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G3讲义【综合讲义】【T】



不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.









上海市重点高中辅导讲义汇编 学 科 : 数



专 题 :联考调研卷

版 本 : 教师用书

姓 名 :

/>年 级 : 高



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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
七宝中学 2016 届高三赴华师大二中交流 数学试卷
一、填空题
2 1、设集合 A ? x x ? a , B ? x x ? 2 ,若 A ? B ? A ,则实数 a 取值的范围为 ? ??,4? ;

?

?

?

?

2、已知 O 为原点,A,B 点的坐标分别为 (2, 0) ,(0, 2) ,点 P 在线段 AB 上运动.且 AQ = 的值为 2 5 项

????

??? ? ??? ? 1 AB ,则 OQ ?OP 2

3. (1 ? 2 x) 7 的展开式中,系数最大的项是第

4、函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ?的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 __ ?1,3? ________。 5、若数列 {an } 满足 | ak ?1 ? ak |? 1 ( k ? 1 ,2,…, n ? 1 ) ,若 a1 ? 12 , a2001 ? 2012 ,则

a1001 = 1012
1 ? ai 2 ) ? 0 ,则实数 = 1 ? ai

6、如果 (



7、已知向量 a ? (1,

?

? ?? ? 3) , b ? (?3, k ) ,则 a 与 b 所成角 θ 的取值范围为 ? , ? ? ?6 ?

? a x ?5 (a ? 6) ? 8、已知函数 f ( x) ? ?? ,数列 ?an ? 满足 an ? f (n) (n ? N ? ) ,且数列 ?an ? 是单调递增数列, a? 4 ? x ? 4 ( x ? 6) ? ?? 2? ??
则实数 a 的取值范围是

? 4, 8?


9.写出一个同时满足下列条件的函数 f ?x ? : ① f ? x ? ? 0 ( x ? R)

f ( x )? 1 0 ?

x 3 cos 2
③ f ?x ? 是R上的偶函数 ④ f ?x ? 是在

② f ?x ? 为周期函数且最小正周期为 T ? 4?

?? 4? ,

? 2? ? 上的增函数 ⑤ f ?x ? 的最大值与最小值差不小于 4
27 组

10、 A、 B 都是 ?1,2,3,4? 的子集,则满足 A ? B ? ?2? 的不同集合组( A,B )有 11、一个长方体共一顶点的三个面对角线长分别是 1, 2, x ,则 x 的取值范围为

?

3, 5

?

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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
12 、 当 n 为 正 整 数 时 , 定 义 函 数 N (n) 表 示 n 的 最 大 奇 因 数 . 如 N (3) ? 3 , N (10) ? 5 , … . 记

S ( n) ? S ( n)? N (1) ? N (2 ? ) N (? 3 ? ) ? N n .则 (2 )

4n ? 2 3

. (用 n 来表示)

13、 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,对于任意正整数 n ,恒有 Sn ? 0 ,则等比数列 ?an ? 的公比 q 的取值范围为

?1 ? q ? 0
14、 f ( x) ? a1 sin( x ? ?1 ) ? a2 sin( x ? ?2 ) ? ?? an sin( x ? ?n ) ,其中 ai、 ?i (i ? 1, 2,?, n) 均为常数,下列说法正 确的有 (1) (2) (3) (4) (1) 若 f (0) ? 0, f ( ) ? 0 ,则对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立;

?

2

(2) 若 f (0) ? 0 ,则 f ( x ) 是奇函数; (3) 若 f ( ) ? 0 ,则 f ( x ) 是偶函数; (4) 若 f (0) ? f ( ) ? 0 ,且当 x1 ? x2时f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? k?
2 2

?

?

2

2

(k ? Z ) ;

二、选择题 15、若 a1 , a2 , a3 均为单位向量,则“ a1 ? ? ?

? ? ?

?

? 3 6? ? ? ? , ”是“ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? 3 3 ?

?

3, 6 ”的( B) 条件。 ( A )充分非

?

必要 ( B )必要非充分( C )既不充分也不必要 ( D )充要 16、已知直角坐标系中圆 C 方程为 F ?x, y ? ? 0 , P?x0 , y0 ? 为圆内一点(非圆心) , 那么方程 F ?x, y ? ? F ?x0 , y0 ? 所表示的曲线是———————— ( A) 圆 C ( C ) 比圆 C 半径大与圆 C 同心的圆 ( D ) 不一定存在 ( B) ( B ) 比圆 C 半径小,与圆 C 同心的圆

17、对 x ? R, k ? N ? ,定义 M x k ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ?1) ,则函数 f ( x) ? (M x?511) ? sin x 是( B ) A 、奇函数但非偶函数; C 、既是奇函数又是偶函数; B、偶函数但非奇函数; D、非奇非偶函数
a12 a 22 a32 a13 ? ? a 23 ? 中,每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列,且a11 ? a12 ? a13 、 a33 ? ?

? a11 ? 18、由 9 个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵? a 21 ?a ? 31

a21 ? a22 ? a23 、 a31 ? a32 ? a33 成等比数列,下列四个判断正确的有 (A )
①第 2 列 a12 , a22 , a32 必成等比数列 ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 (A)4 个 (B)3 个 ②第 1 列 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列 ④若 9 个数之和等于 9,则 a22 ? 1 (C)2 个
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(D)1 个

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
三、.解答题

? 2 , ?ABC ? 90? , D 是 BC 的中点. 19、如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? 2 AA (1)求证: 1

A1B 平行平面 ADC1 ; (2)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值;
(3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E ,使 AE 与 DC1 成 60 角?若存在,确定 E 点位置,若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)证明:连结 AC 1 ,交 AC1 于点 O ,连结 OD . 由 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, 得 四边形 ACC1 A 1 为矩形, O 为 AC 1 的中点. 又 D 为 BC 中点,所以 OD 为 △A1BC 中位线,
?

OD , 所以 A 1B ∥
因为 OD ? 平面 ADC1 , A1B ? 平面 ADC1 , 所以 A 1B ∥平面 ADC1 . (Ⅱ)由 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,且 ?ABC ? 90 ,故 BA, BC, BB1 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 B ? xyz .设 BA ? 2 ,则
?

B(0,0,0),C(2,0,0), A(0,2,0),C1 (2,0,1), D(1,0,0) .
所以 AD ? (1, ?2,0) , AC1 ? (2, ?2,1)

??? ?

???? ?

???? ? n ? ? AD ? 0, 设平面 ADC1 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ? ?n ? AC1 ? 0.
所以 ?

? x ? 2 y ? 0, 取 y ? 1 ,得 n ? (2,1,?2) . ?2 x ? 2 y ? z ? 0.

易知平面 ADC 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 由二面角 C1 ? AD ? C 是锐角,得 cos? n, v ? ? 所以二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)假设存在满足条件的点 E . 因为 E 在线段 A1 B1 上, A1 (0,2,1) , B1 (0,0,1) ,故可设 E (0, ? ,1) ,其中 0 ? ? ? 2 . 所以 AE ? (0, ? ? 2,1) , DC1 ? (1,0,1) .

| n?v | 2 ? . n v 3

2 . 3

??? ?

???? ?

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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
??? ? ???? ? AE ? DC1 1 因为 AE 与 DC1 成 60 角,所以 ??? ? ???? ? ? . 2 AE DC1
?



1 (? ? 2)2 ? 1 ? 2

?

1 ,解得 ? ? 1 ,舍去 ? ? 3 . 2
?

所以当点 E 为线段 A1 B1 中点时, AE 与 DC1 成 60 角.

20、 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? , ∠ADE= ? 。 (1) 该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以 提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? ? ? 最大?

H ?4 ? tan ? ? ? 1.20 ? ? AB ? H ? 124 解: (1)过 C 作 CD ? AB 交 AE 与点 D ,则 ? ? tan ? ? H ? 1.24 ? ? AB
所以,电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,

125 121 ? tan ? ? tan ? 4d 4 d d ? tan(? ? ? ) ? ? ? 2 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 125 ? 121 d ? 125 ?121 d ? 125 ?121 d d d
? 4 2 1 2? 5 121
故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。

当且仅当 d ? 55 5 时,取等号, 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。

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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
21、动圆 M 经过定点 F (1, 0) ,且与直线 x ? 1 ? 0 相切。 (1)求圆心 M 的轨迹 C 方程; (2)直线 l 过定点 F 与曲线 C 交于 A 、 B 两点: ①若 AF ? 2 FB ,求直线 l 的方程; ②若点 T (t , 0) 始终在以 AB 为直径的圆内,求 t 的取值范围。 解: (1)由题意: M 到点 F (1, 0) 距离与 M 到直线 x ? 1 ? 0 距离相等,所以点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直线

??? ?

??? ?

x ? 1 ? 0 为准线的抛物线,其方程为 y 2 ? 4 x
(2)①设直线 l : x ? my ? 1 ,代入抛物线方程得: y 2 ? 4my ? 4 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ?4 m , y 4 1? y 2 ? ? 由 AF ? 2 FB 得 ? y1 ? 2 y2 ,

??? ? ??? ? AF ? (1? x1, ? y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 )

??? ?

??? ?

代入 y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?4 解得: m ? ?

2 4

即所求直线方程为 x ? ?

2 y ? 1。 4

② TA ? ( x1 ? t, y1 ), TB ? ( x2 ? t , y2 ) ,由题意: TA ? TB ? 0 即 ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? y1 y2 ? 0 , x1 ? my1 ? 1, x2 ? my2 ? 1 ,化简得:

???

???

??? ???

4tm2 ? 4 ? (1 ? t )2 ? 0 对于任意的 m ? R 恒成立。
t ? 0 满足 t ? 0 ,则 t ? 0 且 4 ? (1 ? t )2 ? 0 ,解得 0 ? t ? 3 。综上知, t 的取值范围为 0 ? t ? 3 。

22、 已知等差数列 ? xn ?, S n 是 ? xn ?的前 n 项和,且 x3 ? 5, S 5 ? x5 ? 34. (1)求 ? xn ?的通项公式;

?1? 2 (2)设 an ? ? ? ,Tn 是 ? an ?的前 n 项和,是否存在正数 ? ,对任意正整数 n , k ,不等式 Tn ? ?xk ? ?2 恒成立? ?3?
若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

n

(3)? 判断方程 sin 2 xn ? xncosxn ? 1 ? Sn 是否有解,说明理由;
[解](1)由 x3 ? 5, S 5 ? x5 ? 34, 所以 ?

? x1 ? 2d ? 5 ?x ? 1 ?? 1 ? x n ? 2n ? 1 ?6 x1 ? 14d ? 34 ?d ? 2
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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
2 (2) 由 Tn ? ?xk ? ?2 恒成立,则 [1 ? ( ) ] ? ? ?2k ? 1? ? ? 恒成立
n 2 2

1 2
n

1 3

即 ?2 ? ? (2k ? 1) 2 ?

1 ?1? [1 ? ? ? ]max 2 ? 3?
1 1 ? ?2 ? ?2 所以 (2k ? 1) 2 ? 2 [ (2k ? 1) 2 ]max ? 2 1 ? ?2 所以 1 ? 2 即

?2 ? ? ?2k ? 1?2 ?
?2 ? ? ?
1 ?0 2

1 ,又 ? ? 0 2

?

?

?

故? ?

3 ?1 2
由于 xn ? 2n ? 1, S n ? n 2 ,

(3) sin 2 xn ? xn cos xn ? 1 ? S n ,

则方程为: sin 2 (2n-1) ? (2n-1) cos(2n-1) ? 1 ? n 2
2 2 2 ① n ? 1 时, sin 1 ? cos1 ? 0 无解② n ? 2 时, sin 3 ? 3 cos3 ? 1 ? 4 所以 cos 3 ? 3 cos3 ? 2 ? 0 所以

cos3 ? 1, cos3 ? 2 无解
③ n ? 3 时, sin 2 (2n - 1) ? (2n - 1)cos(2n- 1) ? 1 ? 1 ? (2n - 1) ? 1 ? 2n ? 1 ? n 2 所以 sin 2 (2n - 1) ? (2n - 1)cos(2n- 1) ? 1 ? n 2 无解综上所述,对于一切正整数原方程都无解.

2014--2015 年高三年级十三校第二次联考数学试卷答案
考试时间:120 分钟 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每题 4 分. 1. 方程 log 2 x ? 满分:150 分

1 ? 1 的解是 ?1? log x ?1 2



2. 已知函数 f ( x) ?

1 ?1 ?1 ,则 f (4) ? x 1 3
2 2

1

. 4 . . 0 . 3 . 别是矩形 的截面面

3. 若实数 x, y 满足 xy ? 1 ,则 x ? 4 y 的最小值为 4. 设 (1 ? 2i) z ? 3 ? 4i (i 为虚数单位) ,则 | z |? 5.

5

2 已知 x ? R, 则 x( x ? 1) ? arccos x ? x ? 1 的值为

1 2 3 10 ? 9C11 ? 27C11 ? ?? ? 310 C11 ? 311 除以 5 的余数是 6. ?1 ? 3C11

7. (理) 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点M 和N 分

ABCD 和 BB1C1C 的中心,则过点 A 、 M 、 N 的平面截正方体
积为__

3 ____. 2
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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
(文)若一个直六棱柱的三视图如图所示,则这个直六棱柱的体积 为 4 . .

2nSn 8. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 lim ? n ??? ( n ? 32) S n ?1

2

9. 某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度,设等级为 n 级需要的天数为 an (n ? N*) , 等级 1 2 3 4 5 6 等级图标 需要天 数 5 12 21 32 45 60 等级 7 8 12 16 32 48 等级图标 需要天数 77 96 192 320 1152 2496

则等级为 50 级需要的天数 a50 ? ____2700______。 10.若关于 x 的方程 sin 2 x ? cos 2 x ? k 在区间 ? 0, ? 上有两个不同的实数解,则 k 的取值范围为 ? 2? 11.(理)已知直线 l :

? ??

?1, 2 ?

?

3 交极轴于 A 点,过极点 O 作 l 的垂线,垂足为 C ,现将线段 CA 绕极 3 cos ? ? sin ? ? ? 点 O 旋转 ,则在旋转过程中线段 CA 所扫过的面积为________. 2 16

??

(文)某高中有甲乙等 5 名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了 4 个学院给这 5 名学生选择.假设选择每 个学院是等可能的,则这 5 人中甲乙进同一学院,且每所学院都有学生选择的概率是

12. 给 定 平 面 上 四 点 O, A, B, C 满 足 O A? 4 , O B ? 3, OC ? 2 , O ?B O ? C, 3 则 ?ABC 面 积 的 最 大 值 为

? ? ?? ? ? ??

3 128



2 7?

3 3 2



? 13.(理) 对于非空实数集 A ,定义 A ? z 对任意x ? A, z ? x 。设非空实数集 C ? D ? ? ? ??,1? 。现给出以

?

?

下命题: (1)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必有 D ? C ; (2)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必有 C ? D ? ? ; (3)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必有 C ? D ? ? ; (4)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必存在常数 a ,使得对任意的 b ? C ,恒有 a ? b ? D . 以上命题正确的是 (1) (4) .
? ?

?

?

?

?

2 2 x ? ?0 , x ? ? N ,若集合 M 中的元素个数为 4 ,则实数 ? 的取值范围 ( 文 ) 若 集 合 M ? x x ? x?

?

?



. ?

? 15 ? ,1 ? 16 ? ?
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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
14. (理)已知当 x ?

1 1 1 ? 1 ? 2 x ? 4 x 2 ? ? ? (?2 x) n ? ? ,根据以上信息,若对任意 x ? ,都有 时,有 2 2 1? 2x
?455


x ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? an xn ? ?, 则 a10 ? (1 ? x )(1 ? 2x )
3

? (文)对于非空实数集 A ,定义 A ? z 对任意x ? A, z ? x 。设非空实数集 C ? D ? ? ? ??,1? 。现给出以下命

?

?

题: (1)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必有 D? ? C? ; (2)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必有 C ? D ? ? ; (3)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必有 C ? D ? ? ; (4)对于任意给定符合题设条件的集合 C , D, 必存在常数 a ,使得对任意的 b ? C ,恒有 a ? b ? D . 以上命题正确的是 (1) (4) .
? ?

?

?

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题 5 分. 15.集合 A ? ? x

? x?2 ? ? 0? , B ? ? x ( x ? a)( x ? b) ? 0? ,若“ a ? ?2 ”是“ A ? B ? ? ”的充分条件,则 b 的取值范 ? x ?1 ?
(B) b ? ?1 (C) b ? ?1 (D) ?1 ? b ? 2

围是( B ) (A) b ? ?1 16.函数 f1 ( x) ?

1 1 1 , f 2 ( x) ? , ?, f n?1( x) ? , ?, 则函数 f2014 ( x) 是( A) x x ? f1 ( x ) x ? f n (x )
(B)偶函数但不是奇函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数

(A)奇函数但不是偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 17.若 ? , ? ? ? ? (A) ? ? ?

? ? ?? ,且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 .则下列结论正确的是( D ) , ? 2 2? ?
(B) ? ? ? ? 0 (C) ? ? ? (D) ? 2 ? ? 2

18.(理)设 B 、 C 是定点,且均不在平面 ? 上,动点 A 在平面 ? 上,且 sin ?ABC ? (A)圆或椭圆 (B)抛物线或双曲线 (C)椭圆或双曲线

1 ,则点 A 的轨迹为( D ) 2

(D)以上均有可能

M 的轨迹是曲线 C 的 (文)若 P 是以 F1 , F2 为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作 ?F 1PF 2 的平分线的垂线,垂足
一部分,则曲线 C 是( A ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19.(理) (本题满分 12 分)
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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
如图,设 S ? ABCD 是一个高为 3 的四棱锥,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,顶点 S 在底面上的射影是正方形

ABCD 的中心. K 是棱 SC 的中点。试求直线 AK 与平面 SBC 所成角的大小。 解: ( 理 ) 法 1 : 设 AK 与 平 面 SBC 所 成 角 为 ? 。 因 为

SC ? 32 ? ( 2) 2 ? 11 , ??(2 分)
所以 CK ?

11 22 .所以 cos ?SCA ? . ??(4 分) 2 11
27 4
。 所 以

AK 2 ? AC 2 ? CK 2 ? 2 AC ? CK cos ?SCA ?
(6 分) 因为 VS ? ABC ? 所以 h ?

AK ?

3 3 .?? 2

1 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? VA? SCB , ??(8 分) 3 2

6 S?SBC

?

3 10 , ??(10 分) 5

因此 sin ? ?

h 2 30 ??(11 分) ? AK 15

2 30 ??(12 分) 15 解 法 2 : AC ? BD ? O, 以 O 为 坐 标 原 点 , OA 为 x 轴 , OB 为 y 轴 , OS 为 z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 。 则
.则 ? ? arcsin

A( 2,0,0), B(0, 2,0), C(? 2,0,0), S (0,0,3). ??(4 分)
所以 SB ? (0, 2, ?3), SC ? (? 2, 0, ?3), K ? ? 设 m 是平面 SBC 的一个法向量,易求得 m ? ? ?

???

??? ?

? ? ?

2 3? , 0, ? . ??(6 分) 2 2? ?

??

?? ? ?

3 3 ? , ,1? . ??(8 分) 2 2 ?

设 ? 为 AK 与平面 SBC 所成的角,因为 AK ? ? ? ?

????

? 3 2 3? , 0, ? ? . ??(10 分) 2 2 ? ?

?? ???? m ? AK 2 30 . ??(11 分) 所以: sin ? ? ?? ???? ? 15 m ? AK

? ? arcsin

2 30 ??(12 分) 15

(文) (本题满分 12 分) 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并浸入半径为 r 的一个实心球,使球与水 面恰好相切,试求取出球后水面高为多少? 解:如图为圆锥轴截面 PAB ,球心为 O ,可得

PC ? OC ? PO ? r ? 2r ? 3r, AC ? 3r, ??(3 分)

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不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
1 VPAB ? ? ( 3r ) 2 ? 3r ? 3? r 3 . ??(5 分) 3 设取出球后,水面 EF 高为 h ,则 4 5 VPEF ? 3? r 3 ? ? r 3 ? ? r 3 . ??(8 分) 3 3
因为

VPEF h3 ? , ??(10 分) VPAB PC 3

所以 h3 ? 15r 3 , h ? 3 15r. ??(12 分) 20.(本题满分 14 分,第一小题满分 5 分,第二小题满分 9 分) 对于函数 f ( x ) ,若在定义域存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 4a(a, b ? R) ,试判断 f ( x ) 是否为“局部奇函数”?并说明理由; (2)设 f ( x) ? 2 x ? m 是定义在 ??1,1? 上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围。 解:(1) f ( x ) 为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f (? x) ? f ( x) ? 0 有解.
2 即 f ( x) ? f (? x) ? 0 ? 2a( x ? 4) ? 0 ??(3 分)

有解 x ? ?2, ? f ( x) 为“局部奇函数”. ??(5 分) (2)当 f ( x) ? 2x ? m 时, f ( x) ? f (? x) ? 0 可转化为 2x ? 2? x ? 2m ? 0, ??(8 分) 因为 f ( x ) 的定义域为 ??1,1? ,所以方程 2 ? 2
x ?x

?1 ? ? 2m ? 0 在 ??1,1? 上有解,令 t ? 2 x ? ? , 2 ? , ??(9 分) ?2 ?

则 ?2 m ? t ? . 因为 g (t ) ? t ? 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增,? g (t ) ? ? 2, ? ??(11 分) t 2

1 t

1

? 5? ? ?

? 5? ??2m ? ? 2, ? ??(12 分) ? 2?
即 m ? ? ? , ?1? ??(14 分) 21.(理) (本题满分 14 分,第一小题满分 4 分,第二小题满分 10 分) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 400 元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回的每次摸出 1 个球, 若摸到黑球则停止摸奖,否则就继续摸球.规定摸到红球奖励 20 元,摸到白球或黄球奖励 10 元,摸到黑球不奖 励. (1)求 1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布律和数学期望. (1)解:设“1 名顾客摸球 2 次停止摸奖”为事件 A ,

? 5 ? 4

? ?

11 / 16

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
则 P( A) ?

P31 1 ? , ??(4 分) P42 4
1 . 4

故 1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的概率

(2)解:随机变量 X 的所有取值为 0,10, 20,30, 40 .

P ( X ? 0) ?

1 P1 1 P2 1 1 , P( X ? 10) ? 22 ? , P( X ? 20) ? 23 ? 2 ? 4 P4 6 P4 P4 6
1 2 P33 1 C2 P2 1 , ? P ( X ? 40) ? ? ??(9 分) P43 6 P44 4

P( X ? 30) ?

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

10

20

30

40

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4

??(12 分)
1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 20 . ??(14 分) 4 6 6 6 4
(文) (本题满分 14 分,第一小题满分 5 分,第二小题满分 9 分) 已知 a 、 b 、 c 为正实数, ? ? ? 0, ? ? 。 (1)当 a 、b 、c 为 ?ABC 的三边长,且 a 、b 、c 所对的角分别为 A 、 B 、C 。若 a ? 3, c ? 1 ,且 ?A ? 60 。
0

求 b 的长。 (2)若 a ? b ? c ? 2bc cos ? 。试证明长为 a 、 b 、 c 的线段能构成三角形,而且边 a 的对角为 ? 。
2 2 2

(1)解:由 3 ? 1 ? b ? 2b cos60 , ?3 ? b ? b ? 1, ??(3 分)
2 ? 2

即b2 ? b ? 2 ? 0,?b ? 2 ??(5 分)
(2)证:由 ? ? (0, ? ) ,可得 cos ? ? (?1,1) ??(6 分) 所以 (b ? c) ? b ? c ? 2bc ? b ? c ? 2bc cos? ? a ? b ? c ? 2bc ? (b ? c)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

也就是 b ? c ? a ? b ? c, ??(9 分) 因此长为 a, b, c 的线段能构成三角形,不妨记为 ?ABC 。 在 ?ABC 中,由余弦定理可设 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ? cos ? ??(11 分) 2bc

即 cos A ? cos ? , 又 A,? ? (0, ? ) ,由 y ? cos x 的单调性可得 A ? ? ??(14 分)
12 / 16

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
所以边 a 的对角为 ? 。 22.(本题满分 16 分,第一小题满分 4 分,第二小题满分 5 分,第三小题满分 7 分) 已知抛物线 y 2 ? 4 x . (1) 若圆心在抛物线 y 2 ? 4 x 上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线 x ? 1 ? 0 相切,求所有的圆都经过的 定点坐标; 率; (3) (理)若过 x 正半轴上 Q(t , 0) 点的直线与该抛物线交于 M , N 两点, P 为抛物线上异于 M , N 的任意一点,记 (2) 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,若过 F 点的直线与抛物线相交于 M , N 两点,若 FM ? ?4FN ,求直线 MN 的斜

???? ?

??? ?

PM , QP, PN 连线的斜率为 kPM , kQP , kPN , ,试求满足 kPM , kQP , kPN 成等差数列的充要条件。
(文)若过 F 点且相互垂直的两条直线 l1 , l2 ,抛物线与 l1 交于点 P 1, P 2 , 与 l 2 交于点 Q 1 , Q2 . 证明:无论如何取直线 l1 , l2 ,都有

1 1 为一常数. ? PP Q1Q2 1 2
??? ?

解: (1) 由定义可得定点(1,0); ??(4 分) (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 FM ? ?4FN ,得 y1 ? ?4 y2 ??(5 分) 由方程组 ?

???? ?

? y ? k ( x ? 1) ,得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 2 ? y ? 4x

4 ? ? y1 ? y2 ? 得? k ??(7 分) ? ? y1 y2 ? ?4
联立上述方程求得: k ? ?

4 . ??(9 分) 3

2 2 (3) ( 理 ) 设 直 线 MN 的 方 程 为 x ? ky ? t , 代 入 y ? 4 x , 得 : y ? 4ky ? 4t ? 0 , 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则

y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? ?4t , ??(11 分)
若 k PM ? k PN ? 2k PQ ?

y0 ? y1 y0 ? y2 2y ? 2 ? 2 0 2 2 2 y0 y1 y0 y2 y0 ? ? ?t 4 4 4 4 4

?


2y 2 y0 ? y1 ? y2 2y 1 1 ? ? 2 0 ,即 2 ? 2 0 y0 ? y1 y0 ? y2 y0 ? 4t y0 ? ( y1 ? y2 ) y0 ? y1 y2 y0 ? 4t
2 0

y0 ? 2k y 2 2 ? 2 0 ,即: ( y0 ? 2k )( y0 ? 4t ) ? ( y0 ? 4ky0 ? 4t ) y0 y ? 4ky0 ? 4t y0 ? 4t

2 2 由此得: k ( y0 ? 4t ) ? 0 ,? y0 ? 4t ? 0 ,? k ? 0 ??(15 分)

所以当直线 MN 的方程为 x ? t 时,也就是 kPM ? kPN ? 2kPQ 成立的充要条件是直线 MN 与 x 轴相垂直。 ?? (16 分)

13 / 16

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
(文)由 ?

? x ? ky ? 1 ,得 y 2 ? 4ky ? 2 ? 0 , ??(11 分) 2 ? y ? 4x

2 则 PP 1 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? k ( y1 ? y2 ) ? 4 ? 4k ? 4 , ??(12 分)

同理: Q1Q2 ?

4 ? 4 , ??(14 分) k2

因此

1 1 1 k2 1 ? ? 2 ? 2 ? 为常数. ??(16 分) PP Q1Q2 4k ? 4 4k ? 4 4 1 2

23.(理) (本题满分 18 分,第一小题满分 4 分,第二小题满分 7 分,第三小题满分 7 分)
? 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 且 a1 , d? N . 若 设 M 1 是 从 a1 开 始 的 前 t1 项 数 列 的 和 , 即

M1 ? a1 ??? at1 (1 ? t1, t1 ? N * ) , M2 ? at1 ?1 ? at1 ?2 ??? at2 (1 ? t2 ? N * ) ,如此下去,其中数列 ?M i ? 是从第
ti ?1 ? 1 (t0 ? 0) 开始到第 ti (1 ? ti )项为止的数列的和,即 Mi ? ati?1 ?1 ??? ati (1 ? ti , ti ? N * ) .
2 (1)若数列 an ? n(1 ? n ? 13, n ? N * ) ,试找出一组满足条件的 M1 , M 2 , M 3 ,使得: M 2 ? M1M 3 ;

(2) 试证明对于数列 an ? n(n ? N ? ) ,一定可通过适当的划分,使所得的数列 ?Mn ? 中的各数都为平方数; (3) 若 等 差 数 列

?an ?

中 a1 ? 1, d ? 2 . 试 探 索 该 数 列 中 是 否 存 在 无 穷 整 数 数 列

如不存在, 则说明理由. ?tn?,(1 ? t1 ? t2 ? t3 ? ? ? tn ), n ? N* ,使得 ?Mn? 为等比数列,如存在,就求出数列 ?Mn? ; 解: (1)则 M1 ? 1, M 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 9, M 3 ? 5 ? 6 ? ? ? 13 ? 81 ; ??(4 分) (2) 记 t1 ? 1, 即 M1 ? 1 , 又 由 2 ? 3 ? 4 ? 9 ? 3 , M 2 ? 32 , 所 以 第 二 段 可 取 3 个 数 , t2 ? 1 ? 3 ? 4 ; 再 由
2

5 ? 6 ? ? ? 13 ? 81 ? 34 ,即 M3 ? 34 , 因此第三段可取 9 个数,即 t3 ? 1 ? 3 ? 32 ? 13,? ,依次下去 , 一般
地: t n ? 1 ? 3 ? ? ? 3
n ?1

?

3n ? 1 3n?1 ? 1 ??(6 分) , tn ?1 ? 2 2
n

3n ? 1 3n ? 1 )(1 ? ) 3 ?1 2 2 , ??(8 分) 所以 St ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n 2 2 ( 3n?1 ? 1 3n?1 ? 1 )(1 ? ) 3 ?1 2 2 ??(9 分) ? 1? 2 ? 3 ??? ? 2 2
n ?1

(

Stn?1

3n?1 ? 1 3n?1 ? 1 3n ? 1 3n ? 1 )(1 ? ) ( )(1 ? ) 2 2 2 2 则 M n?1 ? St ? St ? ? ? 32n . n?1 n 2 2 (
由此得证. ??(11 分) (3)不存在.令 Stn ? tn a1 ?

tn (tn ? 1) 2 2 2 d ? tn ,则 M n ? tn ? tn?1 2
14 / 16

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海. 2 假设存在符合题意的等差数列, 则 ?Mn ? 的公比必为大于 1 的整数,(? M n ? tn ? (tn ?1)2 ? 2tn ?1? M n ? ?? ,
因此 q ? 1) ,即 M n ? M1qn?1 ? N *
2 此时,注意到, t3 ? M3 ? M 2 ? M1 ? M1 (1? q ? q2 ) ? t12 (1? q ? q2 )

??(14 分)

2 要使 t3 ? t12 (1 ? q ? q2 ) 成立,则 1 ? q ? q 2 必为完全平方数, ??(16 分)

但 q2 ? 1 ? q ? q2 ? (q ? 1)2 ,矛盾.因此不存在符合题意的等差数列 ?Mn ? . ??(18 分) 23.(文) (本题满分 18 分,第一小题满分 4 分,第二小题①满分 5 分,第二小题②满分 9 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且对任意的 k ? N ? , a2k ?1, a 2k , a2k ?1 成等比数列,其公比为 qk , (1)若 qk ? 2(k ? N ? ), 求a1 ? a3 ? a5 ? ?? a2 k ?1. (2)若对任意的 k ? N ? , a2k , a2k ?1 , a 2k ?2 成等差数列,其公差为 d k , 设bk ? ①求证: ?bn ? 成等差数列,并指出其公差; ②若 d1 ? 2 ,试求数列 ?dk ? 的前 k 项和 Dk . 解: (1)因为 qk ? 2 ,所以

1 . q k ?1

a2 k ?1 ? 4, ??(1 分) a2 k ?1

故 a1 , a3 , a5 ?, a2 k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等比数列,

1 ? 4k 1 k ? (4 ? 1). ??(4 分) 1? 4 3 (2)①因为 a2k , a2k ?1 , a2 k ?2 成等差数列,所以 2a2k ?1 ? a2k ? a2k ?2 ,
所以 a1 ? a3 ? a5 ? ?, a2 k ?1 ? 而 a2 k ?

a2 k ?1 1 , a2 k ?2 ? a 2 k ?1?qk ?1 , 所以 ? qk ?1 ? 2, ??(6 分) qk qk qk ? 1 q 1 1 ,得 ? k ? ? 1, qk qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1

则 qk ?1 ? 1 ? 所以 分)

1 且公差 ?bk ? 是等差数列, 且公差为 1. ?? (9 ? 1,即bk ?1 ? bk ? 1, 所以 ?bk ? 是等差数列, qk ?1 ? 1 qk ? 1 ?

1

2 ②因为 d1 ? 2, 所以 a3 ? a2 ? 2, 则由 a2 ? 1? a3 ? a2 ? 2 ,解得: a2 ? 2 或 a2 ? ?1。

??(11 分)
(i) 当 a2 ? 2 时 , q1 ? 2 , 所 以 b1 ? 1 , 则 bk ? 1 ? (k ?1) ?1 ? k , 即

k ?1 1 ,所以 ? k , 得 qk ? k qk ? 1

a2 k ?1 (k ? 1)2 ? , a2 k ?1 k2
则 a2 k ?1 ?

a2k ?1 a2k ?1 a (k ? 1)2 k2 22 ? ??? 3 ? a1 ? ? ?? ? ? ?1 ? (k ? 1)2 a2k ?1 a2 k ?3 a1 k2 (k ? 1)2 12
15 / 16

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.
所以 a2 k ?

a2 k ?1 (k ? 1) 2 ? ? k (k ? 1), ??(13 分) k ?1 qk k
k (k ? 3) ; ??(14 分) 2

则 dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ? 1 ,故 Dk ?

1 1 1 3 1 3 2, (ii) 当 a2 ? ?1时,q1 ? ?1 , 所以 b1 ? ? , 则 bk ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? k ? , 即 得 qk ? ?k? , 3 2 2 2 qk ? 1 2 k? 2 k?
??(15 分)

1 3 1 (k ? ) 2 (k ? ) 2 ( )2 a2 k ?1 a2 k ?1 a3 2 ? 2 ??? ? 2 ?1 ? 4(k ? 1 )2 则 a2 k ?1 ? ? ?? ? ? a1 ? 3 5 1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1 2 (k ? ) 2 (k ? ) 2 (? ) 2 2 2 2 a 所以 a2 k ? 2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3), ??(17 分) qk
则 dk ? a2k ?1 ? a2k ? 4k ? 2 ,故 Dk ? 2k 2 ??(18 分)

综上所述, Dk ?

k (k ? 3) 或 Dk ? 2k 2 2

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