1 ( a ? 1) 2 ? 1 a ?1

(Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时,若 x ? (0, ??) , f ( x ) min ? f (

若 x ? ( ??,0) , f ( x)max ? f (?1) ? e? a ? 1 ,不合题意 ② 当 a ? 0 时,显然不合题意 ③ 当 ?1 ? a ? 0 时,取 x1 ? ?
? a ,则 f ( x1 ) ? e 2 (a ? 1) ? 0 2 a2

取 x2 ? ?1 ,则 f ( x2 ) ? e? a ? 0 ,符合题意 ④ 当 a ? ?1 时,取 x1 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? ?e?1 ? 0 取 x2 ? ?1 ,则 f ( x2 ) ? e? a ? 0 ,符合题意 综上, a 的取值范围是 [?1,0) .

排列组合(理科): 1. 某校高三数学备课组有六位理科老师和两位文科老师,在三天的雾霾停课期间,安排老 师坐班答疑, 要求每天都有一位文科老师和两位理科老师答疑,其中每位老师至少答疑一 天,至多答疑两天,则不同的安排方法有多少种?
2 2 2 解:文科安排: 2 ? 2 ,理科安排: C6 C4 C2 (每人值一天),二者相乘即可。

3

2. 将 2,0,1,4 四个数字填入图中位置,只允许一个数字重复出现,并且满足以下要求: ① 各位置数字之和为偶数; ② 相同数字不可相邻; ③ 中间 E 处的数字可被其余四个数字之和整除; 则不同的填写方法有多少种? 解:只能 1 重复,并且填在 BD 或 AC 处,2 种情况;中间放 0, 可以,2 种情况,中间放 4,可以,2 种情况,故 8 种情况 D A B

E
C

23

复数: 1. 在复平面内,复数 z ? 解: m ? 1 极坐标系:(理科) 2. 在极坐标系中,直线 tan ? ?

m?i 对应的点位于第四象限,则实数 m 的取值范围是__________ 1? i

1 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为______. 2

解:

4 5 5

3.在极坐标系中,曲线 C1 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 ,若以极点为原点,极轴所在

直线为 x 轴建立直角坐标系,则 C1 的直角坐标方程为_____;曲线 C2 在直角坐标系中的参 数方程为 ?

? x ? 2cos t, ? ? ?? (参数 t ? ? ? , ? ),则 C2 的直角坐标方程为_____;C1.被 C2 ? 2 2? ? y ? 2 ? 2sin t,

截得的弦长为___.
2 2 解: y ? x ? 2 , x ? ( y ? 2) ? 4 , 4.

C

4.如图,弦 CD 平分 ?ACB , BC 切⊙ O 于点 C ,延长弦 AD

5 交 BC 于点 B ,若⊙ O 的半径长为 , CD ? 3 ,则 AC ? __ , 2 BD ? __ .
解:

O

B A D

24 25 5 , 13

5.如图,圆 O 与等腰直角三角形 ABC 的两直角边相切,交斜边 BC 于

F , G 两点,且 BF ? FG ? 2 ,则圆 O 的半径等于____.
解: 1 , 1 : 2

A D O B F G
B D O E

E C

PA 与圆 O 相切于点 A , DE 6. 如图, 割线 PO 与圆 O 交于 C , D 两点,
垂直直径 AB 于 E ,且 2OE ? OB ? 1,则 PC 等于________. 解: 1

C A P

24



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