9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013年下期新化一中高二数学竞赛试题及答案



2013 年下期新化一中高二数学竞赛试题
编题:伍震斌
⒉ 不准使用计算器; ⒊ 考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.

审题:段新平

考生注意:⒈ 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上;

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目
要求的. 1、设 A、B 为两个互不相同的集合,命题 p: x ? A 或 x ? B , 命题 q: x ? A ? B ,则 p 是 q 的( A. 充分非必要条件 C. 充分且必要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 )C D.无数个 2 2 3
正视图

)B

2、直线 x ? ay ? 1 ? 0(a ? R ) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的交点个数是( A. 0 B. 1 C. 2 3、设有一几何体的三视图如右,则该几何体的体积为( )A

5 ? 2 1 C. 4 ? ? 2
A. 4 ?

B. 4 ?

3 ? 2

2 2 1 1
侧视图

D. 4 ? ?

【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了

? ? 5? 一部分( ) ,所以该几何体的体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ? ? 4 ? 。 2 2 2
正确答案为 A。 4、x 表示三角形一个内角的大小,并且 sin x ? cos x ? sin x ? cos x ,则
3 3

2 2
俯视图

该三角形是(

)D B、钝角三角形 D、直角三角形或钝角三角形

A、直角三角形 C、直角三角形或锐角三角形

【解析】由题设可得 ?sin x ? cos x ? sin x cos x ? 0 ,由于 sin x ? 0 ( ? 0 ) , 所以 sin x ? cos x ? 0 或 cos x ? 0 ,即 x ?

3? ? 或x? ; 4 2

从而该三角形为钝角三角形或直角三角形。选 D。 5、某程序框图如右图所示,现将输出 ? x, y ? 值依次记为: ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,…,

? xn , yn ? ,…,若程序运行中输出的一个数组是 ? x, ?10? ,则数组中的 x ? (
A.64 B.32 C.16 【解析】经计算 x ? 32 。正确答案为 B。

B ) D.8

6、 In the regular tetrahedron ABCD, E is the midpoint of AD, F is the midpoint of BC, ? is the angle contained by AF and CE 。So the value of cos ? is( A.

??? ?

??? ?

)D C.

1 2

B. ?

1 2

2 3

D. ?

2 3

(英汉词典:regular tetrahedron 正四面体) 【解析】译文:在正四面体 ABCD 中,E 是 AD 的中点,F 是 BC 的中点,设 ? 为向量 AF 和 CE 的夹角,

??? ?

??? ?

则 cos ? 的值是(



设正四面体棱长为 1,选 AB, AC , AD 为一组基底, 则 AF ?

?

??? ? ???? ????

?

A E

??? ?

? 1 ???? ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? AB ? AC , CE ? AD ? AC , 2 2 2

? ??? ? ? 1 ??? ??? ? ??? ? ? 1 ???? ? ? 1 ???? ???? ? 1 3 ??? , AF ? CE = ? AB ? AC ? ? ? AD ? AC ? = ? , AF ? CE ? 2 2 2 ?2 ? ?2 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AF ? CE 2 于是 cos ? ? cos ? AF , CE ?? ??? ? ??? ? ?? 。 3 AF ? CE
2

D B F C

2 7、若点 ? a, b ? 是圆 x ? ? y ? 1? ? 1 内的动点,则函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? b 的一个零点在 ? ?1,0? 内,另一个零

点在 ? 0,1? 内的概率为( A.

)A B.

【解析】函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的一个零点在 ? ?1,0? 内,
2

1 4

1

?

C.

1 2

D.

2

?
b O

? f ? ?1? ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ? ? 另一个零点在 ? 0,1? 内 ? ? f ? 0 ? ? 0 ? ?b ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ? ? ? f ?1? ? 0
对应的可行域为坐标平面上一个直角三角形区域(如图所示) 。 由题设,结合图形,可知 P ? A ? ?

-1 C

1

a

1 . 4

8、某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每 10 人给一个代表名额,当班级人数除以 10 的余数大于 6 时,再增加一名代表名额。那么各班代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? ? x? ( ? x ? 表示不 大于 x 的最大整数)可表示为( A. y ? ? ? ?10 ? )B

?x?

B. y ? ?

? x ? 3? ? 10 ? ?

C. y ? ?

? x ? 4? ? 10 ? ?

D. y ? ?

? x ? 5? ? 10 ? ?

【答案】法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B。 法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ?m ? ? m ? ? ?, ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?10?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ?m ? ? m ? 1 ? ? ? ? 1 ,所以选 B。 ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?10?
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分.
9、某市为增强市民的节约粮食意识,面向全市征召 务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25),第 2 组 [25,30),第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) , 第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所 示若用分层抽样的方法从第 3,4,5 组中共抽取 了 12 名志愿者参加 l0 月 16 日的“世界粮食日” 宣传活动,则从第 4 组中抽取的人数为________。4

【解析】由直方图可知,第 3,4,5 组的人数比为 0.06 : 0.04 : 0.02 ? 3 : 2 :1 。所以从第 4 组中抽取的人数为

12 ?

2 2 ? 12 ? ? 4 。 3 ? 2 ?1 6

10、若全称命题“ ? a ?[?1,1] , x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 成立”为真命题,则实数 x 的取值范围为

x ? 3 或 x ? 1。
【解析】不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x2 ? 4 x ? 4) 由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 11、设 a 、 b 、 c 都是单位向量,且 a ? b ? 0 , 则 a ? b ? b ? c 的最大值为 【解析】由题设,可建立如图所示的坐标系, 并设 a ? ?1, 0 ? , b ? ? 0,1? , c ? ? cos ? ,sin ? ? ( ? ? R ) ,

?

?

?

? ?

?

? ?

??

? ?

?

。1 ? 2
y

?

?

?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 , 4? ? ? ? ? ? ?? ? 由于 ? ? R ,所以 sin ? ? ? ? ? 1 ,故 a ? b ? b ? c 的最大值为 2 ? 1 。 4? ?
则 a ? b ? b ? c = cos ? ? 1 ? sin ? ?

?

? ?

??

? ?

?

?

??

?

? b
O

? c

? a

x

12、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F, 12 4

一条过原点 O 且倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点,若△ FAB 的面积为 8 3 ,则直线 l 的方程 为 。 x ? 2y ? 0
n
1007

19 ? ? 1 ? ?1? 13、设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 3, an an?1 ? ? ? ( n ? N? ) ,则 S2014 =____. ?1 ? ? ? 3 ? ?2? ? ?2?

? ? ? ?

AF x2 y 2 14、已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),过左焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 = a b FB
9?4 2 ,则椭圆的离心率为 7


1 2

【解析】不妨设 AF ? 9 ? 4 2 k ,则 FB ? 7k ,椭圆的离心率为 e, 如图,分别由点 A、B 作椭圆左准线 l 的垂线,交 l 于点 A 1、B 1, y l A1 P A F B x

?

?

9?4 2 k AF ? 由点 B 作 BP⊥ AA1 于点 P,则 AA1 ? , e e
BB1 ?

?

?

2?4 2 k 7k , AP ? AA1 ? BB1 ? , e e

?

?

B1

AB ? AF ? BF ? 16 ? 4 2 k ,因为 k AB ? 1 ,所以在 Rt△ ABP 中, ?BAP ? 45? ,
于是 AP ?

?

?

2?4 2 k 2 1 2 ? ? 16 ? 4 2 k ? e ? 。 AB ,即 e 2 2 2

?

?

?

?

15、定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任一实数对 ? x, y ? , 有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? xy ?1 。 若 f ? ?2? ? ?2 ,则满足 f ? a ? ? a 的所有整数 a 的值为__________. 【解析】1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1, 再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2; ………… ①, 所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0, 因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t, 由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>0。 综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
cos A ? a, b, c 分别是内角 A、 16、 (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, B、 C 的对边, 已知 C=2A,
(1)求 cos B 的值; (2)求 b 的值。 【解析】 (1)∵ C ? 2 A, cos A ?
2

? ??? ? 27 3 ??? BA ? BC ? , 。 4 2

3 ? 0, 4
2

1 ?3? ? ?1 ? ? 0 . 8 ?4? ? ? ∵ 0 ? A ? ?,0 ? C ? ? , ∴ 0 ? A ? ,0 ? C ? . 2 2 3 7 7 2 2 ∴ sin A ? 1 ? cos A ? , sin C ? 1 ? cos C ? . 8 4 ∴ cos B ? cos ? ?? ? ? A ? C ?? ? ? ? cos ? A ? C ?
∴ cos C ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 ? 2 ? ?

? ?? c o s A c oC s ? sA in
(2) ∵ BA?BC ? ∵

??? ? ??? ?

9 s C ? i?n16 . 27 . 2
∴ ac ? 24 . ∴a ?

27 , 2

∴ ac cos B ?

a c c c ? ? ? , sin A sin C sin 2 A 2sin A cos A 2 ? ? a ? 4, ?a ? c, 由? 解得 ? 3 ?c ? 6. ? ?ac ? 24.
2 2

c 2 ? c. 2 cos A 3

2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 6 ? 2 ? 24 ?

9 ? 25 . 16

∴ b ? 5.

17、 (本小题满分 12 分)已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB =2, AA 1 ? 3 ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线 段 AA1 上。 (Ⅰ)当 A E: E1A 时,求证 D E ? B 1 ; ?1: 2 C (Ⅱ)是否存在点 E,使二面角 D-BE-A 等于 60 ?若存在求 AE 的长;若不存在,请说明理由。 【解析】 (Ⅰ)方法一:几何法证明:连结 DC1 ,因为 ABC- A1B1C1 为正三棱柱,所以△ ABC 为正三角形, 又因为 D 为 AC 中点,所以 BD⊥AC, 又因为平面 ABC⊥平面 ACC1 A1 ,所以 BD⊥平面 ACC1 A1 ,于是 BD⊥DE。 ……2 分
?

3 ,AD=1, 3 所以在 Rt△ ADE 中,∠ADE=30° ,在 Rt△ DCC1 中, ?C1DC ? 60? ,
而 AE : EA 1 ? 1: 2 ,AB=2, AA 1 ? 3 ,所以 AE ? 所以 ?EDC1 ? 90? ,即 ED⊥DC1; ……4 分 所以 ED⊥平面 BDC1 ,又 BC1 ? 平面 BDC1 ,所以 ED⊥ BC1 。……5 分 (Ⅱ)假设存在点 E 满足条件,并设 AE=h, 取 AC 1 ,连结 DD 1 1 的中点 D 1 ,则 DD 1 ⊥平面 ABC,所以 DD 1 ⊥AD, DD 1 ⊥BD, 分别以 DA、DB、 DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A ?1,0,0 ? , B 0, 3, 0 , E ?1,0, h? ,

??? ? ??? ? ???? ??? ? 所以 DB ? 0, 3, 0 , DE ? ?1,0, h ? , AB ? ?1, 3, 0 , AE ? ? 0,0, h ? , ? 设平面 DBE 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ??? ? ? ? ? ? 3 y1 ? 0 ?n1 ? DB ? 0 则由 ? ? ???? 可得 ? ,令 z1 ? 1,则得平面 DBE 的一个法向量为 n1 ? ? ?h,0,1? ; ? ? ? x1 ? hz1 ? 0 ?n1 ? DE ? 0 ? 同理,可求得平面 ABE 的一个法向量为 n 2 ? 3,1, 0 ;

?

?

?

?

?

?

?

?

所以由题设即有 而

? ? 2 1 3h ,解得 h ? 。 ? cos 60? ? cos ? n1 , n2 ? ? 2 2 2 h ?1 ? 2

2 ? 3 ,所以存在满足条件的点 E。 2 2 综上,存在点 E,当 AE ? 时,二面角 D-BE-A 的大小为 60°。 2
18、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? 1 ? 恒成立,求整数 m 的最大值。 【解析】 (Ⅰ)由 an ? 2an an?1 ? 3an?1 可知,当 an ? 0 时, an ?1 ? 于是由 a1 ?

……12 分

1 , an ? 2an an?1 ? 3an?1 ( n ? N? ) 。 2

n 1 1 m ( n ? N? ) ,且对任意不小于 2 的正整数 n ,不等式 ? ? an 24 k ?1 n ? log 3 bk

an ? 0; 3 ? 2an

1 知数列 ?an ? 为正项数列; 2

又 an ? 2an an?1 ? 3an?1 ?

? 1 3 1 1? ? ? 2 ? 1? ? 3 ?1 ? ? , an?1 an an ?1 ? an ?

记 bn ? 1 ?

1 ,则 b1 ? 3 , bn?1 ? 3bn ,所以数列 ?bn ? 为等比数列,且公比为 3, an 1 1 ? n 。 bn ? 1 3 ? 1

于是 bn ? 3n , an ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果,可知 log3 bk ? k ,所以

? n ? log
k ?1

n

1

3

bk

?

1 1 1 ; ? ??? n ?1 n ? 2 2n

若设 f ? n ? =

1 1 1 ? ?? ? ( n ? N? 且 n ? 2 ) n ?1 n ? 2 2n

则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0, 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 ? 2n ? 1?? 2n ? 2 ?

这说明 f ? n ? 单调递增,所以 f ? n ? ? f ? n ? 1? ? ? ? f 这样,由不等式

? 3? ? f ? 2 ??

7 。 12

? n ? log
k ?1

n

1

3

bk

?

m 7 m ? ,即 m ? 14 ; 对任意不小于 2 的正整数 n 恒成立,可得 24 12 24

又 m ? Z , m 所以能取到的最大值为 13。 19、 (本小题满分 13 分)某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 台 GH 型高科技产品的总任务,已知每台 GH 型高科技产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 G 型装置或 3 个 H 型装 置。现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工 G 型装置的工人有 x 人,他们加工完所 需时间为 g ? x ? ,其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h ? x ? (单位:小时,可不为整数) 。 (1)写出 g ? x ? 、 h ? x ? 的解析式; (2)比较 g ? x ? 、 h ? x ? 的大小,并写出这 216 名工人完成总任务的时间 f ? x ? 的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少? 【解析】 (1)由题意知,需加工 G 型装置 4000 个,加工 H 型装置 3000 个, 所需工人数分别为 x 人, ( 216 ? x )人, 所以, g ? x ? ?

4000 2000 1000 3000 = , h ? x? = = ( 0 ? x ? 216 ,且 x ? N ? ) 6x 3x 3 ? 216 ? x ? 216 ? x

(2) g ? x ? ? h ? x ? ?

1000 ? 432 ? 5x ? 。 3x ? 216 ? x ? 1000 ? 432 ? 5x ? ? 0 , g ? x? ? h ? x? ; 3x ? 216 ? x ?

∵ 0 ? x ? 216 ,∴ 216 ? x ? 0 , 1° 当 0 ? x ? 86 时, 432 ? 5 x ? 0 , g ? x ? ? h ? x ? ?

2° 当 87 ? x ? 216 时, 432 ? 5 x ? 0 ,相应的 g ? x ? ? h ? x ? 。

? 2000 , ? 0 ? x ? 86 ? ? ? 3x f x ? 所以 ? ? ? ; ? 1000 , ? 87 ? x ? 216 ? ? 216 ? x ?
(3)完成总任务时间最少,即求 f ? x ? 的最小值。 1° 当 0 ? x ? 86 时, f ? x ? 单调递减,所以 f ? x ? ? f ? 86 ? ? 所以 f ? x ? min ?

1000 , 129

1000 ,此时 216 ? x ? 130 ; 129 1000 1000 ? , 216 ? 87 129

2° 当 87 ? x ? 216 时, f ? x ? 单调递增,所以 f ? x ? ? f ? 87 ? ?

所以 f ? x ? min ?

1000 ,此时 216 ? x ? 129 ; 129

综上所述,分配加工 G 型装置和加工 H 型装置的人数分别为 86 人,130 人或 87 人,129 人,可以使完成总任务 的时间最少。 20、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ?1? x ? lg a ? 2 ( a ? R 且 a ? ?2 ) 。 (Ⅰ)若 f ? x ? 能表示成一个奇函数和一个偶函数之和,求 g ? x ? 和 h ? x ? 的解析式; (Ⅱ)命题 P:函数 f ? x ? 在区间 ?? a ? 1? , ?? 上是增函数; 命题 Q:函数 g ? x ? 是减函数。
2

?

?

如果命题 P、Q 中有且仅有一个真命题,求 a 的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,比较 f ? 2 ? 与 3 ? lg 2 的大小。 【解析】 (Ⅰ)因为 f ? x ? = g ? x ? ? h ? x ? , g ? ? x ? ? ? g ? x ? , h ? ? x ? ? h ? x ? , 所以 f ? ? x ? = g ? ? x ? ? h ? ? x ? = ? g ? x ? ? h ? x ? 。 于是,有 ?
2 ? ? g ? x ? ? h ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? lg a ? 2 , 2 ? g x ? h x ? x ? a ? 1 x ? lg a ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

解之得 g ? x ? ? ? a ? 1? x , h ? x ? ? x2 ? lg a ? 2 。

a ? 1 ? ? a ? 1? 2 ? (Ⅱ)因为函数 f ? x ? = ? x ? ? lg a ? 2 在区间 ?? a ? 1? , ?? 上是增函数, ? ? ? 2 ? 4 ?
2 2

?

所以 ? a ? 1? ? ?
2

a ?1 3 ,解得 a ? ?1 或 a ? ? 且 a ? 2 。 2 2

又由 g ? x ? ? ? a ? 1? x 是减函数,得 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 且 a ? 2 。

3 且 a ? 2 ,命题 Q 为真的条件是 a ? ?1 且 a ? 2 。 2 3 又因为命题 P、Q 有且仅有一个真命题,所以 a ? ? 。 2 3 (Ⅲ)由(Ⅱ)得 f ? 2 ? = 2a ? lg a ? 2 ? 6 ,由于 a ? ? ,所以 f ? 2 ? = 2a ? lg ? a ? 2? ? 6 , 2
所以命题 P 为真的条件是 a ? ?1 或 a ? ? 设函数 ? ? a ? ? 2a ? lg ? a ? 2? ? 6 ,则 ?' ? a? ? 2 ?

1 ? 0, ? a ? 2 ? ln10
? 3 ? , ?? ? 上单调递增。 ? 2 ?

所以函数 ? ? a ? 在 ? ?2, ?? ? 上单调递增,从而, ? ? a ? 在 ? ?

故当 a ? ?

3 ? 3? 时, ? ? a ? ? 2a ? lg ? a ? 2? ? 6 ? ? ? ? ? ? 3 ? lg 2 。 2 ? 2?

2 21、 (本小题满分 13 分)已知点 E ? m, n ? 为抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )内一定点,过 E 作斜率分别为 k1 、k2 的

两条直线交抛物线于 A、B、C、D,且 M、N 分别是线段 AB、CD 的中点。 (1)当 n=0 且 k1k2 ? ?1时,求△ EMN 的面积的最小值;

(2)若 k1 ? k2 ? ? ( ? ? 0 为常数) ,证明:直线 MN 过定点. 【解析】设 AB 所在直线的方程为 x ? t1 ? y ? n ? ? m ,其中 t1 ? 代入 y 2 ? 2 px 中,得 y2 ? 2 pt1 y ? 2 pt1n ? 2 pm ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ? 2 pt1 ,从而 x1 ? x2 ? t1 ( y1 ? y2 ? 2n) ? 2m ? t1 (2 pt1 ? 2n) ? 2m .
2 则 AB 中点为 M ( pt1 ? nt1 ? m, pt1 ) .

1 , k1

再设 CD 所在直线的方程为 x ? t2 ? y ? n ? ? m ,其中 t2 ?
2 则同理可得 CD 中点为 N ( pt2 ? nt2 ? m, pt2 ) .

1 , k2
------------------------------------------3 分

2 2 (1)当 n ? 0 时, E (m,0) , M ( pt1 ? m, pt1 ) , N ( pt2 ? m, pt2 ) ,

| EM |?| pt1 | 1 ? t1 , | EN |?| pt2 | 1 ? t 2 2 .
又 k1

2

? k 2 ? ?1 ,故 t1 ? t 2 ? ?1 ,于是△ EMN 的面积
(1 ? t12 )(1 ? t2 2 ) ? p2 p2 ? 4 ? p2 , ? 2 ? t12 ? t2 2 ? 2 2

S?

1 1 EM ? EN ? p 2t1t2 2 2

当且仅当 t1 ? t2 ? 1时等号成立. 所以,△ EMN 的面积的最小值为 p . (2) k MN ?
p(t1 ? t 2 ) p(t1 ? t 2 ) ? n(t1 ? t 2 )
2 2

2

-----------------------------------------6 分
1

?

n (t1 ? t 2 ) ? p 1



MN 所在直线的方程为 y ? pt1 ?

n (t1 ? t 2 ) ? p

? [ x ? ( pt1 ? nt1 ? m] ,

2

即 y ? t1 ? t2 ?

? ?

n? ? ? pt1t2 ? x ? m 。 p?

------------------------------------------10 分

又 k1 ? k2 ?

t ?t t ?t n 1 1 ? ? ? ,即 t1t2 ? 1 2 ,代入上式,得 y (t1 ? t2 ? ) ? p ? 1 2 ? x ? m , ? p ? t1 t2

即 ? t1 ? t2 ? ? y ?

? ?

p? ny ? ? x? ?m 。 ?? p
? 0 时,有 x ?

很显然当 y ?

p

?

ny ? m ? 0, p

p ? y? ? n p? ? ? ? 即? 为方程的一组解,所以直线 MN 恒过定点 ? m ? , ? . ----------------------------------13 分 ? ?? ? ?x ? m ? n ? ? ?

(备选)1、已知大于 1 的实数 x, y 满足 lg ? 2x ? y ? ? lg x ? lg y ,则 lg x ? lg y 的最小值为

。 3lg 2

2、如图,矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 ,现以矩形 ABCD 的 AB 边为 x 轴,AB 的中点为原点建立直 角坐标系,P 是 x 轴上方一点,使得 PC、PD 与线段 AB 分别交于点 C1 、 D1 ,
y

且 AD1 , DC 1 1 , C1 B 成等比数列。 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)求动点 P 到直线 l: x ? y ? 6 ? 0 距离 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.
C1 B

y
P

D1 O A

xx

【解析】 (Ⅰ)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ? y ? 0? ,过 P 作 PE // CD 交 DA 的延长线于 E ,交 CB 的延长线于 F .

6 在 ?DPE 中, ,得 , ? ? 5? x 6? y PE DE 6 ?5 ? x ? 得 D1 A ? ; 6? y
在 ?PCD 中,

D1 A

DA

D1 A

C

D

y

C1 D1 CD

?

PD1 PD

?

EA ED

?

y , 6? y

F
18

P E

10 y 得 C1 D1 ? 。 6? y
同理可得 C1 B ?

C1 B

D1 O A x

16

6 ?5 ? x ? 。 6? y

14

12

C

10

D
y

∵ AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列, ∴ D1C1 ? AD1 ?C1 B .
2

8

6

6 ?5 ? x ? 6 ?5 ? x ? ? 10 y ? ? ∴ ? . ? ? 6? y 6? y ?6? y ?
2

4

2

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? 。 化简得 25 9

-30

-25

-20

-15

-10

-5 -2

O l
-4

5

x

10

15

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? 。 ∴ 动点 P 的轨迹方程为 25 9

-6

-8

(Ⅱ)由图易知当与直线 l 平行的直线与半椭圆相切于点 P 时,点 P 到直线 l 距离最大.
-10

设与直线 l : x ? y ? 6 ? 0 平行的直线方程为 x ? y ? k ? 0 ,代入 得 34 x ? 50kx ? 25k ? 225 ? 0 ,①
2 2
2 2 由 ? ? 2500k ? 3400 k ? 9 ? 0 ,

x y2 ? -12 ? 1 , 25 9
-14 -16

2

?

?

2 解得 k ? 34 ,由 k ? 0 ,得 k ? ? 34 .

故点 P 到直线 l 距离的最大值为

k ?6 2

?

? 34 ? 6 2

? 3 2 ? 17 .

把 k ? ? 34 代入①式,可解得点 P 的坐标为 ?

? 25 34 9 34 ? ? 34 , 34 ? ?。 ? ?
5 ,且对于任意实数 x, y , 2

3、已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ?1? ? 总有 f ( x) f ( y? )

f (? x

y ? )

f( ?x 成立。 y )

(1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x ) 为偶函数; (2)若数列 ?an ? 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3,?) ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 .设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关 系,并证明你的结论. 解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ?1? ,又? f (1) ?

5 ,? f ? 0? ? 2 . 2

令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,

y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数。 ( y对任意的实数 ) ? f ( y )? f ? 25 17 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? 。 (2)令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2? ? f ? 0? ,? 4 4 17 5 ) f (? 1) ? ? . 6 ? a1 ? 2 f ( 2 ? 2 2
令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) ,

? f (n ? 2) ?

5 f (n ? 1) ? f (n) . 2

?5 ? ? an?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ?? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? ?2 ?

? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an

(n …1).

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列, an ? 6 ? 2n?1 .
(3)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 , ∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky ( k ? N? ) ,故 ?k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成立.
+

则 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 2) y] ? ? ? f ( y) ? f (0) ? 0 . ∴对于 k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
+

∴对于 m, n ? N+ ,若 n ? m ,则有 f (ny ) ? f ? ?? n ? 1? y ? ? ? ? ? f (my ) 成立. ∵ x1 , x2 ? Q ,所以可设 | x1 |?

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整数, p1 p2

则 | x1 |?

q1 p2 pq 1 , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N+ . ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? p1 p2 p1 p2 p1 p2

∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) . ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 4、某企业接到生产 3000 台某产品的 A、B、C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1 (单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排 200 名工 人分成三组分别生产这三种部件, 生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比, 比例系数为 k (k 为正整数) . (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A、B、C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短 时具体的人数分组方案。 【解析】 (Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x), 由题设有

2? 3 0 0 0 1 0 0 0 2000 1500 ? ,T ? ,T (x ? ) , 2 (x ) 3 6x x kx 200 ? ? ( 1 k )x 期中 x, kx, 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数. T1 ( x)?
(Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x) ? max ?T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x)?, 其定义域为 ? x 0 ? x ?

? ?

200 ? , x ? N ? ?. 1? k ?

2 易知, T1 ( x), T2 ( x) 为减函数, T3 ( x) 为增函数.注意到 T2 ( x) ? T1 ( x), 于是 k (1)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 此时

?1000 1500 ? f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ?, ? x 200 ? 3x ? 1000 1500 ? 由函数 T1 ( x), T3 ( x) 的单调性知,当 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x 200 ? 3 x 400 x? .由于 9 400 250 300 44 ? ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) . 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? . 11 375 , ? ( x) ? max ?T1 ( x), T ( x)? 易 (2)当 k ? 2 时,T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数,故 k ? 3 ,此时 T ( x) ? 50 ? x 知 T ( x) 为增函数,则

f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)?
? max ?T1 ( x), T ( x)?

?1000 375 ? ? ? ( x) ? max ? , ?. ? x 50 ? x ? 400 1000 375 ? 由函数 T1 ( x), T ( x) 的单调性知,当 时 ? ( x) 取得最小值,解得 x ? . 11 x 50 ? x 400 250 250 375 250 ? 37, 而? (36) ? T1 (36) ? ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 由于 36 ? 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 . 11 (3)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数,故 k ? 1 ,
此时 f ( x) ? max ?T2 ( x), T3 ( x)? ? max ? 由函数 T2 ( x), T3 ( x) 的单调性知,

? 2000 750 ? , ?. ? x 100 ? x ?

800 2000 750 ? 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ? .类似(1)的讨论.此时 11 x 100 ? x 250 250 完成订单任务的最短时间为 ,大于 . 9 11 综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为 44,88,68.
当 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实 际应用问题的能力。第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想. 5、对于两个正整数 m, n ,定义某种运算“ ? ”如下,当 m, n 都为正偶数或正奇数时,m ? n = m ? n ;当 m, n 中 一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ? n ? mn ,则在此定义下, 集合 M= 中元素的个数是 。13

?? p, q ? p ? q ? 10 , p, q ? N? ?

6、已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y ?

8 (m>0), l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于点 A,B, l2 与 2m ? 1

函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D。记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时,

b 的最小值为 a



8 (m>0), y ? log 2 x 图像如下图, 2m ? 1 8 8 ? 8 ?m m 2 m?1 2 m?1 由 log 2 x =m,得 x1 ? 2 , x2 ? 2 , log 2 x = ,得 x3 ? 2 . , x4 ? 2 2m ? 1
【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y= 依题意得 a ? 2
?m

?2

?

8 2 m ?1

,b ? 2 ? 2
m

8 2 m ?1

b , ? a

2m ? 2 2 m ?1 2
?m

8

?2

?

8 2 m ?1

? 2m 2 2 m ?1 ? 2

8

m?

8 2 m ?1

.

?m ?

8 1 4 1 1 1 ?b? ? m? ? ? ? 4? ? 3 ,? ? ? 8 2 . 2m ? 1 2 m? 1 2 2 2 ? a ?min 2
y

y ? log2 x

C
A B
1

D

y?

8 2m ? 1

y?m
x

O



更多相关文章:
高二数学下册文竞赛试题
湖南新化一中 2009 年下学期高二(文)数学竞赛试题一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合...
新化一中2013年下期高一十一月份月考答案
新化一中2013年下期高一十一月份月考答案_高二语文_语文_高中教育_教育专区。配套...为①:动词,认为;为②,介词,替) 8.D(题干句为判断句) 9.B(A“把项王看...
湖南新化一中高二数学竞赛试题
湖南新化一中高二数学理竞赛试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。湖南新化一中高二数学理竞赛试题年下学期高二( 湖南新化一中 2009 年下学期高二(理)数学竞赛试题...
新化一中2014年下学期高二第三次月考文数试题答案
新化一中2014年下学期高二第三次月考文数试题答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 新化一中2014年下学期高二第三次月考文数试题答案_...
新化一中2013年下期高一十一月份月考
新化一中2013年下期高一十一月份月考_语文_高中教育_教育专区。原创新化一中 2013 年下期高一十一月份月考 语文试卷 总分:120 分 时量:120 分钟 一、语言文字与运...
2014年下学期新化一中高二物理期中考试试卷答案
2014年下学期新化一中高二物理期中考试试卷答案_理化生_高中教育_教育专区。2014 年下学期高二期中考试 物理试卷(理科)答案一、单项选择题: 1-5:CBDDC 6-10:ACC...
2013年上期新化一中、双峰一中联考高一年级期末检测卷
2013年上期新化一中、双峰一中联考高一年级期末检测卷_高三数学_数学_高中教育_...新化一中、 双峰一中联考高一年级期末 检测卷(数一、 学)答案 选择题:本大题...
2014年下学期新化一中高二物理期中考试试卷
2014年下学期新化一中高二物理期中考试试卷_理化生_高中...答案的不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确...学而思初中数学课程规划 2014年学而思杯英语详解 学而思...
新化一中2014年下学期高二第三次月考英语试题答案
新化一中2014年下学期高二第三次月考英语试题答案_英语_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 新化一中2014年下学期高二第三次月考英语试题答案_...
新化二中2011学科能力竞赛高二数学试题
2011年下期新化二中数学竞... 8页 免费 新化二中2011年高二月考试... 暂无评价...新化二中 2011 年学科能力竞赛 高二数学试题一、选择题(每小题 5 分,共 40 ...
更多相关标签:
高二下期数学期末试题    高二下期家长会    绵阳高二下期数学    成都七中高二下期半期    高二物理下期期末试题    高二下期家长会ppt    2017郑州高二下期期末    高二下期化学教学计划    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图