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3种含参数的一元二次不等式的解法-论文



l , 函数 3 / = = = n  (  —1 ) 的 图象如 图 2所 示 , 由 图象 得解  集为{  I   O <. / 7 <1 ) .   综上, 当a 一0时 , z ∈   ; 当a > 0时 , { . 2 7   1  < 0或 

>1 } ; 当a <0时 , { z{ 0 < < l j .  

彝  

r />◇ 北 京  郭 玉 晶   刘 占峰  童 嘉 森  ( 特级教 师)  

萎   蓑 羹   鼍   兰  

二 次 函数 、 一 元 二 次 方 程 或 一元 二 次 不 等 式 中 “ ≠0   这 个 重要 的条 件 , 若 n = = = 0 , 就 是 一 次 式或 常 数. 因此 ,  

不等 式是 高考 的 一个 重 要 考 点 , 其 中解 一 元二 次 
不等 式是 重点 考查 的 内容 。 新 课标 中明确 提 出要 让 学 

在教 学 中应 注 重基 本 概 念 的 强化 及 严 谨 性. 同 时, 在 
a ≠0 的情况 下又分 为 n >O和 n < O两种 情 况 . 对一元   二 次不 等式 的解集 也会 产生 影响.   类型 2 解关 于 X的不等 式  一n >0  

生 掌握求 解一 元二 次不 等式 的基本 方 法 , 通 过 对不 等  式 的研 究 , 将 不等式 、 方 程与 函数 有机 地 联 系起 来 , 体  现 了数 与形 的 完 美结 合 . 在 近 几 年 的 高 考试 题 中 , 导 
数 一直是 作 为必考 的重 点 内容 出现 的 , 而 在利 用 导数 

分析

类 型 2与类 型 1对 比, 发现 二 次 项 的 系数 

研 究 函数 的单 调 区 间 、 极值 、 最 值 以及 求 有 关 参 数 取 
值 范 围的 问题 中 , 往往 最终 落 脚点 都 是 关 于一 元 二 次 

是确 定 的 , 但 是 方 程 是 否 有根 不 定 , 而 方 程 的根 由判 
别式 △决 定 , 所 以要 通 过 讨论 △ 的值得 出根 的情 况 ,  

不等式 的基 本解法 , 借 助于 解 一元 二 次 不 等式 的通 法  ( 求一元 二 次方程 的根 、 画 一元 二 次 方程 的 图象 、 解一   元 二 次不等 式 ) 来 解 一些含 有参 数 的不等 式.  
学 生在 解此 类 问题 时 经 常 遇 到 的 困 惑 是 不知 道  因何而 讨 论 , 讨 沦的 时机在 哪 , 对 什 么进 行 讨 论 , 文 科  学生显 得尤 为突 出. 因此 , 要想 解 决 这 几个 困惑 , 学 生  就必须 要弄 清 楚 解 含 参 数 的一 元 二 次 不 等式 有 哪 些 

然后 画 出图象 , 由图象写 出解 集.   解 方程  一n 一0中 , △= = = 4 a .  
( 1 )当 4 n >O , 即n >0时 , 方 程 。 一a 一0的两根 

为 一  ,   , 函数 Y —  一a的 图象 如 图 3所示 , 由图  象 得 出解 集 为 {  !   < 一, / 7或 >√ c z ) ;  
( 2 )当 4 a 一0 , 即a 一0时 , 方 程  一a 一0有 2个 

相 等 的实根 为 O ,  数 Y = = z  的图象如 图 4所示 , 由图 
象 得 出解 集 为 {   ≠0 } ;   ( 3 )当 4 n <0 , 即a < 0时 , 方程 . r   一n = 0无 实 

类型 , ~ - 般常 I 』 1 L 的类 型有 3种 : 二 次项 系 数含 有 参数 ,   函数 的名 称不确 定 ; 判 别 式 △ 中含 有 参 数 , 方程是:   有根 不确 定 ; 方 程 的 根 中 含有 参 数 , 根 的 大 小 关 系 不 
确定 . 这 3种 类 型 彼此 并 不是 孤 立 存 在 的 。 在一 一 个 问  题 中可能 会 出现 多 种 情 况 , 为此 。 分 类 讨 论 的 思 想 在  这里 显得 尤 为 重要 , 分 析讨 论 的原 因 , 抓 准 讨 论 的 时  机, 弄清讨 论 的对象 , 分类 时务 必要 做 到不重 不漏 .   类 型 1 解 关于 X的不等 式 n  (  一1 ) >0   分析  方程 n  (  一 1 ) 一0有 2个 不 等 实 根 0 , 1  

根, 函数 Y —  一a的 图象如 图 5所示 , 由 图象得 出解 
集为 R .  

式  .  
图3   图4   图 5  

是确 定 的 , 但 二次项 系数 a不 定 , 通 过讨 论 “是 否为 0  


综上, 当a 一0时 , {  

≠0 } ; 当a > 0时 , {  I  < 

确 定 函数 类 型 , 当a ≠0时 , 根据 a的 正负 画 出函数 图  象, 由函数 图象写 出解集 .   解  ( 1 )当 a 一0时 , 显然 ’ ∈   ;   ( 2 )当 “ >0时 , 方程 a x( z一1 ) 一0的两 根 为 0 ,  

√ a 或  >, / a} ; 当a %0时 ,  ER .  

彝  

喜 篓   妻  

兰  

二次 方程 根 的前提 是根 的存 在 性 问题 , 只有 有 实 根 的   情况 下才 可解. 因此 , 必 须先 通过 对 判别 式 △ 的讨论 ,  
才 可进 一步 求根.  

1 , 函数  —n j(  一1 ) 的 图象如 图 1 所示 , 由 图象得 出   解 集为 {  l  < 0或 > 1 } ;  

类型 3 解 关于  的不等 式 (  一1 ) (  一口 ) >0  


图 l   图 2  

 

分析  与类 型 1和类 型 2 对 比, 类 型 3的 二次 项  系数 确定 , 方程 ( z~1 ) ( z —a ) 一0的根 也 确 定 了 , 但 
是根 的大小 不 确 定 , 所 以要 通 过 讨 论 两 根 的 大 小 , 画 

( 3 )当 a %0时 , 方程 a x ( z —1 ) 一0的两 根 为 0 ,  

出图象 , 由图象写 出解集 .  
解 方程 ( z —1 ) (  —n ) 一0的根为 1 , a .  

雄 

人 生 得 一 知 己足 矣 . 斯世 当 以 同 怀视 之 .  


鲁 迅 

( 1 )当 n > 1时 , 方程(  一1 ) ( z —n ) 一0的两 根为 
1 , a , 函数 Y 一( 1 z 一1 ) ( z —a ) 的 图象如 图 6所 示 , 由 图  象 得解 集 为 {  I x <l 或 z >a } ;   ( 2 )当 n 一1时 , 方程(  一】 ) (  一口 ) 一0有 2个相 

象如 图 1 0所示 , 由图象 得解 集为 {  I   <z <l } .  

③ 当 {   暑   即 n 一   时 , 方 程 z 2 — 2 z +   一 。 的  
2 个 相 等实根 为 1 , 函数 一 。 一2 x +1的图象 如 图 1 1   所示 , 由图象 写 出解 集 为  .  

等 的实 根 为 l , 函数  一 (  一1 )  的 图象 如 图 7所 示 ,  
由图象得 解集 为 { z   J z ≠1 } ;   ( 3 )当 口 < l时 , 方程(  一1 ) ( z—n ) 一0的两 根为  l , a , 函数 一 (  一1 ) ( z- -a ) 的 图象 如 图 8所 示 , 由图   象得解 集 为 {  {  > 1 或 x <a } .  

图 1 1  

f a <O ,  
④ 当
图6   图 7   图 8  

I △ > 0 , 即 n < 0 时 , 方  
l  < 1 ,  
I  a  

图 1 2  

综上. 当a —l时 , { z   I   z ≠i } ; 当n > I时 , {  I   x <l  
或 z >& } ; 当口 < 1时 , { zi x <a或 I z >1 ) .  

程a x 。 一( 口 +1 ) z+ 1 — 0的 两 根 为 l , 三, 函数  —  

毒  篓   喜 言 羹   薯  
满足条 件 的一切 实数.  

鬟  

n   一( n +1 ) z+ 1的 图象 如 图 1 2所 示 , 由 图象 得 解 
集为{ z{   r >1 或 z <  } .  

过程, 但 此 时 需 注 意 的是 根 中经 常 会 出现 参 数 , 学生   必须具 有 变量 意 识 , 参 数 的取 值 是 不 确 定 的, 可代 表 
综合 运用  解 关 于 X的不等 式 a x   一( n +1 ) X +I <0  

综上 , 当n 一0时 , {  I  > l } ; 当O <口 < 1时 , {  I   】 < <  } ;当 口 > 1时 , { z     < < 1 I } ;当 a 一1时 ,  
r ∈   ; 当a <O时 , {  ! x >l 或  r <  ) .  

分析

本 题将 以上 3个 类 型综 合 到 了一起 , 即二 



次项 系数 不定 , 根 的个数 不 定 , 根 的大 小 也不 定 , 所 以  要将 以上 情况 综合 到一起 分 别进行 讨论 .  
解  ( 1 )当 a 一0时 , a x   _ 。 ( 口 +I ) z +l 一 一 + 

彝篓 兰   兰 萎  霎  


言  

特 征是什 么 , 按 照每 种 类 型特 征 逐 一进 行 分 类 讨 论 ,  
般 的分 析 顺序是 先 看二 次项 系数 是 否 带参 数 , 其 次 

1 , 解一 元 一次不 等式 一z 十I <0 , 得 解集 为 { zI 、 z >1 } ;  
( 2 )当 a ≠ 0时 , 方程 a x   一( a +1 ) z+ I =0的 

判 断根 的存 在 性 或 可 直 接 通 过 十 字 相 乘进 行 因 式分 
解 求根 , 最后 比较 根 的大小 关 系是否确 定.   综 上, 我们 在解 这类 含 有参 数 的一元 二 次不 等 式  的时候 , 分 别 从 类 型 1的 二次 项 的 系 数 , 类 型 2的方  程 的判别 式 △, 类 型 3的两 根 的大小 来 人 手来 逐 一 进 
行 分析 , 找 准讨 论 的 时 机 , 也 就 是 在 哪 里 出现 了不 确 

A一( n —i )   ≥0 , 说 明方 程一 定有 根 , 且 此 时 方程 2根 
为 1 ,   , 以下分情 况讨 论 :  
f a > O,  

①当{ △ > 0 ,  即0 <a <1 时 , 方程a x 2 一  

l I   1 a   > I .  
( n+1 )  +1 = = = 0的两 根 为 1 ,   , 函数  —a o c 。 一( n+  

定 因素 , 就 从 哪 里 开 始讨 论 , 当这些 量 都 不 定 时 就 要  进行综 合讨 论 . 在讨 论 的过程 中对 “ 三 个 二 次” 间 的关 
系有 了更 深刻 的认 识 , 从 而 达 到课 标 的要 求 . 通 过 画 

1 ) z +1的 图象如 图 9 所示 , 由图象得解 集 为 
{ zl   1 <  <  } .  

二次 函数 的 图象 来解 不 等式 , 体 现 了数形 结 合 思想 解  题 的直 观性 和 简洁性 , 分类 讨 论 的不重 不 漏 体现 了分  类 讨论 思 想解题 的严密性 和 完整性 .  
1 .北 京 市 三 里 屯 一 中  

即a >l时 , 方程 a x   ~( & +1 ) z+  

( 作 者 单位 : 2 .北京 市垂 杨柳 中学)  

3 .北 京市 第八十 中学 

1 一 。 的 两 根 为 1 , 丢 , 函 数   — a x 2 - ( n + 1 ) z + 1 的 图  
人 生 不得 行 胸 怀 , 虽寿 百 岁 犹 为无 也 .  
— — 一

南 史 



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